2024-2025学年标准学术能力诊断性测试10月测试数学试卷（含解析）

2024-2025学年标准学术能力诊断性测试10月测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.若，则（）A. B. C.1 D.3.已知单位向量和，若，则（）A.2 B.1 C. D.4.已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：35.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则函数的零点个数为（）A.2 B.0 C.3 D.无穷7.将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（）A.将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位B.将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位C.将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍D.将图象向右平移个单位，再将图象上点横坐标变为原来的3倍8.定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9.从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确是（）A.事件“为偶数”的概率为B.事件“ab为偶数”的概率为C.设，则X的数学期望为D.设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210.在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（）A.若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形B.直线与所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为11.一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（）A.存在直线，使得以AB为直径的圆与相切B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________．13.设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．14.已知，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．（1）若，，求的面积；（2）记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．16.如图所示，在四棱锥中，，，．（1）若平面，证明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长．17.已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．（1）求椭圆方程；（2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．18.已知函数，．（1）若，证明：；（2）若，求a的取值范围；（3）若，记，讨论函数的零点个数．19.乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：．（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．附：，其中．0.050.0250.0103.84150246.635

2024-2025学年标准学术能力诊断性测试10月测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由指数函数性质确定集合，再由交集定义计算．【详解】，又，所以，故选：A．2.若，则（）A. B. C.1 D.【正确答案】C【分析】由可得，利用复数的除法可得z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答案.【详解】由，可得，所以，故，故选：C3.已知单位向量和，若，则（）A.2 B.1 C. D.【正确答案】B【分析】由即可求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，故选：B4.已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：3【正确答案】B【分析】根据圆柱与球的表面积公式求解即可.【详解】设球的半径为，则，由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为，所以圆柱的表面积，所以圆柱与球的表面积之比为1：1.故选：B5.已知，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.【详解】，即，，即，，，解得，，.故选：D.6.已知函数，则函数的零点个数为（）A.2 B.0 C.3 D.无穷【正确答案】A【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，，又时，是增函数，即，所以，因此时，，令，它在上是减函数，，，，当时，，作出和在上图象，如图，由图可知：在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点，所以的零点个数为2.故选：A．7.将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（）A.将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位B.将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位C.将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍D.将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍【正确答案】C【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.【详解】由图象变换为的图象，有以下两种思路：（1）先将的图象向右平移个单位，得的图象，再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得的图象，故C正确，D错误；（2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位，得的图象，故AB错误.故选：C8.定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果.【详解】由可得，即关于对称，即，由可得关于对称，即，所以，令，则，代入可得，即，则，所以的周期为，由是定义在R上的函数，且关于对称，可得，又当时，，即，所以，当时，，且关于对称，则时，，又关于对称，则时，，即在一个周期内的值域为，则的最小值为.故选：B结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9.从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（）A.事件“为偶数”的概率为B.事件“ab为偶数”的概率为C.设，则X的数学期望为D.