2024年高考数学复习 第一轮复习讲义（新高考地区专用） 考点04函数及其性质（20种题型10个易错考点）（原卷版+解析）

考点04函数及其性质(20种题型10个易错考点)

Q一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考1,第12题函数奇偶性与周期性利用奇偶性求函数值

2022新高考2,第8题函数奇偶性与周期性利用周期性求值

2021新高考1,第13题函数奇偶性与周期性利用奇偶性求解参数的值

2021全国乙理，第4题函数奇偶性与周期性判断函数奇偶性

2020新高考1,第8题函数奇偶性与周期性解不等式

2020新高考2,第7题函数单调性与最值利用单调性求参数的取值范围

Q二、命题规律与备考策略

本专题•般不会出现单•知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性，或将函数的性质融入函数

图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解。

瓦2真题抢先刷，考向提前知

1.(2022•新高考II)已知函数的定义域为R,且/■(户y)+f(x-y)=fkx)f(y),f(1)=1,

22

则£/(〃)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

2.(2021•新高考H)已知函数F(幻的定义域为R(f(x)不恒为0),f(户2)为偶函数，£(2户1)为奇

函数，贝ij()

A.f(-A)=oB.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

2

3.(2021•新高考H)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/'(x)：.

①f(Xl>2)=f(X1)f(A2)；②当XW(0,+8)时，f(x)>0；③/(x)是奇函数.

4.(2021•新高考I)已知函数F(x)=x(a・2匚2-,)是偶函数，则a=.

5.(2021•新高考I)函数f(x)=|2x-1|-2/〃*的最小值为.

匚四、考点清单

一.函数的概念及其构成要素

初中函数的定义：

设在某一变化过程中有两个变量*和八如果对于每一个x值，，都有唯一的值和它对应，那么就说y

是X的函数，

才叫自变量，y叫因变量.

高中函数的定义：

一般地，设儿8是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/；使对于集合中力任意一个数万,在

集合中4

都有唯一确定的数r（x）和它对应，那么就称为力一〃从集合力到集合8的一个函数，记作y=fCx）,*£儿

其中，x叫做自变量，x的取值范围川叫做函数的定义域：与A■的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集

合｛f（外*£4｝叫做函数的值域.显然，值域是集合的子集.

函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定：

②/'（X）是函数符号，F表示对应关系，fQx）表示x对应的函数值，绝对不能理解为F与x的乘积.在不

同的函数中/的具体含义不同，

由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号/（》）表示外，还可用g

（x）,F（x）等表示.

【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法.

【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考中函数命题比较

多，以小题与大题出现，

可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联系常常是压轴题，

难度比较大.

二.判断两个函数是否为同一函数

函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样.

【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域

是否相同，对应法则是否相同.

【命题方向】高考中以小题出现，选朽题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函

数命题比较少.

三.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式20；

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1：

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有

意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还

要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四

则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函

数不存在.（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则F下的量“右a”a”所要满足的范围是

一样的；②函数“（*）中的自变量是阳所以求g（*）的定义域应求g（x）中的*的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

四.函数的值域

【知识点的认识】函数值的集合｛F（力|*£]｝叫做函数的值域.1是函数的定义域.

【解题方法点拨】（1）求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.

无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.

（2）函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.

在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

（3）运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能

力和数学建模能力.

【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，

是常考题型.

五.函数解析式的求解及常用方法

【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解.

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；，1、消元法；5、赋值法等等.

【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交

点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法.

【命题方向】求解函数解析式是高考雨点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考.是基础题.

六.函数的表示方法

【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法.

2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示山函数关系.即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满

足函数关系的点都在图象上.这种由图形表示函数的方法叫作图象法.

3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，尸/*（外：这种方法叫做解析法.

图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.

【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，

例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如

何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应

关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象.

【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般是基础题.

七.函数的图象与图象的变换

【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表：（2）描点；（3）连线.

解题方法点拨：一般情况下，函数需耍同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，

然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）.

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的

奇偶性、对称性、单调性知识结合命题.

【图象的变换】

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式：③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最人值点、最小值点、与坐标粕的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换：

y=f（x）a>0,右移a个单位（aVO,左移Ia|个单位）=y=F（x-a）；

y=f(x)A>0,上移6个单位(6V。，下移|引个单位)=y=f(幻-b.

