2022届【创新设计】数学一轮(浙江专用-理科)-第四章-课时作业-4-2

第2讲平面对量基本定理及坐标表示基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·沈阳质量检测)已知在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,4)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．(－1，－12) B．(－1,12)C．(1，－12) D．(1,12)解析由于四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,12)．答案B2．(2022·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.答案B3．(2022·台州质量检测)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.答案A4．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b解析设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.答案B5.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且Beq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(A,\s\up6(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A二、填空题6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析由于a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.又e1，e2是平面内一组基向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案eq\f(2,3)－eq\f(1,3)三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，法一当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ.))解得k＝λ＝－eq\f(1,3)，∴当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．∵λ＝－eq\f(1,3)<0，∴ka＋b与a－3b反向．法二∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3)，此时ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－3，－\f(2,3)＋2))＝－eq\f(1,3)(a－3b)．∴当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．力气提升题组(建议用时：35分钟)11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案B12．(2021·湖州联考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)解析由于|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案A13．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．解析由题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq\f(5,4).答案m≠eq\f(5,4)14.如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．解如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，①若是▱ABCD，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x＝－1，,－2－y＝2，))∴x＝0，y＝－4.∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)．②若是▱ADBC，由eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，得(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.∴D点的坐标为(2,4)(如图中所示的D2)．③若是▱ABDC，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，得(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.∴D点的坐标为(－2,0)(如图中所示的D3)，∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．15．(2022·浙江六校联考)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，将eq\o(OG,\s\up6(→))用λ，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))表示；(2)设eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝yeq\o(OB,\s\up6(→))，证明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值．(1)解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)