导数的概念(第2课时)之三培训讲学

普通高中课程标准实验教科书（A版）选修1-1，2-2导数及其应用一、重视章头图和章引言的教学阅读章头图函数的引入、发展微积分产生的直接动因(数学内部的、数学外部的特别是物理上的)文化价值微积分的地位：数学发展史上继欧氏几何后又一个具有划时代意义的伟大创造本章的学习内容导数与定积分是微积分的核心概念.它是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的最一般、最有效的工具.引发学习的兴趣、感受数学的价值、明确学习目标

承前启后+概览统领——先行组织者导数概念的教学目标：突出导数概念的本质——瞬时变化率展现导数概念的发生、发展和形成过程。引入导数的必要性典型丰富实例（思想、内涵——本质多种手段：直观感知、数形结合、理性思考）概念水到渠成把抽象概括概念的机会留给学生

导数概念的引入反复通过大量实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，引入导数的概念，体会导数的思想，理解导数的含义：气球平均膨胀率；高台跳水的平均速度瞬时速度；函数的平均变化率瞬时变化率;(定义)

曲线的割线斜率切线斜率。（几何意义）——下节课的任务高台跳水问题（一以贯之）

运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.（1）用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态；（2）探究运动员在时间段内的运动状态平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。

（3）如何求（比如，t=2时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势

：

从平均速度过渡到瞬时速度

，得到瞬时速度的值为-13.1.

从数学上来看，这个过程能够说明变化趋势，也是学生容易理解的(实际上利用了极限的描述性定义)，不追求严格的证明。

一般化：从函数的平均变化率到瞬时变化率不专门讲极限从数学逻辑体系上看，导数、定积分概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数、定积分。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，往往将导数、定积分仅仅作为一些规则和步骤来学习，忽略它们的思想和价值。因此也影响了对导数、定积分本质的理解。不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用逼近(直观形象)的方法定义导数、定积分。

（1）通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，学生容易理解；（2）所涉及到的数列或函数都很简单，学生容易观察出其变化趋势；（3）如果讲极限的-定义，就特别抽象，难度急剧增大，加大学生对导数、定积分概念的本质认识的难度。需适时说明极限符号。

适当使用信息技术

导数的概念使用信息技术的目的是帮助学生更好地认识和理解数学！主要用于传统教学方法无法呈现或难以呈现的内容!案例：导数、定积分的概念等。主编寄语

数学是自然的；数学是清楚的。数学是有用的；学数学对于提高个体能力是至关重要的。学数学要摸索自己的学习方法；学数学趁年轻。数学教学要讲背景，讲数学，讲应用；讲历史，讲思想，讲文化。数学教材要自然、生动、活泼，不强加于人；要激发学生的兴趣和美感，引发学习激情；要引导学生提问，使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”；要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用。上出高质量的课三个理解——数学、学生、教学理解数学:了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。

调动学生的思维——高水平的数学思维提供抽象概括的机会,注重思想方法的引导二、分章介绍普通高中课程标准实验教科书（A版）选修1-1，2-2导数及其应用一、内容选修1-1选修2-2

导数概念及其几何意义；导数公式及其四则运算法则；导数与函数单调性的关系；函数某点取得极值的充分、必要条件；生活中的优化问题举例。

导数概念及其几何意义；导数公式及其四则运算法则；导数与函数单调性的关系；函数某点取得极值的充分、必要条件；生活中的优化问题举例；定积分的概念；微积分基本定理的含义。二、对一些关键问题的处理１．突出概念本质（1）导数——瞬时变化率（2）定积分曲面梯形面积定积分（变速直线运动）

导数的几何意义

通过观察曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的割线PPn的变化趋势，既获得切线定义，又得到割线PPn的斜率与切线PT的斜率k之间的关系：函数的平均变化率到瞬时变化率。将切线斜率和导数相联系，得到导数的几何意义（又一次经历平均变化率到瞬时变化率的过程）。

定积分概念的引入着重揭示定积分的思想方法和求解问题的一般步骤（1）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思想方法：在每个局部小范围内“以直代曲”

“以不变代变”和逼近的思想．事实上，这就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法．（2）给出求解这类问题的一般步骤——“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限．

曲边梯形的面积问题的引出

如何求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0,所围成的平面图形部分的面积S？

解决问题的关键（思想方法）通过回顾求一种特殊的曲边形——圆的面积的过程，通过类比启发学生得到解决问题的思想方法——局部小范围内“以直代曲”“以不变代变”和逼近的思想．解决问题的“四步曲”第一步——分割把区间[0,1]等分成n个小区间，原来的曲边梯形就被分成n个小曲边梯形．第二步——近似代替在每个小区间上进行近似代替，“以直代曲”，求出每个小曲边梯形面积的近似值（用左段点处的函数值）．第三步——求和求出所有这些近似值的和，就得到原来的曲边梯形面积的近似值．第四步——取极限对曲边梯形面积的近似值取极限得到曲边梯形的面积．

通过教科书中的图可以看出，随着分割越来越细，近似值不断趋向于曲边梯形的面积．教科书中给出的表可以使学生能够定量地看出，随着区间等分数n的增大，曲边梯形的面积趋向于常数．设置“探究”栏目，先用右端点处的函数值进行近似代替，求出曲边梯形的面积，再借助几何直观（可利用信息技术手段）得出面积的一般表达式：

变速直线运动的路程类比求曲边梯形面积的过程，从函数值与物理意义两方面分析、解决问题。得到结果后，再从反方向上推断出该路程在数值上等于一个曲边梯形的面积，从而为给出定积分的几何意义作铺垫。——教学中应选择关键探究栏目

让学生抽象概括出共性，引入定积分概念——提供抽象概括的机会。导数在研究函数中的应用从几何图象上观察并归纳出导数与函数的单调性、极值之间的关系，从而实现应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题中的作用。

2.强调几何直观，重视背景，体现应用函数的单调性——先研究跳水运动，进而从若干个函数的几何图形上，利用导数的几何意义，观察、分析单调性与导函数符号之间的关系，总结出一般规律，并用来解决函数单调性（包括实际问题），求一些简单函数的单调区间。关注用导数本质及其几何意义解决问题

在导数的计算中，给出几个简单函数的导数的推导过程:

y=x,y=c,y=x2,y=1/x

并给出前3个结果的几何意义或物理意义。

微积分基本定理突出微积分基本定理的探究过程,分别从物理意义和（导数）几何意义两个角度，直观地了解微积分基本定理的含义，同时又一次经历了数学知识的发现过程．反映微积分基本定理的基本思想,不给出严格证明。

探究:一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t)，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)=y’(t)，设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),y’(t)表示s吗？3.关注微积分的文化价值（1）引言介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”（2）拓展栏目探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解（3）实习作业走进微积分（理科可适当补充微积分基本定理的意义方面的内容）三、几个需要注意的问题1.不专门讲极限

2.强调本质、几何意义、物理意义

理解导数的本质（含义），从几何直观、物理意义上理解概念，借助几何直观、物理意义分析问题、解决问题。

“数形结合”是学习和研究数学的一种重要的思想方法，借助几何直观可以更好地学习、理解数学概念，并提高应用数学概念解决实际问题的能力3.避免过量的形式化的运算避免过度的形式化运算，防止将导数、定积分仅仅作为一些规则和步