(2)伸缩变换：

0<。<1，伸长为原来的1倍

、夜>1，缩短为原来赳_〃,，、、

y—f\x)My—r(w%)；

y=f(x)A>1,伸为原来的4倍(O<J<1,缩为原来的力倍)=>y=AfCx).

(3)对称变换:

y=f(x)关于x轴对称-z=-f(x)；

y=f(x)关于y轴对称ny=f(-x)；

y=f(x)关于原点对称ny=-f(-x).

(4)翻折变换：

y=f(x)去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边=y=F(Ix)：

尸f(x)留下x轴上方图将*轴下方图翻折上去尸|F(x)|.

解题方法点拨

1、面函数图象的一般方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据

这些函数或曲线的特征直接作出.

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，

但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位

及解析式的影响.

(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，

常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

(1)知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域：

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

③从图象的刈称性方面，观察函数的奇偶性；

④从图象的循环往复，观察函数的周期性.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项.

(2)知式选图:

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势：

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

④从函数的周期性，判断图象的循环往友.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口.

3、(1)利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值：从图象的对称性，分析函数的奇偶性：从图象的走向趋

势，分析函数的单调性、周期性等.

(2)利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.

4、方法归纳：

(1)1个易错点--图象变换中的易借点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的y变换”的原则，写出每一次的变摭所

得图象对应的解析式，这样才能避免出错.

(2)3个关键点--正确作出函数图象的三个关健点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、耗函数、形如/=户的

函数：

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.

(3)3种方法--识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的

信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征

来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题：

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

八.分段函数的解析式求法及其图象的作法

【知识点的认识】

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用

几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数.已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在

另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题.

【解题方法点拨】

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2、换元法或配凑法，已知复合函数］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法：

3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x)：

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.分段函数是一类重要的函数模型.解决

分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题.

【命题方向】

分段函数是今后高考的热点题型.常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问

题.

九.函数的单调性及单调区间

【知识点的认识】

一般地，设函数/(*)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃上的任意两个自变量M，X2,

当加VM时，都有F(小)vr(E),那么就说函数f(x)在区间〃上是增函数；当乂</2时，都有r")

那么就说函数f(x)在区间〃上是减函数.

若函数f(外在区间〃上是增函数或减函数，则称函数F(*)在这一区间具有(严格的)单调性，区间〃

叫做(x)的单调区间.

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循

“同增异减”：证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意小，加£［a，且小¥即，那么

一f(X.)-f(x9)、

①——!-------2_>0«/'(^)在［小句上是增函数；

xl-x2

f(x)-f(x)

------------—<0<=>/(x)在［a,b］上是减函数.

xl-x2

②(由-必)"(汨)-f(x2)］>0=F(x)在［a,3上是增函数：

(X1-x2)-f(x-2)］<0<=>f(x)在［a,6］上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重:点内容，•般足以轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性

定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问

题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、

最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重:要方法的基础二，乂注重考查函数方程、等价转亿、

数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调

性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

十.函数单调性的性质与判断

【知识点的认识】

一般地，设函数F(x)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃上的任意两个自变量小，E，

当心<即时，都有，,(而)V尸(即)，那么就说函数尸(外在区间〃上是增函数；当房>即时，都有m

Vf(死),那么就说函数f(x)在区间。上是减函数.

若函数f(外在区间〃上是增函数或减函数，则称函数f(幻在这一区间具有(严格的)单调性，区

间〃叫做尸F(x)的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值：②作差；③变形：④语定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第•步：求函数的定义域.若题设中有对数函数•定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑

定义域.

第二步：求函数的导数F(z),并令/(x)=0,求其根.

第三步：利用f(X)=0的根和不可导点的A■的值从小到人顺次将定义域分成若干个小升区间，并列表.

第四步：由r(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性：求极值、最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为/'(x)ma烂a或f(x)min》a,解不等式求参数的取值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择

题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主

观题在考查基本概念、.重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方

法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围

为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

十一.复合函数的单调性

【知识点的认识】

所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑

整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的为主.

