2024年北师大版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高二数学下册月考试卷804考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、满足并使目标函数z=6x+8y取得最大值的点的坐标是（）

A.（1；4）

B.（0；5）

C.（3；0）

D.无穷多个。

2、【题文】设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则等于（）A.B.C.D.3、【题文】[2013·四川广元模拟]如图，已知＝用表示则等于()

A.－B.＋C.－＋D.－－4、已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A.（0，）B.C.D.5、已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）=（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.26、如果abc

满足c<b<a

且ac<0

那么下列选项中不一定成立的是(

)

A.ba>ca

B.c(b鈭�a)>0

C.ac(a鈭�c)<0

D.cb2<ab2

7、如果二次函数y=x2+mx+(m+3)

有两个不同的零点，则m

的取值范围是(

)

A.(鈭�2,6)

B.[鈭�2,6]

C.{鈭�2,6}

D.(鈭�隆脼,鈭�2)隆脠(6,+隆脼)

8、复数i(1鈭�2i)=(

)

A.鈭�2+i

B.2+i

C.2鈭�i

D.鈭�2鈭�i

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、【题文】关于的不等式恒成立，则实数k的取值范围是__________________.10、【题文】顾客请一位工艺师把两件玉石原料各制成一件工艺品；工艺师带一位徒弟完成这。

项任务；每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都。

完成后交付顾客；两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

。工序。

时间。

原料。

粗加工。

精加工。

原料

原料

则最短交货期为____工作日.11、【题文】已知成等比数列，则方程的根有____个．12、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于____．

13、已知椭圆+=1，P（1，1）为椭圆内一点，F1为椭圆的左焦点；M为椭圆上一动点：

（理）则|MP|+|MF1|的最小值为______；

（文）则|MP|+|MF1|的取值范围为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)21、已知z，ω∈C，（1+3i）z为纯虚数，且求ω．

22、如图，直四棱柱的底面是平行四边形，点是的中点，点在且（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求锐二面角平面角的余弦值．23、（本小题满分12分）如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为A1D1、A1B1、BC的中点，（1）求证：GC1//面AEF（2）求：直线GC1到面AEF的距离。评卷人得分五、计算题(共3题，共15分)24、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．25、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．26、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共4题，共16分)27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

由题意画出约束条件的可行域如图；

在与直线6x+8y=0平行的直线中；如图；

只有经过M点时；目标函数z=6x+8y取得最大值．

∴目标函数z=6x+8y取得最大值时的点的坐标M为x+y=5与y轴的交点（0；5）．

故选B．

【解析】【答案】由题意；画出约束条件的可行域，结合目标函数z=6x+8y取得最大值的点的坐标即可．

2、C【分析】【解析】

【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋选C.【解析】【答案】C4、B【分析】【解答】解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=•AB•OC=4；

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣0）；

由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分可得点M在射线OA上．

设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（）；

①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则﹣=﹣2，且=1，解得a=b=

②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于2，即•MB•yN=2；

即•（2+）•=2，解得a=＞0，故b＜1；

③若点M在点A的左侧，则﹣＜﹣2，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P；

则由求得点P的坐标为（）；

此时，NP====

此时，点C（0，2）到直线y=ax+b的距离等于

由题意可得，三角形CPN的面积等于2，即••=2；

化简可得（2﹣b）2=2|a2﹣1|．

由于此时0＜b＜a＜1；

∴（2﹣b）2=2|a2﹣1|=2﹣2a2．

两边开方可得2﹣b=＜则2﹣b＜即b＞2﹣

综合以上可得，b的取值范围是．

故选：B

【分析】先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=②若点M在点O和点A之间，求得b＜1；③若点M在点A的左侧，求得b＞2﹣综合起来可得结论．5、C【分析】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2）；

∴对称轴是x=3．

∵P（X＜5）=0.8；

∴P（X≥5）=0.2；

∴PP（1＜X＜3）=0.5-0.2=0.3．

故选：C．

根据随机变量X服从正态分布N（3，σ2）；看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．

本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．【解析】【答案】C6、D【分析】解：对于A隆脽c<b<a

且ac<0

隆脿

则a>0c<0

必有ba>ca

故A一定成立。

对于B隆脽c<b<a

隆脿b鈭�a<0

又由c<0

则有c(b鈭�a)>0

故B一定成立；

对于C隆脽c<b<a

且ac<0

隆脿a鈭�c>0

隆脿ac(a鈭�c)<0

故C一定成立。

对于D

当b=0

时，cb2<ab2

不成立；

当b鈮�0

时，cb2<ab2

成立；

故D不一定成立；

故选：D

．

本题根据c<b<a

可以得到b鈭�a

与a鈭�c

的符号，当a>0

时，则A

成立，c<0

时，B

成立，.

