【优化设计】2020-2021学年高一下学期数学(人教版必修4)第三章章末综合检测

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．cos230°－sin230°的值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：选A.cos230°－sin230°＝cos60°＝eq\f(1,2).2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，则sin2x的值为()A.eq\f(19,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(14,25) D.eq\f(7,25)解析：选D.sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,25).3．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π解析：选B.f(x)＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，故T＝eq\f(2π,2)＝π.4．cos76°cos16°＋cos14°cos74°－2cos75°cos15°的值等于()A．0 B.eq\f(\r(3),2)C．1 D．－eq\f(1,2)解析：选A.由于cos76°cos16°＋cos14°cos74°＝cos76°·cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝eq\f(1,2)，2cos75°·cos15°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故选A.5．若2sin2x＝cos2x＋1，且cosx≠0，则tan2x＝()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．2 D.eq\f(8,17)解析：选A.由已知得4sinxcosx＝2cos2x，∴tanx＝eq\f(1,2)，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(4,3)，故选A.6．已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝()A．80° B．70°C．20° D．10°解析：选B.易知点P到坐标原点的距离为eq\r(sin240°＋（1＋cos40°）2)＝eq\r(2＋2cos40°)＝eq\r(2＋2×（2cos220°－1）)＝2cos20°，由三角函数的定义可知cosα＝eq\f(sin40°,2cos20°)＝eq\f(2sin20°cos20°,2cos20°)＝sin20°，∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.7．假如α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)cos(π－α)等于()A.eq\f(2\r(2),5) B．－eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(2),5) D．－eq\f(2\r(2),5)解析：选B.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)cos(π－α)＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\r(2)cosα.∵sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\r(2)×eq\f(3,5)＝－eq\f(\r(2),5).8.eq\f(sin10°＋sin50°,sin35°·sin55°)的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4解析：选C.原式＝eq\f(sin（30°－20°）＋sin（30°＋20°）,sin35°·cos35°)＝eq\f(2sin30°·cos20°,\f(1,2)sin70°)＝eq\f(cos20°,\f(1,2)sin70°)＝2.9．在△ABC中，若cosAcosB＝－cos2eq\f(C,2)＋1，则△ABC确定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形解析：选C.由已知得2cosAcosB＝－2cos2eq\f(C,2)＋2＝－(cosC＋1)＋2＝cos(A＋B)＋1＝cosAcosB－sinAsinB＋1，∴cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＝1，又－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B，故选C.10．函数y＝sinxcosx＋eq\r(3)cos2x－eq\r(3)的图象的一个对称中心是()A．(eq\f(2π,3)，－eq\f(\r(3),2)) B．(eq\f(5π,6)，－eq\f(\r(3),2))C．(－eq\f(2π,3)，eq\f(\r(3),2)) D．(eq\f(π,3)，－eq\r(3))解析：选B.y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3)（1＋cos2x）,2)－eq\r(3)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sin(2x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)，h(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))的对称中心为(－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，0)，k∈Z，∴y＝sin(2x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)的对称中心为(－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，－eq\f(\r(3),2))，k∈Z，阅历证知B正确．二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为________．解析：由已知得cosα＝－eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα＝－eq\f(\r(2),10).答案：－eq\f(\r(2),10)12．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵β为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.答案：113．已知A，B为锐角，且满足tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos(A＋B)＝________．解析：由A，B为锐角，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，得tan(A＋B)＝－1，A＋B＝eq\f(3π,4)，故cos(A＋B)＝－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)14．已知eq\r(3)sinxcosx＋3cos2x－eq\f(3,2)＝Asin(2x＋φ)，其中A>0，0<φ<2π，则A＝________，φ＝________．解析：eq\r(3)sinxcosx＋3cos2x－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(3,2)cos2x＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴A＝eq\r(3)，φ＝eq\f(π,3).答案：eq\r(3)eq\f(π,3)15．若函数y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))与函数y＝sin2x＋acos2x的图象的对称轴相同，则实数a的值为________．解析：y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))),2)，这个函数图象的对称轴方程是2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，取k＝0，得其中一条对称轴方程是x＝－eq\f(π,6).假如x＝－eq\f(π,6)是函数y＝sin2x＋acos2x的对称轴，则当x＝－eq\f(π,6)时，这个函数取得最值，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝±eq\r(1＋a2)，即－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)a＝±eq\r(1＋a2)，解得a＝－eq\f(\r(3),3).当a＝－eq\f(\r(3),3)时，函数y＝sin2x＋acos2x＝sin2x－eq\f(\r(3),3)cos2x＝eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cos2x))＝－eq\f(2\r(3),3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，明显符合要求．答案：－eq\f(\r(3),3)三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，其中0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π.求：(1)tan(α－β)的值；(2)α＋β的值．解：(1)∵tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7.(2)∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，且0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2).∴α＋β＝eq\f(5π,4).17．已知函数f(x)＝2asineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋sin2eq\f(x,2)－cos2eq\f(x,2)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴；(2)当a＝2时，在f(x)＝0的条件下，求eq\f(cos2x,1＋sin2x)的值．解：f(x)＝asinx－cosx.(1)当a＝1时，f(x)＝sinx－cosx＝eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))，则函数f(x)的最小正周期为2π.令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．则函数f(x)的图象的对称轴是x＝kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．(2)当a＝2，f(x)＝0时，有0＝2sinx－cosx，则tanx＝eq\f(1,2)，则原式＝eq\f(cos2x－sin2x,（cosx＋sinx）2)＝eq\f(cosx－sinx,cosx＋sinx)＝eq\f(1－tanx,1＋tanx)＝eq\f(1,3).18．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．解：(1)∵eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α－eq\f(β,2)<π，－eq\f(π,4)<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(\r(21),7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(3),2).∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(7),7)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(21),14).(2)∵eq\f(π,4)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(3π,4)，∴sineq\f(α＋β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(7),14).∴taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(sin\f(α＋β,2),cos\f(α＋β,2))＝－eq\f(5\r(3),3).∴tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(3),11).19．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin2β，求证：tanα＋tanβ＝2tan2β.证明：由于tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(2sinβcosβ,sin2β＋cos2β)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，所以eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，整理得：tanα＝eq\f(3tanβ＋tan3β,1－tan2β).所以tanα＋tanβ＝eq\f(3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β,1－tan2β)＝eq\f(2×2tanβ,1－tan2β)＝2tan2β.20．已知函数f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x)).(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；(3)若f(x)＝eq\f(6,5)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a