2024年上外版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年上外版高一数学下册月考试卷876考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、圆x2+y2-4x+2y=0关于直线x+y=0对称的圆的方程是（）

A.x2+y2-2x+4y=0

B.x2+y2-4x+2y=0

C.x2+y2+2x-4y=0

D.x2+y2+4x-2y=0

2、若tanθ=2，则=（）

A.-2

B.2

C.0

D.

3、下列函数中同时满足：①在（0，）上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数的是（）

A.y=tan

B.y=cos

C.y=tan

D.y=|sin

4、【题文】已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【】A.B.1C.2D.45、【题文】若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.6、若集合则（）A.{4}B.{1，2，3，4，5}C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（1），且⊥则tanθ的值是____．8、已知：两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是{1，2，3}，其定义如下表：

填写后面表格，其三个数依次为：____．9、已知向量若与垂直，则实数y____．10、给定集合若对于任意都有且则称集合为完美集合，给出下列四个论断：①集合是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合为完美集合；④若集合为完美集合，则集合为完美集合．其中正确论断的序号是．11、【题文】已知则不等式的解集________________．12、【题文】设函数对任意的恒成立，则实数的取值范围是____________．13、已知sinαcosα=且＜α＜则cosα-sinα的值是______．14、已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______．15、如果执行程序框图；那么输出的S=

______．

评卷人得分三、计算题(共5题，共10分)16、（2011•湖北校级自主招生）如图，AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数是____．17、（模拟改编）如图；在△ABC中，∠B=36°，D为BC上的一点，AB=AC=BD=1．

（1）求DC的长；

（2）利用此图，求sin18°的精确值．18、已知α，β为锐角，tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根，求锐角α+β的值．（备选公式）19、解方程组．20、设cos（α﹣）=﹣sin（﹣β）=且＜α＜π，0＜β＜求cos（）的值．评卷人得分四、解答题(共1题，共3分)21、已知等差数列{an}

中；a2=5

前4

项和S4=28

．

(1)

求数列{an}

的通项公式；

(2)

求数列{an}

的前n

项和Sn

．评卷人得分五、证明题(共1题，共10分)22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)23、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．24、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=；OP=2．

（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时；求点N移动的距离；

（2）求证：△OPN∽△PMN；

（3）写出y与x之间的关系式；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．25、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

圆x2+y2-4x+2y=0的方程可化为（x-2）2+（y+1）2=5；

故圆的圆心为（2，-1），半径为

故所求圆的圆心为（1，-2），半径为

故方程为（x-1）2+（y+2）2=5；

展开可得x2+y2-2x+4y=0；

故选A

【解析】【答案】配方易得已知圆的圆心和半径；由对称可得所求圆的圆心和半径，可写方程，整理即可．

2、A【分析】

∵====-2．

故选A．

【解析】【答案】利用诱导公式和弦化切即可得出．

3、A【分析】

A中y=tanx，在（0，）上是增函数且为奇函数又是以π为最小正周期的函数；三个条件均满足；

B中y=cosx，为偶函数且在（0，）上是减函数又是以2π为最小正周期的函数；三个条件均不满足；

C中y=tan以2π为最小正周期，不满足条件③；

D中y=|sinx|；为偶函数，不满足条件②；

故选A

【解析】【答案】根据已知中的三个条件：①在（0，）上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数；我们结合正弦型函数的性质及正切型函数的性质，逐一分析四个答案中的函数，即可得到答案．

4、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】问题转化为曲线与直线有两个交点，即过定点的直线与半圆有两个交点，直线过和与半圆相切是两个极端情形，所以．【解析】【答案】D6、B【分析】【分析】由题意可知所以选B

【点评】解决此类问题，关键是看清集合中的元素是什么.二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

由向量的数量积的性质可知，==0

∴tanθ==．

故答案为：-

【解析】【答案】由向量的数量积的性质可知，•==0，然后结合同角基本关系tanθ=可求。

8、略

【分析】

∵f（1）=2；g（2）=3；

∴g[f（1）]=3；

同理可求g[f（2）]=2；g[f（3）]=1；

故答案为：3；2，1．

【解析】【答案】根据表格先求f（x）的值；根据表格再求g[f（x）]的值即可．

9、略

【分析】

∵

∴

又∵⊥垂直；

∴•=0；

∴-4+2y2=0；

解得y=±

故答案为：±

【解析】【答案】由可知由与垂直，则•=0，即-4+2y2=0；解方程即得y值．

10、略

【分析】试题分析：集合的创新问题，通常需要弄清题目给出的新定义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系，将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题，然后求解.①但故集合不是完美集合；②可以证明集合是完美集合，它是单元素集；③设即∴集合为完美集合；④如集合是完美集合，但不是完美集合，实际上，但．故只有③正确．考点：集合中的新定义问题．【解析】【答案】③.11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：∵sinαcosα=

∴（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα

=

∵＜α＜

∴cosα＜sinα；

∴cosα-sinα=-．

求出（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=再判断cosα＜sinα，得出答案．

考查了三角函数间的关系，属于基础题型，应熟练掌握．【解析】-14、略

【分析】解：∵数据4.7；4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：

=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1；

∴该组数据的方差：

S2=[（4.7-5.1）2+（4.8-5.1）2+（5.1-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.5-5.1）2]=0.1．

故答案为：0.1．

先求出数据4.7；4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．

本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．【解析】0.115、略

【分析】解：根据题意可知该循环体运行5

次。

第一次：k=2s=2

第二次：k=3s=6

第三次：k=4s=24

第四次：k=5s=120

第五次：k=6s=720

因为k=6>5

结束循环，输出结果S=1隆脕2隆脕3隆脕4隆脕5隆脕6=720

．

故答案为：720

．

先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数；然后根据运行的后s

的值找出规律，从而得出所求．

本题考查循环结构.

