【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习-专项训练高考中档题训练(一)

高考中档题训练(一)1.(2022嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且QUOTE=QUOTE.(1)若C=QUOTEπ,求角B的大小;(2)若b=2,QUOTE≤C<QUOTE,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得QUOTE=QUOTE=QUOTE,则sinB=sin2C=sinQUOTEπ=QUOTE.故B=QUOTE(B=QUOTE舍去).(2)由(1)中sinB=sin2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,QUOTE≤C<QUOTE,B≥QUOTEπ,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=QUOTEhb=tanC≥QUOTE,即当C=QUOTE时,S△ABC的最小值是QUOTE.2.(2022浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{QUOTE}的前n项和为Tn,求证:QUOTE≤Tn<QUOTE.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0),由题知QUOTE即QUOTE解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-QUOTE),则Tn=QUOTE(1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE)=QUOTE(1+QUOTE-QUOTE-QUOTE)=QUOTE-QUOTE(QUOTE+QUOTE),由QUOTE(QUOTE+QUOTE)>0可知QUOTE-QUOTE(QUOTE+QUOTE)<QUOTE,即Tn<QUOTE,由Tn+1-Tn=QUOTE(QUOTE-QUOTE)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=QUOTE,可证得:QUOTE≤Tn<QUOTE.3.(2022浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=QUOTEAD=1,CD=QUOTE.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角MBQC为30°,设QUOTE=tQUOTE,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=QUOTEAD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=QUOTEAD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,QUOTE),B(0,QUOTE,0),C(-1,QUOTE,0).设M(x,y,z),则QUOTE=(x,y,z-QUOTE),QUOTE=(-1-x,QUOTE-y,-z),∵QUOTE=tQUOTE,∴QUOTE∴QUOTE在平面MBQ中,QUOTE=(0,QUOTE,0),QUOTE=(-QUOTE,QUOT