【解题方法点拨】

求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤：

(1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；

(3)分别确定两基本初等函数的单调性；

(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.

【命题方向】

理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性.

十二.函数的最值及其几何意义

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐

标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

【解题方法点拨】

①基本不等式法：如当才＞0时，求2肝a的最小值，有2H822、/@=8；

xxVx

②转化法：如求|x-5|+的最小值，那么可以看成是数轴上的点到斤=5和*=3的距离之和，易知最

小值为2：

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较.

【命题方向】

本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视.本知识点未来

符仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变

量或者参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求导法等.

十三.奇函数、偶函数

【奇函数】

如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(A-),那么函

数/Xx)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.

解题方法点拨：

①如果函数定义域包括原点，那么运用f(0)=0解相关的未知量；

②若定义域不包括原点，那么运用f'、x)=-/*(-A-)解相关参数：

③己知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数/(*),当*>0时，/•

(x)=x+x

那么当XV0时，-x>0,有f(-彳)=(-x)2+(-x)n-f(力=?-Qf(x)=-x+x

命题方向：

奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查

形式主要也就是上面提到的这两种情况--求参数或者求函数的表达式.

【偶函数】

如果函数F(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个心都有f(・x)=f(x),那么函数

r(A)就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

解题方法点拨：

①运用F(x)=/(-x)求相关参数，如y=a/+6f+c广&那么a+c是多少？

②结合函数图象关于y轴对称求函数与才轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数1(-2)=0,周期

为2,那么在区间(-2,8)函数与尸轴至少有几个交点.

命题方向：

与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的

灵活运用.

十四.函数奇偶性的性质与判断

【知识点的认识】

①如果函数/'(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个人都有F(-x)=-f(x),那么函数r

(x)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数F1幻的定义域关于原点对称，且定义

域内任意一个筋都有/(・*)=f(x),那么函数/'(X)就叫做偶函数，其图象特点是关于J，轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f(0)=0解相关的未知量：

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)=-f(-x)解相关参数：

③偶函数：在定义域内一般是用=f(-x)这个去求解：

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

【命题方向】函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

十五.奇偶函数图象的对称性

【知识点的认识】

奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是r(x)=/〃时，

/'(-*)=-砒偶函数的图象关于y轴对称,它的特点是当f(x)=〃时,/<(-x)=n.

【解题方法点拨】

由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

eg；若奇函数/'(X)在区间［1,3］内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4,求函数广(外在区

间［-3,内的最值.

解：由奇函数的性质可知，f(x)在［-3,-1］上位单调递增函数，

那么最小值为F(-3)=-f(3)=-7；最大值为/'(-I)=-f(l)=-4

【命题方向】

本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数

与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大

范围内它与*轴的交点个数，同学们务必多多留意.

十六.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

X」于奇偶函数综合，其实也开淡不上其正的综合，一般情况下也就是欠它们开列在一起，所以说关键还是

要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用.在重复一下它们的性质①奇函数f

(力的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有F(-x)=-f(幻，其图象特点是关于(0,

0)对称.②偶函数/(*)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个都有/*(・*)=/(*),其图

象特点是关于，轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用F(0)=()解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用F(x)=-f(-X)解相关参数：

③偶函数：在定义域内一般是用F(外=r(-x)这个去求解：

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性•致，而偶函数的单调性相反

【命题方向】奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这

一个知识点.

十七.抽象函数及其应用

【知识点的认识】

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特死的式子的一类函数.由于抽象函数

表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.

【解题方法点拨】

①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如/•(户y)=f(x)+f(y),它的原型就是y=Ax；

②可通过赋特殊值法使问题得以解决

例：f(xy)=F(x)+F(y)，求证/'(1)=f(-1)=0

令x=y=l,则F(l)=2f(1)=>f(1)=0

令*=y=-1,同理可推出/*(-1)=0

③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；

【命题方向】抽象函数及其应用.

抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面毙到的这两种.高考中一般以中档题

和小题为主，要引起重视.

十八.函数的周期性

【知识点的认识】

函数的周期性定义为若7为非零常数，对于定义域内的任一X,使f(x)=f(^D恒成立，则f(x)

叫做周期函数，7叫做这个函数的•个周期.常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数.

