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文档简介

平面向量数量积的物理背景及其含义高一数学必修4第二章一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS那么力F所做的功W为：从运算结果知，功的大小等于两向量的模与其夹角余弦的乘积.情景引入W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角数量积的定义规定：

．（1）两向量的数量积是一个数量，注意

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为

，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即（2）a·b不能写成a×b，‘·’不能省.物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF？对非零向量a与b，定义|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．|a|cosθ叫向量a在b方向上的投影．数量积的几何意义，过点B作则的数量是|b|cosθ（不是向量）a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上投影|b|cos

的乘积。

θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0数量积的几何意义

OABbaB1B1OAB

baOAB

ba数量积的性质：（3）≤设a，b都是非零向量，则：（1）a⊥b

a·b=0（4）|a·b||a|·|b|（2）当a与b同向时，a·b=

当a与b反向时，．

|a|·|b|，a·b=－|a|·|b|判断垂直的又一条件求模的方法求角特别地:回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:

在实数中在向量运算中交换律:ab=ba()结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c

()√√√

×

×数量积的运算律

则：(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则:判断正误，并说理.1.已知向量a、b、c和实数1．若ab=0，则a、b中至少有一个为0．2.若b≠0，a·b＝c·b

，则a=c4.对任意向量a有3.(a·b)c=a(b·c)××××√巩固练习2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形？当a

·

b＜0时，cos<0，为钝角三角形当a

·

b=0时，为直角三角形巩固练习3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求典型例题例1.已知向量a，b,求证下列各式证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.向量的数量积运算类似于多项式运算解：a+kb与a-kb互相垂直

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