2020-2021学年高中数学第四章圆与方程422圆与圆的位置关系课件新人教A版必修2

4.2.2圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系若两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆有以下位置关系:位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆外离0个d>r1+r2

两圆内含d<|r1-r2|

位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相交2个|r1-r2|<d<r1+r2两圆内切1个d=|r1-r2|

两圆外切d=r1+r2

【思考】(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,公切线的条数分别是多少?提示:公切线的条数分别是4,3,2,1,0.(2)当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质?提示:当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若两圆有唯一的公共点,则两圆外切. (

)(2)若两圆没有公切线,则两圆内含. (

)(3)若两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,当d<|r1-r2|时,两圆相交. (

)提示:(1)×.两圆也可能内切.(2)√.只有两圆内含时,两圆才没有公切线.(3)×.当d<|r1-r2|时,两圆内含.2.圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=49的位置关系为

(

)A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选A.因为圆心距为=5,大圆半径减小圆半径为7-2=5,故两圆内切.3.已知☉O1与☉O2的方程分别为(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=r2(r>1),若两圆相交,则r的取值范围是________.

【解析】因为圆心距d=|O1O2|=2,且两圆相交,所以r-1<d<r+1,即r-1<2<r+1,所以1<r<3.答案:1<r<3类型一两圆位置关系的判定【典例】1.(2019·重庆高一检测)已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2的位置关系是 (

)A.相离B.相交C.外切D.内切2.(2019·青岛高一检测)圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 (

)A.0 B.3 C.2 D.1【思维·引】1.将两圆方程变为标准形式,利用圆心距与半径的关系判断.2.判断两圆的位置关系后得出交点个数.【解析】1.选B.圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,即(x+2)2+(y+1)2=6,圆心为C1(-2,-1),半径为.圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0即(x+1)2+(y+4)2=25,圆心为C2(-1,-4),半径为5.所以两圆的圆心距d=因为故两个圆相交.2.选D.因为圆B:(x-2)2+y2=1,其圆心为B(2,0),半径为1,圆A的圆心为A(0,0),半径为1,所以圆心距为|AB|=2,半径之和为1+1=2,所以两圆外切,只有一个公共点.【内化·悟】判断两圆位置关系需要计算哪些量?提示:准确得出两圆的圆心、半径,计算出圆心距.【类题·通】几何法判断圆与圆的位置关系的步骤(1)将两圆的方程化为标准方程.(2)求两圆的圆心坐标和半径r1,r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系,从而判断两圆的位置关系.【习练·破】圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9有几条公切线 (

)A.0 B.2 C.3 D.4【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4的圆心C1(-1,-2),半径r1=2,圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9的圆心C2(1,-1),半径r2=3,|C1C2|=所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9相交,所以圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9有2条公切线.【加练·固】圆O1:(x-2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y-1)2=9的公切线有 (

)A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】选B.两圆O1:(x-2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y-1)2=9的圆心距为=5,两个圆的半径和为5,所以两个圆外切,公切线有3条.类型二两圆相切问题【典例】1.(2019·烟台高一检测)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4ay+4a2-1=0恰有三条公切线,则a2=________.

2.已知圆O1:x2+y2-8x-8y+48=0,圆O2过点A(0,-4),若圆O2与圆O1相切于点B(2,2),求圆O2的方程. 【思维·引】1.由公切线条数确定两圆的位置关系,从而求a的值.2.首先判断两圆是内切还是外切,其次根据相切的性质设出圆的方程,最后求出圆的方程.【解析】1.由题意知两圆外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=4和x2+(y-2a)2=1,圆心分别为C(-a,0),D(0,2a),半径分别为2和1,所以=2+1,解得a2=.答案:

