【优化设计】2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第一章1.4知能演练轻松闯关VIP

1．下列不属于优化问题的是()A．汽油的使用效率何时最高B．磁盘的最大存储量问题C．求某长方体容器的容积D．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响解析：选C.选项A、B、D中明确提出了问题与求最值有直接的关系，是优化问题．而选项C仅要求求出容积，不是优化问题．故选C.2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：选C.令导数y′＝－x2＋81＞0，解得x＜9，又x＞0，∴0＜x＜9；令导数y′＝－x2＋81＜0，解得x＞9，∴函数y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，∴在x＝9处取极大值，也是最大值，故选C.3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.4．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：选C.设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝eq\f(1,2)x2·sin60°·l，∴l＝eq\f(4V,\r(3)x2).∴S表＝x2sin60°＋3xl＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，∴S表′＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S表′＝0，即eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)＝0，∴x3＝4V，即x＝eq\r(3,4V).又当x∈(0，eq\r(3,4V))时，S表′＜0；当x∈(eq\r(3,4V)，V)时，S表′＞0，∴当x＝eq\r(3,4V)时，表面积最小．5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高应为()A.eq\f(5\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC．5eq\r(3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：选D.设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202，∴r＝eq\r(400－h2).∴圆锥体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h3)．令V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)＝0，得h＝eq\f(20\r(3),3)，当h＜eq\f(20\r(3),3)时，V′＞0；当h＞eq\f(20\r(3),3)时，V′＜0.∴h＝eq\f(20\r(3),3)时，V最大，应选D.6．(2021·杭州调研)某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，则当每件商品的定价为__________元时，利润最大．解析：利润s(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，s′(x)＝－2x＋230.由s′(x)＝0，得x＝115，这时利润最大．答案：1157．某银行预备设一种新的定期存款业务，经猜想，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸取的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0.因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．答案：3.2%8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，假如在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝eq\f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝eq\f(k1,10)得k1＝20；由8＝10k2得k2＝eq\f(4,5).因此，两项费用之和为y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x＞0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.因此，当x＝5时，y取得微小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：59．如图所示，设铁路AB＝50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，大路费用为4，问在AB上何处修建大路至C，可使运费由A至C最省．解：设M为AB上的一点，且MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4eq\r(102＋x2)，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4eq\r(100＋x2)(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋eq\f(4x,\r(100＋x2))，令p′(x)＝0，解得x1＝eq\f(10,\r(3))，x2＝－eq\f(10,\r(3))(舍去)．当x＜eq\f(10,\r(3))时，p′(x)＜0；当x＞eq\f(10,\r(3))时，p′(x)＞0，故当x＝eq\f(10,\r(3))时，取得最小值．即当离点B距离为eq\f(10\r(3),3)的点M处修筑大路至C时，可使运费由A到C最省．10．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱外形的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0，所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).1．横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.eq\r(3)d，eq\f(\r(3),3)d B.eq\f(\r(3),3)d，eq\f(\r(6),3)dC.eq\f(\r(6),3)d，eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(6),3)d，eq\r(3)d解析：选C.如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0＜x＜d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0＜x＜d)．求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(\r(3),3)d或x＝－eq\f(\r(3),3)d(舍去)．当0＜x＜eq\f(\r(3),3)d时，f′(x)＞0；当eq\f(\r(3),3)d＜x＜d时，f′(x)＜0，∴当x＝eq\f(\r(3),3)d时，f(x)取得极大值，也是最大值．∴当矩形横断面的高为eq\f(\r(6),3)d，宽为eq\f(\r(3),3)d时，横梁的强度最大．2．将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则S的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则S＝eq\f(3－x2,\f(1,2)·x＋1·\f(\r(3),2)·1－x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)(0＜x＜1)．法一：利用导数求函数最小值．S(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)，S′(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(2x－6·1－x2－3－x2·－2x,1－x22)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(－23x－1x－3,1－x22)，S′(x)＝0,0＜x＜1，x＝eq\f(1,3)，当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，S′(x)＜0，递减；当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))时，S′(x)＞0，递增；故当x＝eq\f(1,3)时，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).法二：利用函数的方法求最小值．令3－x＝t，t∈(2,3)，eq\f(1,t)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，则S＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(t2,－t2＋6t－8)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(1,－\f(8,t2)＋\f(6,t)－1)，故当eq\f(1,t)＝eq\f(3,8)，x＝eq\f(1,3)时，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)3．有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋15ln\f(a,a－x)x≤6,\f(x－4.4,x－4)x＞6))，描述学习某学科学问的把握程度，其中x表示某学科学问的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科学问的把握程度，正实数a与学科学问有关．(1)证明：当x≥7时，把握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)依据阅历，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科学问6次时，把握程度是85%，请确定相应的学科．解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝eq\f(0.4,x－3x－4)，而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，∴f(x＋1)－f(x)单调递减，∴当x≥7时，把握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降．(2)由题意可知0.1＋15lneq\f(a,a－6)＝0.85，整理得eq\f(a,a－6)＝e0.05，解得a＝eq\f(e0.05,e0.05－1)×6≈20.50×6＝123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．4．两县城A和B相距20km，现方案在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建筑垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)争辩(1)中函数的单调性，并推断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．解：(1)如图，由题意知AC⊥BC，AC＝xkm，则BC2＝400－x2，y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)(0＜x＜20)．由题意知，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，即当x＝10eq\r(2)时，y＝0.065，代入y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)得k＝9.所以y表示成x的函数为y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0＜x＜20)．(2)由于y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)，所以y′＝－eq\f(8,x3)－eq\f(9×－2x