解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．【解析】720

三、计算题(共5题，共10分)16、略

【分析】【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=25°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．【解析】【解答】解：连接OC；

∵CD是切线；

∴∠OCD=90°；

∵∠A=25°；

∴∠COD=2∠A=50°；

∴∠D=90°-50°=40°．

故答案为40°．17、略

【分析】【分析】（1）利用已知条件可以证明△ADC∽△BAC；再利用其对应边成比例即可求出CD的长．

（2）作AD的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出．【解析】【解答】解：（1）∵∠B=36°；AB=AC=BD=1；

∴∠C=36°；∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°；

∴∠DAC=∠B；∠C=∠C；

∴△ADC∽△BAC；

∴=；

即DC×（DC+1）=1；

∴DC1=，DC2=（舍去）；

∴DC=；

（2）过点B作BE⊥AD，交AD于点E，

∵AB=BD=1；

∴∠ABE=18°，AE=DE=AD

∵∠DAC=∠C；

∴DC=AD=2DE=；

∴sin18°==．18、略

【分析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，然后利用题中给的公式有tan（α+β）=；把

tanα+tanβ=，tanα•tanβ=整体代入得到tan（α+β）==1，再根据特殊角的三角函数值即可得到锐角α+β的值．【解析】【解答】解：∵tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根；

∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=

∵tan（α+β）=；

∴tan（α+β）==1；

∴锐角（α+β）=45°．19、略

【分析】【分析】观察方程组的两方程，发现y的系数互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，把两方程左右两边相加即可消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值，把x的值代入原方程组中的任一个方程中即可求出y的值，联立求出的x与y的值即为原方程组的解．【解析】【解答】解：；

①+②得：3x=3；

解得x=1；

把x=1代入①得：y=0；

∴原方程组的解为．20、解：∵{#mathml#}π2

{#/mathml#}＜α＜π，0＜β＜{#mathml#}π2

{#/mathml#}，∴{#mathml#}π4

{#/mathml#}＜α﹣{#mathml#}β2

{#/mathml#}＜π，{#mathml#}−π4<α2−β<π2

{#/mathml#}，∵cos（α﹣{#mathml#}β2

{#/mathml#}）=﹣{#mathml#}19

{#/mathml#}，sin（{#mathml#}α2

{#/mathml#}﹣β）={#mathml#}23

{#/mathml#}，∴sin（α﹣{#mathml#}β2

{#/mathml#}）={#mathml#}459

{#/mathml#}，cos（{#mathml#}α2

{#/mathml#}﹣β）={#mathml#}53

{#/mathml#}，∴cos（{#mathml#}α+β2

{#/mathml#}）=cos[（α﹣{#mathml#}β2

{#/mathml#}）﹣（{#mathml#}α2

{#/mathml#}﹣β）]=cos（α﹣{#mathml#}β2

{#/mathml#}）cos（{#mathml#}α2

{#/mathml#}﹣β）+sin（α﹣{#mathml#}β2

{#/mathml#}）sin（{#mathml#}α2

{#/mathml#}﹣β）={#mathml#}7527

{#/mathml#}．【分析】【分析】根据角与角之间的关系，将=（α﹣）﹣（﹣β），利用两角和差的余弦公式即可得到结论．四、解答题(共1题，共3分)21、略

【分析】

(1)

利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

(2)

利用等差数列的求和公式即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：(1)

设等差数列{an}

的公差为d

则由已知条件得{a2=a1+d=5S4=4a1+4隆脕32隆脕d=28

隆脿{a1=1d=4

隆脿an=a1+(n鈭�1)隆脕d=4n鈭�3

(2)

由(1)

可得Sn=na1+n(n鈭�1)2d=2n2鈭�n

五、证明题(共1题，共10分)22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=六、综合题(共3题，共24分)23、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；

（3）利用（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，又由2x2+y2+z2=2；整理求解即可求得答案；

（4）因为当且仅当==时等号成立，即可得当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．【解析】【解答】解：（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2）≥0；

∴△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0；

即：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

当且仅当==时等号成立；

（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；

∵x+2y+3z=6；

∴14（x2+y2+z2）≥36；

∴x2+y2+z2≥；

∴若x+2y+3z=6，则x2+y2+z2的最小值为；

（3）根据（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2；

∵2x2+y2+z2=2；

∴（x+y+z）2≤2×=5；

∴-≤x+y+z≤；

∴若2x2+y2+z2=2，则x+y+z的最大值为；

（4）∵当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值；

设x===k；

则x=k；y=2k，z=3k；

∵x+2y+3z=6；

∴k+4k+9k=6；

解得：k=；

∴当x2+y2+z2取最小值时，x=，y=，z=．24、略

【分析】【分析】（1）当PM旋转到PM′时；点N移动到点N′，点N移动的距离NN′=ON′-ON；

（2）已知两三角形两角对应相等；可利用AAA证相似。

（3）可由（2）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．

（4）根据图形得出