【同步辅导】2021高中数学北师大版选修1-1学案：《函数的最值》

第3课时函数的最值1.理解函数最大值和最小值的概念.2.把握求在闭区间[a,b]上连续函数f(x)的最大值和最小值的思想方法和步骤.3.把握函数极值与最值的区分与联系.如图,设铁路线AB=50km,点C处与B之间的距离为10km,现将货物从A运往C,已知1km铁路费用为2元,1km大路费用为4元,在AB上M处修筑大路至C,使运费由A到C最省,求M的具体位置.问题1:函数的最值函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念,必需是整个区间上全部函数值中的最大者,必需是整个区间上的全部函数值中的最小者.

问题2:函数的最值与极值的区分(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的,极大值、微小值是比较四周的函数值得出的;

(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有个;

(3)极值只能在区间内取得,最值可以在处取得;

(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是.

问题3:求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在开区间(a,b)内全部使的点.

(2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的全部点及的函数值,其中最大的一个为,最小的一个为.

问题4:利用导数可以解决以下类型的问题:(1)恒成立问题;(2)函数的即方程根的问题;(3)不等式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.

1.下列说法正确的是().A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的微小值就是函数的最小值C.函数的最值肯定是极值D.在闭区间上的连续函数肯定存在最值2.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f'(x)().A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3.函数y=x·e-x在x∈[2,4]上的最小值为.

4.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,且a>0,求a,b的值.利用导数求函数的最值求函数f(x)=13x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值利用函数的最值求参数的范围函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是().A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1 D.0<a<1利用导数解决恒成立问题已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.(1)求函数f(x)的极值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37.(1)求实数a的值;(2)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>12),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于设f(x)=x3-12x2-2x+5(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.1.下列命题中正确的是().A.一个函数的极大值总是比微小值大B.函数的导数为0时对应的点不肯定是极值点C.一个函数的极大值总比最大值小D.一个函数的最大值可以比最小值小2.函数f(x)=x3-x2-x+1在[-1,1]上的最大值为().A.427 B.827 C.1627 3.假如函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上的最大值为3,那么函数在此区间上的最小值为.

4.已知f(x)=x3-12x2-2x+a,对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2,求a的取值范围(2022年·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.考题变式(我来改编):第3课时函数的最值学问体系梳理问题1:最大值最小值问题2:(1)极值点(2)一(3)端点(5)极值问题3:(1)f'(x)=0(2)端点最大值最小值问题4:零点基础学习沟通1.D最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的.2.A由题意知函数在闭区间上全部函数值相等,故其导数为0.3.4e4y'=ex-xexex2=1-xex,当x∈[2,4]时,y'<0,即函数y=x·e-x在x∈[4.解:f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4,则函数f(x)在[-1,2]上的单调性及极值状况如下表所示:x[-1,0)0(0,2]f'(x)+0-f(x)↗极大值↘∴f(0)=b=3.又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3,f(2)=8a-24a+3=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.重点难点探究探究一:【解析】f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,即x2-4=0,由于f'(x)>0时,x<-2或x>2,f'(x)<0时,-2<x<2,所以在[0,3]上,当x=2时,f(x)取微小值,微小值为f(2)=-43又由于f(0)=4,f(3)=1,因此,函数f(x)=13x3-4x+4在[0,3]上的最大值是4,最小值是-4【小结】设函数f(x)在[a,b]上连续,即在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值.探究二:【解析】f'(x)=3x2-3a,∵在开区间(0,1)内有最小值,∴最小值点肯定不是端点,且在(0,1)内,∴在(0,1)上f(x)有极值,即f'(x)=0有根,∴f'(0)·f'(1)<0.即(-3a)·(3-3a)<0,得0<a<1.[问题]上述求解过程正确吗?[结论]结果正确,但过程不正确,由于上述过程不能体现在区间(0,1)内f(x)有极大值还是微小值,也就是f(x)有最大值,还是最小值,正解如下:由题意f'(x)=3x2-3a的图像在(0,1)内与x轴有交点,且函数图像由下到上与x轴相交.∴f'(0)<0【答案】B【小结】本题解答关键是通过导数得到原函数的极值、单调性等性质,障碍在于如何将题意进行等价转化,同时要留意结合函数零点存在性定理.探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2+4x+1,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=-13当x变化时,f'(x)、f(x)的变化状况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,-13-1(-13,+∞f'(x)+0-0+f(x)递增极大值递减微小值递增∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;当x=-13时,f(x)取得微小值为-112(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).若2-a≥0,即a≤2,明显F(x)min=4>0.若2-a<0,即a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2a当0<x<2a-43时,f'(x当x>2a-43时,f'(x∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(2a-43即(2a-43)3+(2-a)(2a-4解不等式得a≤5,∴2<a≤5.当x=0时,F(x)=4满足题意.综上所述,a的取值范围为(-∞,5].【小结】本题的关键是构造新函数,将问题转化为函数的最小值不小于0,再求参数范围.思维拓展应用应用一:(1)f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2.当0<x<2时,f'(x)<0,函数递减;当-2<x<0时,f'(x)>0,函数递增.又f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a,所以f(x)min=f(-2)=-40+a,由已知得-40+a=-37,解得a=3.(2)由(1)知函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(0)=a=3.应用二:1∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f'(x)=1x-a,令f'(x)=0得x=1a,又a>12,∴0<1令f'(x)>0,则x<1a,∴f(x)在(0,1a)令f'(x)<0,则x>1a,∴f(x)在(1a,2)∴f(x)max=f(1a)=ln1a-a·1a=-1,∴ln1a=0,应用三:(1)由已知得f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-23∴当x∈(-∞,-23)时,f'(x)>0,f(x)为增函数当x∈(-23,1)时,f'(x)<0,f(x)为减函数当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴f(x)的递增区间为(-∞,-23)和(1,+∞),递减区间为(-23,1(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,只需使f(x)在[-1,2]上的最大值小于m即可.由(1)知f(x)极大值=f(-23)=5+2227,f(x)微小值=f(1)=72,又∵f(-1)=112,f(2∴f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=7,∴m>7,即m的取值范围为(7,+∞).基础智能检测1.B2.D令f'(x)=3x2-2x-1=0得x=1或x=-13,由于f(1)=f(-1)=0,f(-13)=3227,所以函数在[-1,1]3.-37f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,列表得:x-2(-2,0)0(0,2)2f'(x)+0-f(x)m-40↗m↘m-8故当x=0时,f(x)max=m=3,当x=-2时,f(x)min=3-40=-37.4.解:对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2成立,转化为f(x)max<3a2,f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,解得x=1或x=-23x-1(-1,-23-2(-23,11(1,2)2y'+0-0+y12↗2227↘a-3↗2+a当x=2时,f(x)max=2+a,即a+2<3a2,解得a<-23或a>1全新视角拓展解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f'(x)=3ax2+b.由于f(x)在点x=2处取得极值c-16.故有f即12a+解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)