设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【正确答案】ABD【分析】确定从中随机取一个数，从中随机取一个数的所有可能取法数，根据古典概型的概率计算可判断ABD；根据数学期望的计算可判断C；【详解】从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，共有（种）可能；对于A，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数；故共有4种可能，则事件“为偶数”的概率为，A正确；对于B，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数；此时共有（种）可能，故事件“ab为偶数”的概率为，B正确；对于C，的取值可能为，则,故，C错误；对于D，的取值可能为，，，故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正确，故选：ABD10.在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（）A.若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形B.直线与所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为【正确答案】BCD【分析】作出经过，，三点的截面，判断A的真假；作出异面直线与所成的角，利用等腰三角形的性质，求角的余弦，判断B的真假；判断点到平面的距离是否为定值，可判断C的真假；转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断D的真假.【详解】对A：如图：直线交直线于，设.因为，因为三点共线，所以，因为，所以.所以点在线段上.设射线与射线交于点，连接交于点.在线段上取点，使；在线段上取点，使.依次连接，可得经过，，三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误；对B：如图：因为，所以即为异面直线与所成的角，设为.在中，，，所以，故B正确；对C：易知平面平面，平面，所以平面.点，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确；对D：如图将绕旋转，使共面，则.过作与直线垂直，垂足为.在中，，，，所以，，，所以.故D正确.故选：BCD11.一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（）A.存在直线，使得以AB为直径的圆与相切B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【正确答案】BCD【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，Ax1,y1，Bx2,y2，利用直线对称列式运算求解.【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上，则，坐标原点到直线的距离为，由图易知，，对于A，点到直线距离的最小值为，且，所以以为直径的圆与相离，故A错误；对于C，，，故C正确；对于B，，，故B正确；对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，Ax1,y1，Bx2,则，直线，，由，消去整理得，即，即，，，同理，，，，的最小值为，所以最小值为，故D正确.故选：BCD.关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________．【正确答案】【分析】先根据二项展开中含有的项满足的条件，再根据为正整数求出数列an的通项公式.【详解】展开式的通项为，由于展开式中存在项，令，则，所以.故13.设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．【正确答案】##【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得：，设，则，由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，，由点在双曲线上得，，又，解得，所以双曲线C的离心率.故14.已知，则的最小值为__________．【正确答案】2【分析】变形函数，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值.【详解】函数，令，令，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递增，因此当时，，所以当时，取得最小值2.故2关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．（1）若，，求的面积；（2）记BC边中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解；（2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可.【小问1详解】因为，所以，又，即，所以，即，所以.【小问2详解】因为BC边的中点为D，所以,所以，又，所以，在三角形中，，所以，所以，即，又A为钝角，则，解得，故由，可得，所以.16.如图所示，在四棱锥中，，，．（1）若平面，证明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据三角形三边长可得到三角形角度，再根据线面垂直得到线线垂直，结合同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公式列方程，即可得求答案.【小问1详解】证明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】∵底面，底面，∴，，又，以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：令，则，，则，，设平面的法向量为n1=∴，令，则，∴，设平面的法向量为，∴，令，则，∴，∵二面角的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，∴，解得，所以.17.已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．【正确答案】（1）（2），理由见详解.【分析】（1）据题意可知是正三角形，由直线垂直于，可证，由此可知，，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，，则，得到直线方程，直曲联立，由韦达定理可得，进而得到，代入直线方程可求出定点.【小问1详解】由题意可知，因为离心率为，所以，所以，故是正三角形，如图所示：若直线，则直线垂直平分线段，所以，由于的周长为，故的周长为，由定义可知：，所以的周长为，故，所以，故，所以椭圆的方程.【小问2详解】由题意可设直线的方程为，，则，如图所示：可得直线的方程为：，因为，将其代入直线方程，可得，可整理得：，联立方程得，则，所以，即，将其代入式中，可得直线方程为：，可见直线过定点，所以直线过定点，坐标为.18已知函数，．（1）若，证明：；（2）若，求a的取值范围；（3）若，记，讨论函数的零点个数．【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析.【分析】（1）利用导数研究区间单调性，即可证结论；（2）问题化为研究时恒成立，应用导数求右侧最值，即可得范围；（3）根据解析式有，在将问题化为研究与在上的交点情况，讨论参数a的符号，结合导数研究交点，即可确定原函数零点个数.【小问1详解】由题设且，则，所以在上递减，故，得证；【小问2详解】由解析式，易知时恒成立，当，只需恒成立，令且，则，令，则，即在上递增，所以，故，即在上递增，且，对于，，则，故在上递增，且时，综上，，即.【小问3详解】由题设，且定义域为，显然，令，且，只需研究与在上的交点情况，若，则在上递减，在上递增，且时，而，即在上递减，且，又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓，故与在上有且仅有一个交点，此时，在有两个零点；若，在恒成立，而恒成立，故与在上无交点，此时，在有一个零点；综上，时有两个零点；时有一个零点.19.乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：．（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采