2024-2025学年云南省昆明市高三上册10月月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年云南省昆明市高三上学期10月月考数学质量检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（） B. C. D.【正确答案】D【分析】由图可得阴影部分表示,进而利用交集的定义求解即可【详解】由题,,由图,图中阴影部分表示,所以,故选:D本题考查集合的交集运算,考查利用韦恩图求集合2.已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（）A.1 B. C. D.2【正确答案】B【分析】由图,,进而由复数的模的定义求解即可【详解】由图,,所以,故选:B本题考查复数的模,考查复数在复平面上的表示3.一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，且，故，所以椭圆的标准方程为.故选：B4.已知直线与平行，且过点，则（）A. B.3 C. D.2【正确答案】D【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，又直线过，则，解得，经验证与不重合，所以.故选：D.5.若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可.【详解】如图，过点C作CD⊥AB于D，依题意，因为故|CD|=3，从而，圆的半径为故所求圆的方程为即故选：C6.已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（）A. B. C. D.3【正确答案】B【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.【详解】因为，为BC的中点，所以，又，则，，，所以.故选：B.7.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由正方体结构特征证得，化为求直线和夹角余弦值，应用余弦定理求结果.【详解】连接，由正方体的性质，知也是的中点，且，即，又，故为平行四边形，则，所以直线和夹角，即为直线和夹角，若正方体棱长为2，则，所以，即直线和夹角余弦值为.故选：C8.已知点，直线，则到的距离的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先确定直线过定点，由时点线距离最大，再应用两点距离公式求最大值.【详解】直线可化为，联立，即直线过定点，要使到的距离的最大，只需，即距离最大值为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.直线：（），直线：．下列命题正确的有（）A.，使得 B.，使得C.，与都相交 D.，使得坐标原点到的距离为2【正确答案】BD【分析】由斜率相等计算判断AC；由斜率互为负倒数计算判断B；由点到直线距离公式列式计算判断D.【详解】对于A，当，即时，直线与重合，A错误；对于B，由，即时，与斜率互为负倒数，，B正确；对于C，由选项A知，当时，与重合，C错误；对于D，由，得，，此方程有解，D正确.故选：BD10.已知，则下列说法正确的是（）A.是平面的一个法向量 B.四点共面C. D.【正确答案】AD【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.【详解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；，所以与不平行，故C错误；，故D正确；故选：AD.11.已知圆，点是圆上点，直线，则（）A.直线与圆相交弦长B.的最大值是C.圆上恰有3个点到直线的距离等于1D.过点向圆引切线，切点，则最小值为【正确答案】ACD【分析】根据点到直线距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值.【详解】

如图所示，由已知圆，则圆心，半径，A选项：圆心到直线的距离，则弦长为，A选项正确；B选项：可表示点与点连线的斜率，易知当直线与圆相切时，斜率取得最值，设斜率，则直线，即，则，解得，所以，其最大值为，错误；C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确；D选项：由圆可知圆心，半径，由切线长可知，所以当取得最小值时，取最小值，又，即的最小值为，所以的最小值为，D选项正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若点为直线上的动点，则的最小值为______．【正确答案】【分析】由可看成点与定点的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由可看成点与定点的距离，因为点为直线上的动点，则点到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为.13.已知直线过点和点，则点到直线的距离为____________.【正确答案】【分析】取直线的一个单位方向向量为，由点到直线的距离公式为，代入运算，即可得解．【详解】由题意知，直线的一个方向向量为,0,，取直线的一个单位方向向量为，又为直线外一点，且直线过点,2,，，,,，，点到直线的距离为．故．14.人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设，，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为______【正确答案】【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解.【详解】由题意得，圆，圆心，半径，设点Px0,故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，

则，，则，即的最大值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可；（2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可；【小问1详解】因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；【小问2详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.如图，四棱锥底面是平行四边形，平面，，是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的大小．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明，原题即得证；（2）证明就是直线与平面所成的角，再解三角形得解.【小问1详解】证明：连接交于点,连接.因为所以.又平面，平面,所以平面.【小问2详解】解：设，因为平面，所以.因为，所以.因为.因为,又平面,所以平面,所以就是直线与平面所成的角，由题得所以直线与平面所成的角为.17.在长方体中，.（1）证明：平面面；（2）若，求二面角的余弦值.【正确答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）通过证明，来证明平面，进而证明平面面；（2）建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角的余弦值．【详解】（1）证明：因为，所以四边形是正方形，所以，又四边形是平行四边形，所以，所以，因为长方体中，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，取，所以，设平面的一个法向量为，，，，取，所以，故，又二面角是锐角，所以，二面角的余弦值为.本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题．18.已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值．【正确答案】（1）（2）；【分析】（1）设，表示出圆C的标准方程，利用待定系数法计算即可求解；（2）当直线时最小，利用几何法求弦长即可；如图，先证，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】由题意知，设，则圆C的标准方程为，又圆C过点，所以，解得，故圆C的标准方程为；【小问2详解】由（1）知，连接，则，当直线时，最小，此时，所以的最小值为；如图，取弦长的中点，连接，，则四边形为矩形，，，又，所以，，当且仅当时，等号成立.所以四边形的面积为，即四边形面积的最大值为6.19.已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线．（1）求曲线的方程；（2）若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；（3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、，设点在圆上，求点到直线距离的最大值．【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设，利用两点间的距离公式表示出，，再代入，化简即可；（2）取中点，连接，可求得，再利用点到线的距离公式求解即可；（3）根据四点在以为直径的圆上，可求得直线过定点，作出图象，结合图象可知当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值，求解即可.【小问1详解】解：设，则有，又因为，即有，整理得，所以曲线的方程为；【小问2详解】解：因为，，取中点，