2024-2025学年上海市闵行区高三上册期中联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市闵行区高三上学期期中联考数学检测试卷注意：请在答题纸上答题，并将答案写在答题纸相应的位置上，不在规定处书写答案无效！一、填空题（本大题满分54分，1-6小题每题4分，7-12小题每题5分）1.已知全集，集合，，则______.【正确答案】【分析】将集合化简，即可得到，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，则或x>1，且，所以.故2.若复数，为虚数单位，则的实部为______.【正确答案】2【分析】根据乘法运算化简，即可根据实部定义求解.【详解】，故实部为2，故23.已知，向量，，若，则实数的值是______.【正确答案】3【分析】利用向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】依题意可知，即，解得.故34.在空间直角坐标系中，点，间的距离为3，则实数的值是______.【正确答案】或【分析】利用空间中两点间距离公式即可解得.【详解】在空间直角坐标系中，点，间的距离为3，结合距离公式可得：，解得或.故或.5.已知二项式的展开式各项系数和等于64，则______.【正确答案】【分析】根据展开式各项系数和等于列出方程，即可求解出的值.【详解】因为展开式各项系数和等于，所以，解得，故答案为.6.若，则等于______.【正确答案】【分析】根据排列数计算公式直接求得结果.【详解】因为，解得，故答案为.7.若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.【正确答案】【分析】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可.【详解】因为、为正实数，所以，所以由，可得，又，当且仅当，即时取等号，因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以，所以实数的取值范围是.故答案为.8.为了解某年级学生的课外学习情况，从该年级名学生中按分层抽样，从男生中抽取名，女生中抽取名，则男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为______（用数字作答）【正确答案】##【分析】求出男生甲被抽中的概率、女生乙没有被抽中的概率，即可得答案.【详解】解：因为在样本中，男生占，所以该年级男生总人数为：(人)，所以男生甲被抽中的概率为，同理可得该年级女生总人数为：(人)，所以女生乙被抽中的概率为，没有被抽中的概率为，所以男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为.故9.已知平面四边形的四个内角、、、由小到大依次排列恰成公差不为零的等差数列，，则的取值范围是______【正确答案】【分析】设出等差数列的公差，并求出范围，再将表示为公差的函数，利用单调性求出值域即可.【详解】依题意，设内角、、、所成等差数列的公差为，，而，解得，则，由，得，因此，而函数在上递减，，即函数在上都递减，则在上递减，当时，，当时，，于是，所以的取值范围是.故10.在平面上，已知两个单位向量、的夹角为，向量，其中.则的最大值为______.【正确答案】【分析】根据平面向量的数量积的运算律可得，再结合基本不等式求解即可.详解】由题意，，，，，则，因为，则，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为.故答案为.11.已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为______.【正确答案】【分析】根据题意可以补成正方体来研究，再用等体积法计算距离即可.【详解】由于A、B、C、D这四点中任意两点间距离相等，所以这四点构成一个正四面体，可以补成正方体，如图所示，设正四面体的棱长为，则正方体棱长，根据正四面体的外接球与正方体外接球是一样的，直径，则，已知球半径，则，解得，先求正四面体的体积，可以看做长方体体积减去4个全等的直三棱锥体积，即，又可把正四面体底面看作是由四个全等的等边三角形三棱锥，每个底面积，由等体积法得，，解得.故答案为.12.定义在R上的奇函数y=fx的导函数是，若函数最小值点为，则函数的严格单调递减区间为______.【正确答案】.【分析】由题意可得是R上偶函数，令g(x)=y=f'x⋅log2x,x>0，则有，结合对数函数的性质可知当时，，当时，，从而可得f'【详解】因为是定义在R上可导奇函数，所以，求导得，，即，所以是R上偶函数，令g(x)=y=f又因为的最小值点为，所以，又因为当时，，所以此时f'x<0当时，，所以此时f'x>0，所以，又因为是R上偶函数，所以当时，f'x<0当时，f'x所以当时，f'x即函数的严格单调递减区间为.故关键点睛：本题的关键是由及的性质，得出f'x<0的解集二、选择题（本大题满分18分，13-14小题每题4分，15-16小题每题5分）13.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用三角绝对值不等式求出的最小值，结合不等式恒成立，即可求得答案.【详解】因为，当且仅当，即时取等号，故.故选：C14.已知数列的前项和，则数列的各项中（）A.所有项均是数列中的项 B.所有项均不是数列中的项C.只有有限项是数列中的项 D.只有有限项不是数列中的项【正确答案】A【分析】根据，可求出，即可求出，将其化为形式，即可判断出答案.【详解】由题意知数列的前项和,当时，；当时，，也适合，故；则，由于，时，，时，，结合二次函数性质，对称轴为，则当，，递增，再结合数的特点知，故数列的各项中所有项均是数列中的项，故选：A15.已知函数，则“”是“函数有零点”的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据特值法与零点存在定理可快速得出结论.【详解】函数，定义域为，当时，，当时，，根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立；当，时，，易知，所以函数有零点，此时，所以必要性不成立.