2025年粤人版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、函数y=的定义域是（）

A.{x|x∈R}

B.{x|x∈∅}

C.{x|x≠3}

D.{x|x=3}

2、【题文】设集合=（）A.B.C.D.3、【题文】已知M={|=(1,2)+(3,4)，∈R}，N={|=(-2,-2)+μ(4,5)，μ∈R}，则MN=（）A.{(1,1)}B.{(1,1),(-2,-2)}C.{(-2,-2)}D.φ4、【题文】设则()A.B.C.D.5、在△ABC中，AB=3，AC=2，=+则直线AD通过△ABC的（）A.垂心B.外心C.内心D.重心6、已知点A（﹣3，1，5）与点B（4，3，1），则AB的中点坐标是（）A.（1，﹣2）B.（2，3）C.（﹣12，3，5）D.（2）7、在实数集R中定义一种运算“⊙”，具有性质：①对任意a、b∈R，a⊙b=b⊙a；②a⊙0=a；③对任意a、b∈R，（a⊙b）⊙c=（ab）⊙c+（a⊙c）+（b⊙c）﹣2c，则函数f（x）=x⊙的最小值是（）A.2B.3C.D.8、某中学对高一新生进行体质状况抽测，新生中男生有800人，女生有600人，现用分层抽样的方法在这1400名学生中抽取一个样本，已知男生抽取了40人，则女生应抽取人数为（）A.24B.28C.30D.329、在鈻�ABC

中，若a=4b=3cosA=13

则B=(

)

A.娄脨4

B.娄脨3

C.娄脨6

D.2娄脨3

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、=____．11、已知函数的部分图象如下图所示，则.A=____==____12、两等差数列和前项和分别为且则等于。13、【题文】设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f=____.14、【题文】地震的震级R与地震释放的能量E的关系为2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的____倍；15、【题文】从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为______16、【题文】关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是____.17、若＜＜0，则下列不等式中，①a+b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④+＞2，正确的不等式有______．（写出所有正确不等式的序号）18、已知f(ex)=13x鈭�1

求f(e)=

______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)19、已知AD是Rt△ABC斜边BC的中线，用解析法证明|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|DC|2）．

20、在数列中，且．⑴求的值；⑵证明：数列是等比数列，并求的通项公式；⑶求数列的前项和．21、【题文】计算：（1）（2）．22、化简：．23、已知向量=（sinωx+cosωx，sinωx），向量=（sinωx-cosωx，2cosωx），设函数f（x）=•+1（x∈R）的图象关于直线x=对称；其中常数ω∈（0，2）．

（1）若x∈[0，]；求f（x）的值域；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x）在区间[-]上的图象．24、已知正数等比数列{an}，其中Sn为{an}的前n项和，a2=．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=求{bn}的前n项和Tn．25、记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=an•2n（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn．26、函数f(x)=Asin(娄脴x+娄脮)(A>0,娄脴>0,|娄脮|<娄脨2)

的一段图象如图所示。

(1)

求f(x)

的解析式；

(2)

把f(x)

的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？评卷人得分四、证明题(共3题，共30分)27、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．28、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．29、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分五、作图题(共3题，共12分)30、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．31、作出函数y=的图象．32、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分六、综合题(共4题，共8分)33、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．34、已知抛物线Y=x2-（m2+4）x-2m2-12

（1）证明：不论m取什么实数；抛物线必与x有两个交点。

（2）m为何值时；x轴截抛物线的弦长L为12？

（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？35、已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2．

（1）判断抛物线的顶点与直线L：y=-x+2的位置关系；

（2）设该抛物线与x轴交于M；N两点；当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．36、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

由题意令-x2+6x-9≥0；解得x=3

函数y=的定义域是{x|x=3}

故选D．

【解析】【答案】求函数的定义域即是求使函数有意义的取值范围，由解析式可以得出，令-x2+6x-9≥0；解出其解集即可得到函数的定义域。

2、C【分析】【解析】

试题分析：因为集合根据一元二次不等式的解集和一元二次函数的性质知道；

那么可知答案选C.

考点：本题主要考查了集合的交集的运算问题。

点评：解决该试题的关键是利用一元二次不等式的解集来得到集合P,Q同时结合交集的概念得到结论。【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】令（1,2）+（3,4）=（-2，-2）+（4，5）得1+3=-2+42+4=-2+5

解得：故选C【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】本题考查对数的运算法则及运算变形的能力.

对数运算法则：

对数换底公式：

因为所以故选C【解析】【答案】C5、C【分析】【解答】∵AB=3；AC=2

∴

即

设

则

∴

由向量加法的平行四边形法则可知；四边形AEDF为菱形．

∴AD为菱形的对角线；

∴AD平分∠EAF．

∴直线AD通过△ABC的内心．

故选：C．

【分析】计算出又因为=+设由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心。6、B【分析】【解答】点A（﹣3；1，5）与点B（4，3，1），由中点坐标公式可知；

AB的中点坐标是（2，3）．

故选：B．

【分析】直接利用中点坐标公式求解即可。7、B【分析】【解答】解：根据题意，得f（x）=x⊙=（x⊙）⊙0=0⊙（x•）+（x⊙0）+（⊙0）﹣2×0=1+x+

即f（x）=1+x+

∵x＞0，可得x+≥2；当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．

故选：B

【分析】根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊙）⊙0=1+x+利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．8、C【分析】解：因为新生中男生有800人；女生有600人，男生抽取了40人。

所以设女生应抽取人数为x；

则x：40=600：800；

解得x=30；

故女生应抽取人数为30；

故选：C．

根据分层抽样的定义；建立比例关系即可等到结论．

本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．【解析】【答案】C9、A【分析】解：隆脽cosA=130<隆脧A<娄脨

隆脿sinA=1鈭�cos2A=1鈭�19=223

隆脽asinA=bsinB

即4223=3sinB

隆脿sinB=22

隆脿隆脧B=娄脨4

或3娄脨4

隆脽sinA=223>22

隆脿隆脧A>娄脨4

隆脿隆脧B=3娄脨4

与三角形内角和为180鈭�

矛盾．

隆脿隆脧B=娄脨4

故选A．

先利用同角三角函数关系求得sinA

的值；进而利用正弦定理求得sinB

的值，最后求得B

．

本题主要考查了正弦定理的应用.

解题的过程中注意对结果正负号的判断．【解析】A

二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

∵

=

=log24=2

故答案为：2

【解析】【答案】利用对数的基本运算的性质可得=可求。

11、略

【分析】【解析】

由图像可知，振幅为2，周期为因此W=2，A=2，把带你（2）代入到函数关系式中，解得=因此填写A=2，=2，=【解析】【答案】A=2，=2，=12、略

【分析】试题分析：在{an}为等差数列中，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，所以＝又因为所以＝=故答案为：考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】f=f=f=f

=+1

=【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为则9-8=

即∴．那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍．【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】216、略

【分析】【解析】显然有x＞3，原方程可化为

故有(10–a)·x=29,必有10–a＞0得a＜10

又x=＞3可得a＞【解析】【答案】＜a＜1017、略

【分析】解：取a=-b=-1代入验证知③错误．

①证明：∵＜＜0；

∴a＜0，b＜0；

∴ab＞0，a+b＜0；

∴a+b＜ab；故①正确；

②由题意可得b＜a＜0，则|a|＜|b|；故②正确；

④证明：∵＞0，＞0，且a≠b；

由均值不等式得+＞2；

故④正确；

故答案为①②④．

利用赋值法；先排除错误选项③，再利用不等式的性质证明①②④，从而确定正确答案．

这是一道基础题，直接考查不等式的基本性质，注意赋值法的灵活应用可有效地简化解题过程．【解析】①②④18、略

【分析】解：隆脽f(ex)=13x鈭�1

令x=1

可得：f(e)=13鈭�1=鈭�23

故答案为：鈭�23

由已知中f(ex)=13x鈭�1

令x=1

可得：f(e)

的值．

本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．【解析】鈭�23

三、解答题(共8题，共16分)19、略

【分析】

以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，设B（b，0），C（0，c），则DA（0，0）．（6分）

∵|AB|2+|AC|2=b2+c2，∴|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|DC|2）．（12分）

【解析】【答案】以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标利用两点间的距离公式求得|AB|2+|AC|2和2（|AD|2+|DC|2）的值；从而证得结论．

20、略

【分析】【解析】【答案】____21、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根式的运算一般都是化为指数式进行计算；（2）对数的运算要正确运用对数的运算法则．

试题解析：（1）

=7分。

（2）

14分。

考点：（1）根式的运算；（2）对数的运算【解析】【答案】（1）3；（2）．22、略

【分析】

根据指数运算法则和对数运算法则；把每一项分别化简求值即可得解。

本题考查指数运算与对数运算，须注意根数、分式与指数幂的互化．要求熟练掌握运算法则．属简单题【解析】解：原式=

==6+52=3123、略

【分析】

（1）由平面向量数量积的运可求f（x）=2sin（2ωx-）+1，由图象关于直线x=对称，可得2ω•-=kπ+k∈z，结合ω∈（0，2），可得ω的值，进而利用正弦函数的性质即可得解．

（2）由函数的伸缩和平移变换求得g（x）的解析式；利用五点作图法，列表后可作出函数的图象．

本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦函数的性质，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了数形结合思想，属于中档题．【解析】解：（1）∵向量=（sinωx+cosωx，sinωx），向量=（sinωx-cosωx，2cosωx）；

∴f（x）=•+1=sin2ωx-cos2ωx+2sinωxcosωx=sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-）+1；

∵图象关于直线x=对称；其中常数ω∈（0，2）．

∴2ω•-=kπ+k∈z，得ω=+1；结合ω∈（0，2），可得ω=1；

∴f（x）=2sin（2x-）+1；

∵x∈[0，]，2x-∈[-]，sin（2x-）∈[-1]；

∴f（x）=2sin（2x-）+1∈[0；3]．

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位；

得y=2sin[2（x+）-]+1=2sin2x+1．

再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．

列表：

。2x-π-0πx--y0-2020函数的图象为：

24、略

【分析】

（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；

（2）利用“错位相减法”；等比数列的前n项和公式即可得出．

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：（1）设正数等比数列{an}的公比为q＞0；

∵a2=．

∴a1q==

化为6q2-q-1=0；

解得q==a1；

∴．

（2）∵=n•2n．

∴Tn=1×2+2×22+3×23++（n-1）×2n-1+n×2n；

2Tn1×22+2×23++（n-1）×2n+n×2n+1；

∴-Tn=2+22+23++2n-n×2n+1=-n×2n+1=（1-n）×2n+1-2；

∴Tn=（n-1）×2n+1+2．25、略

【分析】

（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出a1=1，d=1，由此能求出数列{an}的通项公式．

（Ⅱ）由bn=an•2n=n•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前项和Tn．

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．【解析】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d；

由已知条件得：

∴

解得a1=1；d=1；

∴数列{an}的通项公式为an=n．（4分）

（Ⅱ）∵bn=an•2n=n•2n；

Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n；

2Tn=1×22+2×23+3×24++n×2n+1；

∴Tn=22（1-2）+23（2-3）++2n[（n-1）-n]+n×2n+1-2

=-（2+22+23++2n）+n×2n+1

=-

=（n-1）•2n+1+2．（10分）26、略

【分析】

(1)

由图知A=3

由34T=15娄脨4

可求娄脴

其图象过(娄脨4,0)

可求娄脮

(2)

由f(x+m)=3sin[25(x+m)鈭�娄脨10]

为偶函数，可求得m=52k娄脨+3娄脨2k隆脢Z

从而可求m小

．

本题考查由y=Asin(娄脴x+娄脮)

的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的图象变换，属于中档题．【解析】解：(1)A=3(1

分)

34T=4娄脨鈭�娄脨4=15娄脨4

即2娄脨蠅=43(4娄脨鈭�娄脨4)=5娄脨(2

分)

隆脿娄脴=25(3

分)

于是f(x)=3sin(25x+娄脮)

又其图象过(娄脨4,0)

得sin(娄脨10+娄脮)=0娄脮=鈭�娄脨10(5

分)

隆脿f(x)=3sin(25x鈭�娄脨10)(6

分)

(2)

由f(x+m)=3sin[25(x+m)鈭�娄脨10]=3sin(25x+2m5鈭�娄脨10)

为偶函数(m>0)(8

分)

知2m5鈭�娄脨10=k娄脨+娄脨2

即m=52k娄脨+3娄脨2k隆脢Z(10

分)

隆脽m>0

隆脿m脨隆=3娄脨2.(12

分)

四、证明题(共3题，共30分)27、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．28、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=29、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．五、作图题(共3题，共12分)30、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．31、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可32、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。六、综合题(共4题，共8分)33、略

【分析】【分析】（1）由直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，列方程组求k、m的值，再把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式求a、b；c的值；

（2）存在．根据O、A、B三点坐标求△OAB的面积，再由S△OCD=2S△OAB=12，求D点纵坐标，代入抛物线解析式求D点纵坐标．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=kx+4过A（1；m），B（4，8）两点；

∴，解得；∴y=x+4；

把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，；

∴y=-x2+6x；

（2）存在．设D点纵坐标为h（h＞0）；

由O（0，0），A（1，5），B（4，8），可知S△OAB=6；

∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12；解得h=4；

由-x2+6x=4，得x=3±；

∴D（3+，4）或（3-，4）．34、略

【分析】【分析】（1）因为△=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12），配方后得到△=（m2+8）2，而m2+8＞0；得到△＞0，即可得到结论；

（2）令y=0，则x2-（m2+4）x-2m2-12，解方程得到x1=m2+6，x2=-2，于是L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8，令L=12得到m2+8=12；解方程即可得到m的值；

（3）由L=m2+8，根据二次函数的最值问题即可得到m=0时，L有最小值，最大值为8．【解析】【解答】解：（1）证明：△=b2-4ac=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12）

=（m2+8）2；

∵m2≥0；

∴m2+8＞0；

∴△＞0；

∴不论m取什么实数；抛物线必与x有两个交点；

（2）令y=0，x2-（m2+4）x-2m2-12；

∴x=；

∴x1=m2+6，x2=-2；

∴L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8；

∴m