《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查53-双曲线

开卷速查(五十三)双曲线A级基础巩固练1．设P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．9解析：由渐近线方程3x－2y＝0，知eq\f(b,a)＝eq\f(3,2).又b2＝9，所以a＝2，从而|PF2|＝7，故选C.答案：C2．与椭圆C：eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1共焦点且过点(1，eq\r(3))的双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)－x2＝1解析：椭圆eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1(m＞0，n＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)－\f(1,n)＝1，,m＋n＝4，))解得m＝n＝2，故选C.答案：C3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于eq\r(5)，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,25)＝1解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案：A4．已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为eq\f(\r(5),3)c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(3,2) B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(3\r(5),2) D.eq\f(5,2)解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\f(\r(5),3)c，即b＝eq\f(\r(5),3)c，从而b2＝eq\f(5,9)c2＝c2－a2，所以eq\f(4,9)c2＝a2，即e2＝eq\f(9,4)，所以离心率e＝eq\f(3,2).答案：A5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)＞2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：C6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(4,3)x，c＝5，而双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)因此，a＝3，b＝4.答案：C7．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆eq\f(y2,n)－eq\f(x2,m)＝1的焦距等于4，则n＝__________.解析：由于双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为eq\f(y2,－3m)－eq\f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为eq\f(y2,n)＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：58．已知F为双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为__________．解析：由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，所以|PQ|＝4b＝16＞2a，又由于A(5,0)在线段PQ上，所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF|－|PA|＝2a＝6，,|QF|－|QA|＝2a＝6.))所以|PF|＋|QF|＝28.即△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.答案：449．已知点F、A分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则双曲线的离心率为__________．解析：依题意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．由eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，eq\f(c2－a2,ac)＝1，即e－eq\f(1,e)＝1，e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e＞1，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)，即双曲线的离心率等于eq\f(1＋\r(5),2).答案：eq\f(1＋\r(5),2)10．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．解析：(1)∵双曲线的渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.∴a2＝b2＝2.∴双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1.∴x0＝eq\r(3)y0.①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c.∴点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c)).代入双曲线方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，∴3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝eq\r(2)，∴双曲线的离心率为eq\r(2).B级力气提升练11．直线y＝eq\r(3)x与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于()A.eq\r(3)＋eq\r(2) B．eq\r(3)＋1C.eq\r(2)＋1 D．2eq\r(2)解析：由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝eq\r(3)c，由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝eq\r(3)c－c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.答案：B12．已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2) B．(eq\r(2)，2)C．(eq\r(3)，2) D．(2,3)解析：由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．依据对称性，只要∠AEF＜eq\f(π,4)即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，则|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|＜|EF|就能使∠AEF＜eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，即－1＜e＜2.又e＞1，故1＜e＜2.答案：A13．如图，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.(1)求双曲线的离心率e；(2)求菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值eq\f(S1,S2).解析：(1)由△B2OF2的面积可得aeq\r(b2＋c2)＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0.∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝eq\f(3＋\r(5),2).∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).(2)设∠B2F1O＝θ，则sinθ＝eq\f(b,\r(b2＋c2))，cosθ＝eq\f(c,\r(b2＋c2))，eq\f(S1,S2)＝eq\f(2bc,4a2sinθcosθ)＝eq\f(2bc,4a2\f(bc,b2＋c2))＝eq\f(b2＋c2,2a2)＝e2－eq\f(1,2)＝eq\f(2＋\r(5),2).14．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解析：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0.))解得k的取值范围是－2<k<－eq\r(2).(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k,2－k2)，,x1·x2＝\f(2,k2－2).))②假设存在实