【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修2：第一章-立体几何初步-单元同步测试

第一章测试时间120分钟满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形肯定是平面图形C．梯形肯定是平面图形D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点解析梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面．答案C2．室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面 B．相交C．平行 D．垂直答案D3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．bα B．b∥αC．bα或b∥α D．b与α相交或bα或b∥α答案D4．若三球的半径之比是1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()A．4倍 B．3倍C．2倍 D．1倍解析设三个球的半径依次为a,2a,3a，V最大＝eq\f(4,3)π(3a)3＝36πa3，V1＋V2＝eq\f(4,3)πa3＋eq\f(4,3)π(2a)3＝eq\f(36,3)πa3＝12πa3，eq\f(V最大,V1＋V2)＝3.答案B5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案C6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①② B．②③C．①④ D．③④解析依据公理4，知①正确；依据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确．答案C7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有()A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADCC．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC解析如图，在四周体ABCD中，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，∴AD⊥面BCD.又AD面ADC，∴面ADC⊥面BCD.答案D8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1AA．0个 B．1个C．2个 D．3个解析∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，由两平面垂直的性质定理，可知CD⊥面ABB1A1，又CD面ADC，故面ADC⊥面ABB1A，故①、③正确，对于②连接AC1，BC1，设A1C∩AC1＝O，则O为AC1的中点，又∴OD∥BC1.又OD面A1DC，BC1面A1DC，∴BC1∥面A1DC，故②正确．答案D9．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为()A.eq\f(7,3)m3 B.eq\f(9,2)m3C.eq\f(7,2)m3 D.eq\f(9,4)m3解析由三视图可知，原几何体如图所示，故V＝3×13＋eq\f(1,2)×13＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)m3.答案C10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，连接A′C，则在四周体A′BCD的四个面中，相互垂直的平面有()①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC.A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析由于面ABD⊥面BCD，故①正确．又AB⊥BD则A′B⊥BD，则A′B⊥BD，∴A′B⊥面BCD，故面A′BC⊥面BCD，又CD⊥BD，∴面A′CD⊥面ABD，故②③正确，④明显不正确．答案C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是4π×4－2×2×4＝16π－16.答案16π－1612．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为________．解析由题可知，上底面三角形的高为2sin60°＝eq\r(3)，下底面三角形的高为8sin60°＝4eq\r(3)，故棱台的高h＝eq\r(52－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\r(3)－\r(3)×\f(2,3)))2)＝eq\r(13).答案eq\r(13)13．已知圆锥的表面积为am2，且它的侧面开放图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πl＝2πr，即l＝2r，S圆锥表＝πr2＋πrl＝3πr2＝a，则r＝eq\f(\r(3πa),3π).答案eq\f(\r(3πa),3π)m14．如图四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件：________时，SC∥面EBD.解析当E为SA的中点时，设AC∩BD＝O，连接EO，EB，ED，∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，∴SC∥面EBD.答案E为SA的中点15．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD＝12，则线段CD的长为________．解析连接BC，∵AC⊥l，∴∠CAB＝90°，CB＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5.又BD⊥l，α⊥β，∴BD⊥平面α.又BCα，∴BD⊥BC.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(122＋52)＝13.答案13三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解设圆台的母线长为l，则圆台的上、下底面面积为S上＝π·22＝4π，S下＝π·52＝25π，∴圆台的两底面面积之和S＝S上＋S下＝29π，又圆台的侧面积S侧＝π(2＋5)·l＝7πl，由7πl＝29π，得l＝eq\f(29,7)，即母线长为eq\f(29,7).17．(12分)如图所示，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.证明∵EH∥FG，EH⃘面BDC，FG面BDC，∴EH∥面BDC，又EH面ABD，面ABD∩面BDC＝BD，∴EH∥BD.18．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1(1)证明：AB⊥A1C(2)若AB＝CB＝2，A1C＝eq\r(6)，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.由于CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.由于OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C又A1C平面OA1C，故AB⊥A(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝eq\r(3).又A1C＝eq\r(6)，则A1C2＝OC2＋OAeq\o\al(2,1)，故OA1⊥OC.由于OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1又△ABC的面积S△ABC＝eq\r(3)，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.19．(13分)如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点，∠PDA＝45°.(1)求证：EF∥面PAD；(2)求证：面PCE⊥面PCD.证明(1)设PD中点为G，连接FG，AG，∵F，G分别为PC，PD的中点，∴FG綊eq\f(1,2)CD.又E为AB的中点，∴AE綊FG.即四边形EFGA为平行四边形．∴EF∥AG.又EF面PAD，AG面PAD，∴EF∥面PAD.(2)PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD.又∵在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，∴PA＝AD，∴AG⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，∴CD⊥面PAD，CD⊥AG，又PD∩CD＝D，∴AG⊥面PCD.由(1)知EF∥AG，∴EF⊥面PCD，又EF面PCE，∴面PCE⊥面PCD.20．(13分)如图①，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC，AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图②.(1)求证：EF⊥A′C；(2)求三棱锥F—A′BC的体积．解(1)证法1：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，在四棱锥A′—BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，∴EF⊥平面A′EC，又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.证法2：同证法1EF⊥EC，∴A′O⊥EF，∴EF⊥平面A′EC.又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.(2)在直角梯形EFBC中，EC＝2，BC＝4，∴S△FBC＝eq\f(1,2)BC·EC＝4.又∵A′O垂直平分EC，∴A′O＝eq\r(A′E2－EO2)＝eq\r(3)，∴三棱锥F—A′BC的体积VF—A′BC＝VA′—FBC＝eq\f(1,3)S△FBC·A′O＝eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).21．(13分)如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底面ABCD(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：A1C⊥平面AB1D1(3)若AA1＝2，求三棱锥A1—AB1D1的体积．解(1)证明：设B1D1的中点为O1，∵ABCD—A1B1C1D1∴C1O1綊AO.故AO