2022届《创新设计》数学一轮(文科)浙江专用课时作业-4-1平面向量的概念及线性运算

第四章平面对量第1讲平面对量的概念及线性运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．把平面上全部的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是()A．一条线段 B．一段圆弧C．两个孤立点 D．一个圆解析由单位向量的定义可知，假如把平面上全部的单位向量平移到相同的起点上，则全部的终点到这个起点的距离都等于1，全部的终点构成的图形是一个圆．答案D2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．答案B3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|解析eq\f(a,|a|)表示与a同向的单位向量，eq\f(b,|b|)表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，观看选项易知C满足题意．答案C4．(2022·福州质量检测)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－C．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)解析依题意得eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝2(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故选D.答案D5．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1解析∵M为BC上任意一点，∴可设eq\o(AM,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))(x＋y＝1)．∵N为AM的中点，∴eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\f(1,2).答案A二、填空题6．向量e1，e2不共线，eq\o(AB,\s\up8(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中全部正确结论的序号为________．解析由eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up8(→))，且eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CB,\s\up8(→))不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．答案④7．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．解析由eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，得4eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(AC,\s\up8(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up8(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．设a，b是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λBeq\o(D,\s\up8(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－1三、解答题9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．10．如图，在平行四边形OADB中，设eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).试用a，b表示eq\o(OM,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))及eq\o(MN,\s\up8(→)).解由题意知，在平行四边形OADB中，eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，则eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.eq\o(ON,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.力气提升题组(建议用时：35分钟)11．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，知点O为△ABC的重心，又O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.答案B12．(2021·绍兴联考)O是平面上确定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹确定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析作∠BAC的平分线AD.∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up8(→)),|\o(AD,\s\up8(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up8(→))|)·eq\o(AD,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(AD,\s\up8(→)).∴P的轨迹确定通过△ABC的内心．答案B13．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，则实数λ的值为________．解析如图所示，由eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，且eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此eq\o(AP,\s\up8(→))＝－2eq\o(PD,\s\up8(→))，则λ＝－2.答案－214．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|，则△ABC的外形为________．解析eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形15．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解设eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a与b为不共线的非零向量，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴当t＝eq\f(1,2)时，三向量终点在同始终线上．16.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up8(→)).解eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq