2024-2025学年北京延庆区初二（上）期末数学试卷（含答案）

第1页/共12页2025北京延庆初二（上）期末数学2025.01考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列四个图形是国际数学家大会的会标，其中轴对称图形是（A） （B） （C） （D）2．下列事件中，随机事件是 （A）在数轴上取一个点，它表示的数是实数 （B）画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 （C）画一个三角形，它的内角和是180° （D）把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形3．分式有意义，实数a的取值范围是 （A）a≠3 （B）a≠0（C）a＜3 （D）a≥34．三角形的两边长分别为3和6，这个三角形的第三边长可以是（A）3（B）6（C）9（D）125．下列二次根式中，最简二次根式是 （A） （B）（C） （D）6．下列各式中，计算正确的是（A）（B） （C）（D）7．如图，在△ABC中，AB边上的高线是（A）线段AD（B）线段AF（C）线段BG（D）线段CE8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（A）1个（B）2个 （C）3个（D）4个二、填空题（共16分，每小题2分）9．16的算术平方根是________．10．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．11．如图，在△ABC中，∠A=80°，点D在边BC的延长线上，∠ACD=140°，则∠B的度数为________．12．已知，则________．13．一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大小是________．14．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的探究任务，小聪想到“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置进行测量”．于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是________．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，AC=4，BD=1，则△ACD的面积是________．16．如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，点D关于直线AC的对称点为E．连接BE，交AC于点F，交AD于点G，连接AE，DE．有下面四个结论：①点A在线段DE的垂直平分线上；②△ADE是等边三角形；③△ABG≌△AEF；④点P是线段AE上的一个动点，PF＋PC的最小值等于BF．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题5分；27题7分；28题5分）17．计算：（1）；（2）．18．解分式方程：（1）；（2）.19．如图，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且AB=CD，AF=CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：AB∥CD．20．在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示：等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．甲同学的方法：证明：作∠BAC的平分线交BC于点D．乙同学的方法：证明：作AE⊥BC于点E．丙同学的方法：证明：取BC的中点F，连接AF．请选择一种方法补全证明过程．21．先化简，再求值：，其中a=+2．22．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：乙同学：①②乙同学：①②③④；：甲同学：①②③④；：老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，分析错因，并加以改正．（1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）；（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），产生错误的原因可能是；（3）写出正确解答过程．23．如图，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）判断△ADE的形状，并证明．

24．如图，OC是∠AOB的角平分线，点D在射线OA上，点E在射线OB上，点F在射线OC上，连接DF，EF．请你添加一个条件，使△OFD≌△OFE．小明同学写出以下条件：①OD=OE，②∠ODF=∠OEF，③∠OFD=∠OFE，④FD=FE，⑤∠ADF=∠BEF，⑥∠DFC=∠EFC．他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△OFD≌△OFE．”（1）小明的说法________（填“正确”或“错误”）；（2）从小明写出的条件中选择一个________（填写序号），使得△OFD≌△OFE，补全图形，并写出证明过程．25．列方程解应用题：远大中学组织学生到距离学校20千米的农耕园体验农耕劳动．有一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达农耕园．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．图126．图1已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥MN．小智的作图思路如下：①如何得到两条直线平行？小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．②如何得到两个角相等？小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．③画出示意图：④根据示意图，确定作图顺序．作∠PAN的平分线AB（尺规作图）作射线AP作∠PAN的平分线AB（尺规作图）作射线AP在直线MN上取点A作直线PQ作作直线PQ作PQ=PA交AB于点Q（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；∵AB平分∵AB平分∠PAN，∴∠PAB=∠NAB．∵PA=PQ，∴∠PAB=∠PQA(①)．∴∠NAB=∠PQA．∴PQ∥MN(②)．证明：图图2（3）参考小智的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的高，点E是AB的中点，连接CE交AD于点F，过点E作GE⊥CE于点E，交DA的延长线于点G，交BC于点H．（1）依题意补全图形；（2）判断∠ECH和∠EGF的数量关系，并证明；（3）求证：EC=EG．28．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4．

（1）下列三角形中，Rt△ABC的“关联三角形”是________（填序号）；①①②③④（2）若Rt△ABC的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是；（3）若△DEF是Rt△ABC的“关联三角形”，且△DEF的面积是S，直接写出S的最大值．

参考答案一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）ABABDCDB二、填空题：（共8个小题，每小题2分，共16分）9．410．x≥911．60°12．213．14．边角边15．216．①②④三、解答题17.(本小题满分8分)（1）．（2）=72+=7．(本小题满分8分)（1）解：方程两边同时乘以，得，．．．．．检验：当时，方程左右两边相等．所以原分式方程的解为．（2）解：方程两边同时乘以(x+2)(x2)，得x2+4x=2(x+2)．x2+4x=2x+4．3x=6．x=2．检验：当x=2时，最简公分母(x+2)(x2)=0，原方程中的分式无意义．所以原方程无解．19.(本小题满分5分)（1）证明：∵AF=CE，∴AE+EF＝CF+EF．∴AE＝CF．∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEB=∠CFD=90°．∴△ABE与△CDF是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)．（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C．∴AB∥CD．20.(本小题满分5分)甲同学的方法：证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴∠B＝∠C．乙同学的方法：证明：如图，作AE⊥BC于点E．∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABE和Rt△ACE中，∴Rt△ABE≌Rt△ACE(HL)．∴∠B＝∠C．丙同学的方法：证明：如图，取BC的中点F，连接AF．∴BF＝CF．在△ABF和△ACF中，∴△ABF≌△ACF(SSS)．∴∠B＝∠C．21.(本小题满分5分)解：原式= == = =． 当a=+2时，原式=．22.(本小题满分5分)（1）略；（2）略；（3）23.(本小题满分5分)（1）如图；（2）△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．24.(本小题满分5分)（1）错误；（2）条件：∠ODF=∠OEF．证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF．在△OFD和△OFE中，∴△OFD≌△OFE（AAS）．说明：添加的条件可以是①，②，③，⑤，⑥．25.(本小题满分5分)解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时，由题意得：，解得：x＝16，经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意．答：自行车的速度为16千米/时．26.(本小题满分5分)（1）如图；（2）①等边对等角；②内错角相等，两条直线平行；（3）略．27.(本小题满分7分)（1）如图；（2）数量关系：∠ECH=∠EGF；证明：∵GE⊥CE于点E，∴∠GEF=∠CEH=90°．∴∠ECH+∠GHD=90°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°．