【解题方法点拨】

周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富.

①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，

【命题方向】

周期函数、奇偶函数都是高考的营考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为

了高考将仍然以小题为主.

十九.函数恒成立问题

【知识点的认识】

恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性

（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过

程.例：要使函数F（X）=a/2+l恒大于0,就必须对a进行限制--令a20,这是比较简单的情况，而

对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单

【解题方法点拨】

一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导.

例：F（x）=片+2m32々筋（x>0）求a的取值范围.

解：由题意可知：aW..+2x+3恒成立

x

即aW广3+2

X

=aW2标2

【命题方向】

恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应

用，突出了导数的工具性作用.

二十.函数的值

【知识点的认识】

函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域.函数的值域和定义域一样，都是常考

点，也是易得分的点.其概念为在某•个定义域内因变量的取值范围.

【解题方法点拨】

求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：

①基本不等式法：如当x>0时，求2广@的最小值，有2G@22、以a=8；

xxVZXx

②转化法：如求|x-5|+|x-3]的最小值，那么可以看成是数轴上的点到*=5和*=3的距离之和，易知最

小值为2：

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较

【命题方向】

函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里而出现，这类题难度小，方法集中，希望同

学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主.

u五、题型方法

一.函数的概念及其构成要素（共2小题）

1.（2023•西宁二模）已知图1对应的函数为y=/Xx）,则图2对应的函数是（）

C.y=/'(Ix|)D.y=-f(-x)

（多选）2.（2023•福建二模）对任意实数x,记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y=[x]为高斯函数,

又称取整函数.如下加个数：[誓±L],[2023+2]乎…，不可组成一个72元集

令，则下列加的取值中不涉足要求的有（)

A.100B.105C.110D.115

二.判断两个函数是否为同一函数（共1小题）

3.（2022•河东区模拟》下列函数与/（x）=户1是同一个函数的是（）

A，g（x）=VP+1B.g（x）=^-+1

C-g（x）=V^+lD-g（x）

三.函数的定义域及其求法（共3小题）

4.（2023•海南一模）函数丫个砥」」的定义域为（）

x-1

A.（-8,2]B.（-OO,1）u（1,2]

C.[1,2]D.（-8,1]

5.（2023•延庆区一模）已知函数y={ax+l的定义域为力,R.-3GA则a的取值范围是

6.（2023•泸县校级模拟）已知函数/（外=4|x+2I+Ix-4I-m的定义域为R.

（1）求实数m的范围;

（2）若r的最大值为〃，当正数用。满足—1-+—时，求4K76的最小值.

a+5b3a+2b

四.函数的值域（共4小题）

7.（2023•全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的

高斯提出了取整函数y=［x］，［川表示不超过X的最大整数，例如［1.1］=1,［-1.1］=-2.已知

f（x）=［x—］，xE［p6），则函数"外的值域为（）

A.{4,6,8}B.{4,5,6}C.{4,5,6,7,8}D.{4,8}

（多选）8.（2023•广州二模）已知函数f但）口与社的定义域是［a,力］（a,b《Z）,值域为［0,1］,则

X2+4

满足条件的整数对（a,b）可以是（）

A.(-2,0)B.(-1,1)C.(0,2)D.(-1,2)

9.（2023•南部县校级模拟）设r（>）与g（x）是定义在同一区间［a,3上的两个函数，若对任意乃£［&

b］,都有|f（x）・g（x）|W1成立,则称f（x）和g（x）在0,⑸上是“亲密函数”，区间［a,⑸称为

"亲密区间若F（x）=x-3户4与g（x）=2x-1在［a,上是“亲密函数”，则Z>-a的最大值是,

log2（4），x<T

10.（2023•鼓楼区校级模拟）设函数=,/c，若/•（外在区间［m,4］上的值

1242、，

飞W'W，x〉T

域为［-1，2］,则实数力的取值范围为

五.函数解析式的求解及常用方法（共3小题）

11.（2023•赤峰模拟）己知函数/'（*）的部分图像如图，则函数f（外的解析式可能为（）

A.F(x)=(e・/)sinxB.F(x)=(e+e-)sinx

C.f(x)=(S-e')cos/D.f(x)=(e"+e')cosx

12.(2023•浙江模拟)定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(-外=f3,且/*(2-x)+F(x)=

0.请写出符合条件的一个函数的解析式/(外=.