故“”是“函数有零点”的充分不必要条件.故选.16.已知，关于等式，以下两个命题：①对任意的，总存在，使得等式成立；②对任意的，总存在，使得等式成立.则下列判断正确的是（）A.①与②都正确 B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确 D.①与②都不正确【正确答案】B【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值，举例判断即可.【详解】①任意的，当时，，，满足，故①正确；②当时，，，则不存在，使得等式成立，故②不正确.故选：B.三、解答题（本大题满分78分）17.设等比数列的前项和为，且，，，成公差不为零的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列中最大项与最小项.【正确答案】（1）（2）最大项4，最小项2【分析】（1）根据等差中项列出方程求出公比，即可得出通项公式；（2）由等比数列的求和公式求出，分类讨论即可得出最大项与最小项.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，，成公差不为零的等差数列，可知，即，解得或（舍去），所以.【小问2详解】，所以，当为奇数时，单调递减，故当时，有最大值，且；当为偶数时，单调递增，故当时有最小值，且；综上，可知有最大值，最小值.18.一种每张售价20元的即开型体彩，俗称“刮刮卡”，每1000张中，奖金的金额（单位：元）及张数如下表：奖金204060801002005001000张数10050201510521（1）小明花20元钱买了一张，刮开后有奖的概率是多少？（2）这种体彩一年的销量约为10亿张，平均每张印制、发行及销售环节的成本0.1元，体彩发行公司一年约可募集到多少亿元用于发展体育事业？【正确答案】（1）0.203；（2）95亿元.【分析】（1）求出1000张“刮刮卡”中有奖金的张数，再利用古典概率计算即可.（2）求出每销售一张可募集的资金，再利用期望的性质计算得解.【小问1详解】由数表知，1000张“刮刮卡”中，有奖金的张数是，所以小明花20元钱买了一张，刮开后有奖的概率是.【小问2详解】购买一张“刮刮卡”中奖奖金的平均值为：（元），而一张“刮刮卡”的成本为0.1元，因此销售一张“刮刮卡”可募集（元），于是销售10亿张可募集（亿元），所以体彩发行公司一年约可募集到95亿元用于发展体育事业19.如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，、为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦的上的点.（1）求圆锥的底面半径和高；（2）若点是弦的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）；（3）是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由.【正确答案】（1），；（2）（3）存在点，使得平面与平面垂直，的长为.【分析】（1）根据圆锥的体积公式，轴截面的面积公式，即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，即可求解；（3）由共线关系设，表示出平面和平面的法向量，由平面垂直得法向量垂直，即数量积等于零，求解的值即可.【小问1详解】由轴截面的面积为6得，即，由圆锥体积为得，即，联立，解得，，所以圆锥的底面半径和高.【小问2详解】由题意知平面，平面，平面，所以，，又，所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系；所以O0,0,0，，，，因为点是的中点，点是的中点，所以，；所以，，设直线与直线所成角为，所以，所以直线与直线所成角为.【小问3详解】存点，使得平面与平面垂直.由（2）可知，，设平面的法向量m=x,y,z所以，即，取，则，，，因为点是底面圆的弦的上的点，当点与A重合时，平面与平面不垂直，所以设，，则，所以点，所以，又，设平面的法向量，所以，即，取，则，，，若平面与平面垂直，则，即，解得；所以，又，所以，故存在点，使得平面与平面垂直，的长为.20.已知函数.（1）求函数在区间上的零点；（2）函数在区间上恰有一个极值点，求的取值范围；（3）求函数的值域.【正确答案】（1）或（2）（3）【分析】（1）解三角函数对应方程即可得到解，再取区间内的解即可；（2）由三角函数的对称轴即是极值点，求得极值点，在区间内有且只有一个解得到不等式组，求得的取值范围；（3）代入解析式并化简，用换元法得到函数解析式，由导函数得到单调区间，求出最值后得出值域.【小问1详解】令，∴，∴或∵，∴或【小问2详解】，∵，，∴，∴，∴.【小问3详解】，令，，，，令g't=2−6∴函数增区间：；减区间：，∴，，∴，即函数的值域.21.已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”.（1）若，求其“上切线”的方程；（2）若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围；（3）证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解；（2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解；（3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证.【小问1详解】设直线：是的“上切线”，则有恒成立，令，则，即，若，则对任一确定的，都存在，使，若，则对任一确定的，都存在，使，故，令，解得，有，即此时的切线为，又，故，即的“上切线”的方程为；【小问2详解】设该直线的方程为，其在上的切点为，在上的切点为，对，有，对，有，则，即，令，，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故是函数的“下切线”；令，则当时，，当时，，故上单调递增，在上单调递减，故，故是函数的“上切线”；则有，即有