2025高考数学一轮复习§2.1函数的概念及其表示【课件】

第二章§2.1函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.函数的概念一般地，设A，B是

，如果对于集合A中的

一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有

的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：

、

、

.(2)如果两个函数的

相同，并且

完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.非空的实数集任意唯一确定定义域对应关系值域定义域对应关系3.函数的表示法表示函数的常用方法有

、图象法和

.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.解析法列表法1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(

)(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(

)(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(

)(4)函数f(x)＝

的定义域为R.(

)√××√2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象.√√√3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是B.y＝x2与y＝(x－1)2C.y＝

与y＝xD.y＝1与y＝x0√√√并且

，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；对于C选项，y＝

＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数.4.已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是______________.f(x)＝x2＋6xf(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.返回第二部分探究核心题型例1

(1)(多选)下列说法中正确的有√题型一函数的概念C.f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数√对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；(2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(x－1)的定义域为__________.由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4，所以函数f(x－1)的定义域为[－1,4].[－1,4]函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.跟踪训练1

(1)下列各组函数表示同一个函数的是√对于A，f(x)＝

的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝

的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数.(2)(2023·承德模拟)若函数f(x)的定义域为[－2,4]，则函数y＝

的定义域为A.(1,8] B.[－4,1)∪(1,8]C.(1,2] D.[－1,1)∪(1,2]√解得－1≤x≤2且x≠1.例2

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；题型二函数的解析式(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2).(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴f(x)＝2x＋7(x∈R).函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.跟踪训练2

(1)若

，则f(x)＝___________________.(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________.因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，2x＋3或－2x－9所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.题型三分段函数例3

(1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝

则下列关于函数f(x)的结论正确的是A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(－∞，4]C.若f(x)＝2，则x的值是－D.f(x)<1的解集为(－1,1)√√当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－

，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误.(2)已知函数f(x)＝

若f(a)＝4，则实数a的值是_______；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是______________________.－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解得a＝－2或a＝5.解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现

f

(

f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.跟踪训练3

(1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝

则f(2023)等于A.0B.1C.2D.3√由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)，即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数，则f(2023)＝f(3×674＋1)＝f(1)＝f(－2)＝log2[2－(－2)]＝log24＝2.(2)(多选)已知函数f(x)＝

则A.f(f())＝3B.若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3C.f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)D.若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3√√√对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确.返回课时精练一、单项选择题1.函数y＝

的定义域为A.[0,2] B.(－∞，－3)∪(－3,2)C.(－∞，2) D.(－∞，－3)∪(－3,2]√12345678910111213141234567891011121314解得x≤2且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,2].2.(2023·昆明统考)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是1234567891011121314√1234567891011121314A项，存在x与两个y对应，故排除A；B项，当2<x≤4时，没有与之对应的y，故排除B；C项，y的范围超出了集合B的范围，故排除C；D项，满足函数关系的条件，故D正确.A.(－∞，1) B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D.(－∞，1)∪(1，＋∞)√12345678910111213144.(2023·驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于A.－4B.－2C.2D.4√令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝2－1－3＝－2.12345678910111213145.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是1234567891011121314√1234567891011121314水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合.6.已知函数f(x)＝

若f(f(a))＝2，则a等于A.0或1 B.－1或1C.0或－2 D.－2或－1√12345678910111213141234567891011121314令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0，即f(a)＝0时，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1，即f(a)＝1时，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或a＝－1.二、多项选择题7.已知函数f(x)＝

关于函数f(x)的结论正确的是A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(－∞，4)C.f(1)＝3D.若f(x)＝3，则x的值是1234567891011121314√√1234567891011121314所以f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)＝(－∞，2)，所以A错误；对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1<x<2时，0≤x2<4，所以f(x)的值域为(－∞，1]∪[0,4)＝(－∞，4)，所以B正确；对于C，因为f(x)＝

所以f(1)＝12＝1，所以C错误；1234567891011121314对于D，当x≤－1时，由f(x)＝3，得x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，8.下列说法正确的是A.函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3)√1234567891011121314√√1234567891011121314对于A，对于f(x＋1)，令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2,2)，则t∈[－1,3)，所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A正确；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确；1234567891011121314对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，三、填空题1234567891011121314x2－2x(x≥1)于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1).10.设函数f(x)＝

若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为___________________________________.(只需写出满足题意的一个数值即可)若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).12345678910111213140(答案不唯一，满足a∈(－∞，1)即可)四、解答题12345678910111213141234567891011121314∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)画出这个函数的图象；1234567891011121314此分段函数的图象如图所示.在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象.(3)求f(x)的最大值.1234567891011121314由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.123456789101112131412345678910111213141234567891011121314123456789101112131413.(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著