13.(2023•武功县校级模拟)已知函数人幻满足fix)+2A-1)=*则函数fQx)的解析式为.

六.函数的表示方法(共2小题)

14.(2023•广西模拟)2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后

来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图.已知目前的月就医费比刚

参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为()

40n/

/^u^

35n/

/^u^

30A/

/^v^

25

20n/

/^v^

15n

/^

10n/

/^u^

5n/

/^u^

0

储蓄衣食住旅行就医

A.7000B.7500C.8500D.9500

15.12023•丽江•模)据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最即重的国家之如下表示我国土地

沙化总而枳在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述

195019601970198019902000隹伤

七.函数的图象与图象的变换(共2小题)

16.（2023•河南模拟）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-2,2］上的大致图象，则该函数是（）

-20I7工

A.

e-e

B-

e-e

-/、xcos2x

Crf（x）-x-x

e-e

2

n-/、XCOS2X

D

-f（x）-v_v

e-e

r）x_n-X

17.（2023•南宁二模）函数f（x）*—J-的图象大致是1）

1-x2

r

lr

4L工★

c.rrD

A.分段函数的解析式求法及其图象的作法（共1小题）

18.（2022•上虞区模拟）设函数f（X）=弓）⑹Y°,

则汗/'（】）］=______,若/（a）>1,则实

lgx,x>0

数a的取值范围是______.

九.函数的单调性及单调区间（共2小题）

19.（2022•吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（）

A.y=2'-2'B.y=x3C.y=tanxD.y=1og।x

~2

20.（2022•黄浦区模拟）己知函数/\x）

3xx

（1）写出函数f（幻的单调递增区间：

<2）求证：函数f（彳）的图象关于直线夕=a/对称：

（3）某同学经研究发现，函数£（*）的图象为双曲线，*=0和〃=乂1_>为其两条渐近线，试求出其顶

3

点，焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.

一十.函数单调性的性质与判断（共2小题）

21.（2023•台州二模）已知函数/（/）同时满足性质：①/*（-*）=r（n；②当VM，x2e（0,1）时，

f（Xi）-f（Xo）,

--------1------------L<0,则函数可能为（）

xl-x2

x

A，9）B.f（X）=（1）

C./*（x）=cos4*I）,f（x）=/〃（l-|x|）

f（x）-f（x）

22.（2023•泸县校级模拟）函数八x）满足：①定义域为R,②八-幻+八才）=0,③——1-----------—>（）■清

xl-x2

写出满足上述条件的一个函数F（了），f（x）=.

一十一.复合函数的单调性（共4小题）

23.（2023•济宁一模）若函数F（x）=log“（ax-£）（心。且4#［）在区间（0,1）内单调递增，则的

取值范围是（)

C(0,4)

A.[3,+8)B.(1,3]D.亭1）

（多选）24.（2023•渝中区校级模拟；若f晨）=61-/（x€R），其中©为自然对数的底数，则下列命题

正确的是（）

f（*）在（0,+8）上单调递增

B.f（外在（0,+8）上.单调递减

C./'（x）的图象关于直线＞=0对称

D./（*）的图象关于点（0,0）中心对称

25.（2023•重庆模拟）函数y=Vx2+4x-5的单调减区间为.

26.（2023•安康一模）已知函数f（x）=logKax2+4x+5）-

（1）若f（1）=3,求函数£（x）的单调区间：

（2）是否存在实数a,使函数f（%）的最小值为0?若存在，求出&的值；若不存在，请说明理由.

一十二.函数的最值及其几何意义（共3小题）

27.12023•安徽二模）在平面直角坐标系*如中，定义月（汨，y.）,BJ,%）两点间的折线距离4（月，B）

=1M・即1+出・%1，该距离也称曼哈顿距离.已知点必（2,0）,N（a,h）,若A）=2,则/+户

・4a的最小值与最大值之和为（）

A.0B.-2C.-4D.-6

28.（2023•广东模拟）若存在常数a,b,使得函数F（x）对定义域内的任意x值均有/'（x）+f（2a-x）

=2b,则F（x）关于点（&b）对称，函数f（x）称为“准奇函数”.现有“准奇函数”g（x）,对于V*£R,

g(x)+g(-x)=4,则函数h(.r)=sin户户2g(x)-1在区间：-2023,2023］上的最大值与最小值

的和为()

A.4B.6C.7D.8

29.(2023•江西模拟)已知函数f(x)=|上红|+|上红他最小值为加.

