【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练45-直线与圆、圆与圆的位置关系

考点巩固训练45直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知p：“a＝eq\r(2)”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是()．A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝03．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于()．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)D．14．设直线l经过点P(3,4)，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.若直线l与圆C交于两个不同的点，则直线l的斜率的取值范围为()．A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,18)，＋∞))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)，\f(27,20)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,20)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,20)，\f(29,17)))5．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为()．A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．36．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2eq\r(3)时，a＝()．A．eq\r(2)B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1D．eq\r(2)＋17．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2，则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))(O为坐标原点)等于()．A．－7B．－14C．7D．二、填空题8．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．9．(北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为__________．10．已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为__________．三、解答题11．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)，(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝eq\r(2)，过点M的圆的两条弦AC，BD相互垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．12．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值．(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试推断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

参考答案一、选择题1．A解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，可得eq\f(|a|,\r(2))＝1，即a＝±eq\r(2)．∴p⇒q而qp，∴p是q的充分而不必要条件．2．D解析：设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0．∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，∴eq\f(|－4＋m|,\r(32＋42))＝1．∴|m－4|＝5．∴m＝－1或m＝9．∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0．3．B解析：如图所示，设AB的中点为D，则OD⊥AB，垂足为D，连接OA．由点到直线的距离得|OD|＝eq\f(|－5|,\r(32＋42))＝1，∴|AD|2＝|OA|2－|OD|2＝4－1＝3，|AD|＝eq\r(3)，∴|AB|＝2|AD|＝2eq\r(3)．4．C解析：由题意，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．又直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即eq\f(|5－2k|,\r(k2＋1))＜2，解得k＞eq\f(21,20)．所以直线l的斜率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,20)，＋∞))．5．C解析：设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则切线方程为x0x＋y0y＝1．分别令y＝0，x＝0，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,y0)))，∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y0)))\s\up12(2))＝eq\f(1,x0y0)≥eq\f(1,\f(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0),2))＝2当且仅当x0＝y0时，等号成立．6．C解析：如图，由题意知圆心为(a，2)，到直线l的距离应等于1，即eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴a＝－1±eq\r(2)．∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1．7．A解析：记eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))的夹角为2θ．依题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，cosθ＝eq\f(1,3)，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝3×3cos2θ＝－7．二、填空题8．x2＋y2＝2解析：圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝eq\f(|－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2)．∴圆的方程为x2＋y2＝2．9．2eq\r(2)解析：由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)．设截得的弦长为l，则由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋(eq\r(2))2＝22，得l＝2eq\r(2)．10．eq\f(\r(30),2)解析：BC中点坐标为Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以|AD|＝eq\r(（2－3）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))\s\up12(2))＝eq\f(\r(30),2)．三、解答题11．解：(1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，解得a＝±eq\r(3)．当a＝eq\r(3)时，点M为(1，eq\r(3))，kOM＝eq\r(3)，k切线＝－eq\f(\r(3),3)，此时切线方程为y－eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq\r(3)y－4＝0．当a＝－eq\r(3)时，点M为(1，－eq\r(3))，kOM＝－eq\r(3)，k切线＝eq\f(\r(3),3)，此时切线方程为y＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y－4＝0．所以所求的切线方程为x＋eq\r(3)y－4＝0，或x－eq\r(3)y－4＝0．(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OM|2＝3．于是|AC|＝2eq\r(4－deq\o\al(2,1))，|BD|＝2eq\r(4－deq\o\al(2,2))．所以|AC|＋|BD|＝2eq\r(4－deq\o\al(2,1))＋2eq\r(4－deq\o\al(2,2))．则(|AC|＋|BD|)2＝4(4－deq\o\al(2,1)＋4－deq\o\al(2,2)＋2eq\r(4－deq\o\al(2,1))eq\r(4－deq\o\al(2,2)))＝4[5＋2eq\r(16－4（deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)）＋deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2))]＝4(5＋2eq\r(4＋deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)))．由于2d1d2≤deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝3，所以deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)≤eq\f(9,4)，当且仅当d1＝d2＝eq\f(\r(6),2)时取等号．所以eq\r(4＋deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2))≤eq\f(5,2)．所以(|AC|＋|BD|)2≤4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2×\f(5,2)))＝40．所以|AC|＋|BD|≤2eq\r(10)，即|AC|＋|BD|的最大值为2eq\r(10)．12．解：(1)设圆心C(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0.))则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2．(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值为－4．(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc