2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、定义在上的偶函数满足若时解析为则>0的解集是A.B.C.D.2、在等差数列{an}中，a1=4，d=2，则a3=（）

A.4

B.6

C.8

D.10

3、已知是任意实数，且则下列结论正确的是（）A.B.C.D.4、【题文】函数的定义域为（）A.B.C.D.5、函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.46、已知函数y=2cosx的定义域为[π]，值域为[a，b]，则b﹣a的值是（）A.2B.3C.

+2D.2-7、过直线x+y=0上一点P作圆C：（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当CP与直线y=﹣x垂直时，∠APB=（）A.30°B.45°C.60°D.90°8、幂函数y=xa（α是常数）的图象（）A.一定经过点（0，0）B.一定经过点（1，1）C.一定经过点（-1，1）D.一定经过点（1，-1）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、已知角α的终边经过点P（3，4），则cosα的值为____．10、设函数f（x）=的定义域为D，则所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成的区域的面积为____．11、f(x)=x2-2x，则f(x+1)=12、【题文】从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为____；13、【题文】若将下面的展开图恢复成正方体，则的度数为____.14、函数的单调减区间是____．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共1题，共2分)20、已知函数f(x)=ax+b1+x2

的定义域为(鈭�1,1)

满足f(鈭�x)=鈭�f(x)

且f(12)=25

．

(1)

求函数f(x)

的解析式；

(2)

证明f(x)

在(鈭�1,1)

上是增函数；

(3)

解不等式f(x2鈭�1)+f(x)<0

．评卷人得分五、计算题(共4题，共32分)21、化简：=____．22、设A（x1，2012），B（x2，2012）是二次函数y=ax2+bx+2009（a≠0）的图象上的两点，则当x=x1+x2时二次函数的值为____．23、已知b＜a＜0，且a-b=3，ab=1；

（1）求a+b的值；

（2）求的值．24、解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)25、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．26、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．27、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于定义在上的偶函数满足可知周期为2那么在时解析为则>0的解集是即角在第一象限和第四象限，故选D.考点：三角函数的性质【解析】【答案】B2、C【分析】

在等差数列{an}中，a1=4，d=2，则由等差数列的通项公式a3=a1+2d=8；

故选C．

【解析】【答案】由等差数列的通项公式a3=a1+2d；把已知条件代入运算求出结果．

3、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于是任意实数，且当a=0,b=-1,选项A不成立，对于B，由于a=3,b=2,不成立，对于C，由于只有a-b>1不等式成立，故排除发选D.考点：不等式的性质【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】

试题分析：为使函数有意义，须解得，故选B。

考点：函数定义域。

点评：简单题，确定函数的定义域，一般要考虑偶次根式、分式、对数式等有意义。【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】令得结合函数的图象可知，函数的零点有两个，故选6、B【分析】【解答】解：∵当≤x≤π时；y=2cosx是单调减函数；

且x=时，y=2cos=1；

x=π时；y=2cosπ=﹣2；

∴﹣2≤y≤1；

即y的值域是[﹣2；1]；

∴b﹣a=1﹣（﹣2）=3．

故选：B．

【分析】根据y=2cosx在区间[π]上的单调性，求出y的值域，计算b﹣a即可．7、C【分析】【解答】解:显然圆心C（﹣1；5）不在直线y=﹣x上．

由对称性可知；只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x；

从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．

所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x；

与y=﹣x联立；可求出该点坐标为（﹣3，3）；

所以该点到圆心的距离为

由切线长；半径以及该点与圆心连线构成直角三角形；

又知圆的半径为．

所以两切线夹角的一半的正弦值为

所以夹角∠APB=60°

故选：C．

【分析】判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．8、B【分析】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1；1）点．

故选B．

利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．

熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】

∵角α的终边经过点P（3；4）；

∴x=3；y=4

则r=5

∴cosα==35

故答案为：

【解析】【答案】由已知中角α的终边经过点P（3，4），我们易计算出OP=r的值，进而根据任意角三角函数的第二定义，代入cosα=即可得到答案．

10、略

【分析】

由题设，可令-x2+4x+5≥0；解得-1≤x≤5，即D=[-1，5]

又（x）==∈[0；3]

故所有点（s；f（t））（s，t∈D）构成的区域是一个长为有，宽为6的矩形。

其面积是3×6=18

故答案为：18

【解析】【答案】由题意；可求出函数的定义域与值域，再根据点（s，f（t））（s，t∈D）的结构知，其构成的区域是一个矩形，其长为值域的最大值，宽为定义域的区间长度，由矩形面积公式可求得其面积。

11、略

【分析】因为f(x)=x2-2x，则f(x+1)=(x+1)2-2(x+1)=故答案为【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：正方体的表面对角线共有12条，从中任取两条的方法数为=66；表面对角线成的角的度数有0°，60°，90°，其中0°的有6个结果，60°的有16×3=48个结果；

90°的有12个结果，所以这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为=

考点：本题主要考查正方体的几何特征；数学期望的计算方法。

点评：中档题；结合正方体数清各类角的结果数，计算随机变量的概率是具体地关键。

数学期望【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】60°14、（﹣∞，﹣3]【分析】【解答】解：∵x2+2x﹣3≥0∴原函数的定义域为：（﹣∞；﹣3]∪[1，+∞）

令z=x2+2x﹣3，原函数可表示为：z=x2+2x﹣3

∴单调减区间为：（﹣∞；﹣3]

故答案为：（﹣∞；﹣3]．

【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数判断单调性的同增异减性质判断即可三、证明题(共5题，共10分)15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共1题，共2分)20、略

【分析】

(1)

根据条件即可得出f(x)

为奇函数，原点有定义，从而f(0)=0

得出b=0

再由f(12)=25

即可求出a=1

(2)

根据增函数的定义，设任意的鈭�1<x1<x2<1

然后作差，通分，证明f(x1)<f(x2)

从而便得出f(x)

在(鈭�1,1)

上是增函数；

(3)

根据f(x)

为奇函数便可得出f(x2鈭�1)<鈭�f(x)

由f(x)

在(鈭�1,1)

上为增函数即可得到不等式组{鈭�1<x2鈭�1<1鈭�1<x<1x2鈭�1<鈭�x

解该不等式组便可得出原不等式的解集．

考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，f(0)=0

增函数的定义，以及根据增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程，根据函数单调性解不等式的方法．【解析】解：(1)

由题意知；f(x)

为奇函数；

隆脿f(0)=b=0

则f(x)=ax1+x2

又f(12)=a21+14=25

隆脿a=1

隆脿f(x)=x1+x2

(2)

设鈭�1<x1<x2<1

则：

f(x1)鈭�f(x2)=x11+x12鈭�x21+x22=(x1鈭�x2)(1鈭�x1x2)(1+x12)(1+x22)

又鈭�1<x1<x2<1

隆脿x1鈭�x2<0,1鈭�x1x2>0,1+x12>0,1+x22>0

隆脿f(x1)鈭�f(x2)<0

即f(x1)<f(x2)

隆脿f(x)

在(鈭�1,1)

上是增函数；

(3)

由f(x2鈭�1)+f(x)<0

得f(x2鈭�1)<鈭�f(x)

即f(x2鈭�1)<f(鈭�x)

由(2)

知f(x)

在(鈭�1,1)

上是增函数，则{鈭�1<x2鈭�1<1鈭�1<x<1x2鈭�1<鈭�x?{鈭�2<x<0,禄貌0<x<2鈭�1<x<1鈭�1鈭�52<x<鈭�1+52?鈭�1<x<0禄貌0<x<鈭�1+52

隆脿

原不等式的解集为(鈭�1,0)隆脠(0,鈭�1+52)

．五、计算题(共4题，共32分)21、略

【分析】【分析】先算括号里的，再乘除进行约分．【解析】【解答】解：=

（x+2）（x-2）[]

=（x+2）（x-2）

=．

故答案为．22、略

【分析】【分析】据x=x1+x2=-，将x=-代入y=ax2+bx+2009即可求出．【解析】【解答】解：由x=x1+x2=-；

则y=ax2+bx+2009=a（-）2+b（-）+2009=2009．

故答案为2009．23、略

【分析】【分析】（1）要求a+b，可以首先求得（a+b）2的值，利用完全平方公式中（a+b）2与（a-b）2之间的关系；即可求解；

（2）根据===，代入即可求解．【解析】【解答】解：（1）∵b＜a＜0

∴a+b＜0（1分）

又∵（a+b）2=（a-b）2+4ab=13

∴a+b=±

∵b＜a＜0

∴a+b=-

（2）∵a-b=3

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=9

∴a2+b2=9+2ab=9+2=11

∴====-×3×11=-33．24、解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，①a＞0时，﹣＜解集为{x|x＜﹣或x＞}；

②a=0时，x2＞0；解集为{x|x∈R且x≠0}；

③a＜0时，﹣＞解集为{x|x＜或x＞﹣}．

综上，当a＞0时，﹣＜解集为{x|x＜﹣或x＞}；

当a=0时，x2＞0；解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，﹣＞解集为{x|x＜或x＞﹣}【分析】【分析】把原不等式的右边移项到左边，因式分解后，分a大于0，a=0和a小于0三种情况分别利用取解集的方法得到不等式的解集即可．六、综合题(共3题，共24分)25、略

【分析】【分析】（1）设C（x；-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；

（2）作BE⊥AC于E；求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE；BE，求出∠A即可；

（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根据圆周角定理求出∠AO'B，证△AO'B≌△ACB，推出R=AC，根据三角形的面积和扇形的面积公式求出即可．【解析】【解答】解：（1）设C（x；-x）；

∵AC=BC；

根据勾股定理得：（x+4）2+（-x+2）2=（x-5）2+；

解得：x=2；

∴C（2；-2）．

答：点C的坐标是（2；-2）．

（2）AC∥x轴；作BE⊥AC于E；

∴AC=2+4=6；

由勾股定理得：BC==6；

∴AC=BC=6，BE=3；CE=3；

∴∠ABC=∠BAC=30°．

答：∠BAC的度数是30°．

（3）设圆心为O’；

∵∠ACB=180°∠A-∠ABC=120°；

∴∠AO'B=360°-2×120°=120°；

∵AO=OB；

∴∠OAB=∠OBA=30°；

∴∠OAB=∠CAB；∠OBA=∠CBA，AB=AB；

∴△AO'B≌△ACB，

∴AO=OB=AC=BC=6；

∴R=6；

连接O'C交AB于D；

则CD⊥AB；

∵∠CAB=30°；

∴CD=A