又根据ac<0

得到C

成立，当b=0

时；D

不成立。

本题考查了不等关系与不等式，属于基础题．【解析】D

7、D【分析】解：隆脽

二次函数y=x2+mx+(m+3)

有两个不同的零点。

隆脿鈻�>0

即m2鈭�4(m+3)>0

解之得：m隆脢(鈭�隆脼,鈭�2)隆脠(6,+隆脼)

故选D

根据二次函数y=x2+mx+(m+3)

有两个不同的零点，即得到鈻�>0

即关于m

的不等式。

本题考查了二次函数的性质，不等式的知识，属于基础题．【解析】D

8、B【分析】解：隆脽

复数i(1鈭�2i)=i鈭�2i2=2+i

故选B．

利用两个复数代数形式的乘法法则；虚数单位i

的幂运算性质，求得结果．

本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i

的幂运算性质，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】【解析】

试题分析：当k=0时，显然不等式恒成立；所以实数k的取值范围是

考点：一元二次不等式的解法及二次函数的图像。

点评：对于一元二次不等式型的恒成立问题，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，还要注意结合二次函数的图像来解决。.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以徒弟完成原料B的6小时后,师傅开始工作,在师傅后面的36小时的精加工内,徒弟也同时完成了原料A的粗加工.所以前后共计=42小时.

考点：本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.【解析】【答案】4211、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】112、2【分析】【解答】解：连接AQ；取AD的中点O，连接OQ．

∵PA⊥平面ABCD；PQ⊥DQ；

∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．

∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上；

又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ；∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）

∴OQ⊥BC；

∵AD∥BC；∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2；

即a=2．

故答案为：2．

【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．13、略

【分析】解：（理）由椭圆的第二定义，得：=e；

∴d=

由椭圆的方程+=1，得e=

右准线方程为：x=

|MP|+|MF1|=|MA|+|MP|；

∴当M；P、A三点共线时；

|MP|+|MF1|取最小值，最小值为：1+=．

故答案为：．

（文）∵椭圆+=1；

∴a=3，b=c=2，F1（-2，0），F2（2；0）；

由椭圆定义得|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|；

由||PA|-|PF2||≤|AF2|==

知

∴||MP|+|MF1|的取值范围为．

故答案为：（6-6+）．

（理）由椭圆的第二定义，得d=从而|MP|+|MF1|=|MA|+|MP|，当M、P、A三点共线时，|MP|+|MF1|取最小值；由此能求出结果．

（文）由椭圆定义得|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|，由||PA|-|PF2||≤|AF2|，由此能求出||MP|+|MF1|的取值范围．

本题考查线段和的最小值的求法，考查线段长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．【解析】（6-6+）三、作图题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共15分)21、略

【分析】

设ω=x+yi（x，y∈R），则由可得z=（x+yi）（2+i）．（2分）

依题意得（x+yi）（2+i）（1+3i）=（-1+7i）（x+yi）=-x-7y+（7x-y）i为纯虚数；

故有-x-7y=0且7x-y≠0．

再由可得x2+y2=200．（6分）

解得x=-14时y=2；或x=14时y=-2．

则ω=-14+2i或ω=14-2i．（10分）

【解析】【答案】设ω=x+yi（x，y∈R），则由可得z=（x+yi）（2+i）．再由（1+3i）z为纯虚数可得-x-7y=0且7x-y≠0．再由可得x2+y2=200．解出x和y的值；即可得到ω的值．

22、略

【分析】试题分析：(1)利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线面垂直，只需要证明直线的方向向量垂直与平面的法向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．则依题意,可得以下各点的坐标分别为．∴∴∴．又∴平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则而∴令得．又∵是平面的法向量，∴．所以锐二面角平面角的余弦值为．考点：利用空间向量证明线面垂直和求夹角.【解析】【答案】（1）见解析；（2）23、略

【分析】【解析】试题分析：证明：作B1C1中点H，连结EH，BH∵正方体ABCD-A1B1C1D1，且E、G、H分别为棱A1D1、BC、B1C1的中点∴EHAB，BGHC11分∴四边形ABHE和四边形BGC1H是平行四边形∴GC1//BH,BH//AE3分∴GC1//AE4分又∵GC1面AEF，AE面AEF∴GC1//面AEF6分（2）（6分）【解析】

∵GC1//面AEF∴GC1到面AEF的距离等于点C1到面AEF的距离。1分∵2分可求得，AE=AF=EF=C1E=C1F=∴4分∴点C1到面AEF的距离等于点A到面C1EF的距离5分∵AA1⊥面A1C1∴直线GC1到面AEF的距离等于a.6分考点：线面平行的判定，点面距的求法【解析】【答案】（1）见解析（2）a五、计算题(共3题，共15分)24、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．25、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可26、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共4题，共16分)27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、【解答】（1）设等差数列{an}的公差为d；则。

∵S6=51，

∴{#mathml#}12×6

{#/mathml#}×（a1+a6）=51；

∴a1+a6=17；

∴a2+a5=17，

∵a5=13，∴a2=4，

∴d=3，

∴an=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；

（2）bn={#mathml#}2an

{#/mathml#}=﹣2•8n﹣1，