【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-苏教版-江苏专用-课时作业-第八章-立体几何-5-

第5讲空间向量及其运算基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、填空题1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________．解析由题意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))没有公共点．∴AB∥CD.答案平行2．有以下命题：①假如向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C肯定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中全部正确命题的序号是________．解析对①易知a，b与空间任何向量共面，所以a，b共线，①正确；②明显正确；对③可结合平行六面体说明其正确性．答案①②③3．(2021·济南月考)O为空间任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点________(填序号)．①肯定不共面；②肯定共面；③不肯定共面；④无法推断．解析∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1.∴P，A，B，C四点共面．答案②4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为________．解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案25．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a，b，c共面，且明显a，b不共线，∴c＝xa＋yb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2x－y，①,5＝－x＋4y，②,λ＝3x－2y，③))由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，))代入③得λ＝eq\f(65,7).答案eq\f(65,7)6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________．解析如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.答案eq\f(1,4)a27．在四周体O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．解析eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)×(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c8．A，B，C，D是空间不共面四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD的外形是________三角形(填锐角，直角，钝角中的一个)．解析eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＞0，∴∠CBD为锐角．同理∠BCD，∠BDC均为锐角．答案锐角二、解答题9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又∵|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．解∵AB与CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°，又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(\o(BD,\s\up6(→))2)))＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))＋\o(CD,\s\up6(→))2)))＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(\o(BA,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(CD,\s\up6(→))2＋2\o(BA,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＋2\o(AC,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))＋2\o(BA,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)))))＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉)))＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(3＋2cos〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉)))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2或eq\r(2).∴BD的长为2或eq\r(2).力量提升题组(建议用时：15分钟)1．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).其中全部真命题的序号是________．解析其中①③为真命题．答案①③2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是________．解析设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①由于p在{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，∴p＝4a＋2b＋3c，②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，,z＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，,z＝3，))即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3)．答案(3,1,3)3．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c解析由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝eq\f(b·c,|b|·|c|)＝eq\f(－18,12×\r(1＋4＋4))＝－eq\f(1,2)，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案60°4．(2021·淮安检测)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在棱CD上．(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．解(1)由于B(0,0，a)，A(a，a,0)，P为AB的中点，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))).又由于Q在CD上运动，所以可设Q(0，a，z0)，其中z0∈[0，a]，因此PQ＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－z0))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z0－\f(a,2)))2＋\f(a2,2))，可知，当z0＝eq\f(a,2)时，PQ取最小值eq