XX

(1)求勿的值：

(2)若a>0,b>0,a+b=m,求_^_的最大值.

a+4b

一十三.奇函数、偶函数(共1小题)

30.12023•重庆一模)设函数f(x)定义域为R,且f(x)-1是奇函数，当0WxW2时，/(*)

+1：当x>2时，f(幻=2k」+1.当A变化时，方程f(x)-h・1=0的所有根从小到大记为小

…，m，则f(甩)+£(尼)+•••+/(“)取值的集合为()

A.{1,3}B.{1,3,5}C.{1,3,5,7}D.{1,3,5,7,9}

一十四.函数奇偶性的性质与判断(共2小题)

31.(2023•江西模拟)若£(幻是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是()

A.y=r(2z+2'x)B.y=r(2-x)

C.y=f(2r-2'r)D.y=f(2T+A-)

32.(2023•贵州模拟)己知函数=|x-1|-1,下列结论正确的是()

A.F(*)是偶函数

B.f(x)在(0,+8)上单调递增

C.fix)的图象关于直线x=l对称

D.fix)的图象与x轴围成的三角形面积为2

一十五.奇偶函数图象的对称性(共1小题)

33.(2023•晋中模拟)己知函数f(X)=2、U(XER)，则f(幻的图象()

2X

A,关于直线x=2对称B.关于点(2,0)对称

C.关于直线彳=0对称D.关于原点对称

一十六.奇偶性与单调性的综合(共3小题)

34.(2023•商丘模拟)己知是定义在R上的奇函数，f(3)=0,且f(x)在(0,+8)上单调递增，

则不等式工(力+2,(N)_<c的解集为()

x

A.(-8,-3)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)U(3,+8)D.(-8,-3)U(0,3)

35.(2023•房山区一模)已知函数/*(*)同时满足以下两个条件：①对任意实数X,都有/Xx)+/(-幻

=0：②对任意实数为，即，当汨+检工0时，都有f(、l)+f12)(0则函数f(r)的解析式可能为

xl+x2

()

A.Z(x)=2xB.f(x)=-2xC.f(x)=2"D.f(x)=-2r

36.(2023•抚松县校级一模)已知函数f(x)=1--—(a>0且a#l)为定义在R上的奇函数.

oX,

2a+a

(1)利用单调性的定义证明函数/(4在R上单调递增；

(2)求不等式f(f+2x)+f(x-4)>0的解集.

(3)若函数g(x)=k£(x)-1有零点，求实数A的取值范围.

一十七.抽象函数及其应用(共3小题)

37.(2023•南宁二模)已知函数/'(小，g3的定义域均为吊g(A)为g(x)的导函数，且f(公+〃

lx)=2,f(x)-g(4-x)=2,若g(x)为偶函数，则f(2022)+2=()

A.0B.1C.2D.4

(多选)38.(2023•湖南模拟)已知函数f(x)满足：①f(a+x)为偶函数；②f(c+r)+f(c-幻=2d,

a卢c.f(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()

A.f(x)关于x=c对称

B.r（2x）的一个周期为2|c-a|

C.fdx））不关于（c,cf）对称

D.f（F（x））关于x=a对称

39.（2023•宣威市校级模拟）设F（x）是定义在实数集R上的函数，且时任意实数刈y满足=

f（xt）+f（y）+xy-1恒成立.

（1）求/*（（））,/,（I）；

（2）求函数f（x）的解析式；

（3）若方程/[（r（2x）]=在恰有两个实数根在（-2,2）内，求实数4的取值范围.

一十八.函数的周期性（共2小题）

40.：2023•鞍山一模）函数f（外是定义在R上的偶函数，且f（1+外=F（1・3，若*W[0,1],fkx）

=2"