2.圆O1的方程变为=16,所以圆心O1(4,4),因为圆O2与圆O1相切于点B(2,2),所以圆O2的圆心在直线y=x上,不妨设为(a,a),因为圆O2过点A(0,-4),所以圆O2与圆O1外切,因为圆O2过B(2,2),所以a2+(a+4)2=2(a-2)2,所以a=0,所以圆O2的方程为x2+y2=16.【内化·悟】处理两圆相切问题的前提是什么?提示:判断是外切还是内切,不能确定的分两种情况讨论.【类题·通】解决两圆相切问题的两个步骤(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).【习练·破】(2019·武邑高一检测)若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a的值为 (

)A.1

B.-1

C.±1

D.0【解析】选C.由圆x2+y2-2ax+a2-1=0,得(x-a)2+y2=1,得圆心为(a,0),半径为1,又由于两圆内切,所以圆心距等于两圆半径之差,即=2-1,解得:a=±1.【加练·固】求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为P(a,b),所以=1.①(1)若两圆外切,则有=1+2=3.②由①②,解得a=5,b=-1.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.(2)若两圆内切,则有=2-1=1.③由①③,解得a=3,b=-1.所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.类型三两圆相交问题角度1与弦长相关的问题【典例】(2019·淮南高一检测)已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为 (

)A.

B.2

C.2

D.1【思维·引】先求出公共弦所在的直线方程,再利用两圆中的一个求弦长.【解析】选B.圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为y=-1,由于圆x2+y2=4的圆心到直线y=-1的距离为1,且圆x2+y2=4的半径为2,故公共弦的长为2=2.【素养·探】在解决圆与圆相交时的弦长问题时,常常用到数学运算的核心素养,通过求公共弦的方程、解决相关的弦长问题.将本例中的两圆改为圆C1:x2+y2+4x-4y=0和C2:x2+y2+2x-8=0,求两圆的公共弦MN的长.【解析】圆C1的圆心为(-2,2),半径r1=2,圆C2的圆心为(-1,0),半径r2=3,直线MN的方程为(x2+y2+4x-4y)-(x2+y2+2x-8)=0,变形可得:2x-4y+8=0,即x-2y+4=0,圆C2的圆心到直线x-2y+4=0的距离d=则|MN|=2×=2×角度2圆与圆位置关系的应用【典例】(2019·白银高一检测)已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上,且过圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点A,B.(1)求弦AB所在的直线方程和圆C的方程.(2)过点M(-4,1)的直线l被圆C截得的弦长为6,求直线l的方程.【思维·引】(1)利用两圆方程相减得弦的方程,再利用两圆相交时的性质设圆的方程,求方程.(2)分斜率存在、不存在两种情况,利用弦长、圆的半径、圆心距的关系解题.【解析】(1)由题意:圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点A(-4,0),B(0,2).两式相减得:4x-8y+16=0,即x-2y+4=0,所以弦AB所在的直线方程为x-2y+4=0.圆心在直线x+y=0上,设圆心为(a,-a),那么它到两交点A,B的距离相等,故有(a+4)2+a2=a2+(2+a)2,可得:a=-3,即圆心为(-3,3),r2=10,圆C的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.(2)当k存在时,设直线l的方程为y-1=k(x+4),即kx-y+1+4k=0,直线l被圆C截得的弦长为6,即9=r2-d2,所以d2=1.即=1,可得:k=,所以直线l的方程为3x-4y+16=0;当k不存在时,直线l的方程为x+4=0.直线l被圆C截得的弦长为6,符合题意.故所求直线l的方程为x+4=0或3x-4y+16=0.【类题·通】公共弦长的求法(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.【习练·破】(2019·杭州高一检测)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-4)2=R2(R>0).(1)R为何值时,圆C1与圆C2外切.(2)在(1)的条件下,设切点为P,过P作直线l与圆C1相交于E点,若|PE|=,求直线l的方程.【解析】(1)由已知圆的方程可得:C1(0,0),C2(4,4),则|C1C2|=4=R+1,所以R=4-1.(2)因为C1(0,0),C2(4,4),所以P为直线C1C2与圆C1的交点在第一象限.联立得P