《多元函数一致可导与一致可微分析》1400字

PAGEPAGE31多元函数一致可导与一致可微分析1一致可导的定义与性质定义1.1（二元函数一致可导）函数在给定平面区域上关于一致可导是指，假设二元函数在该区域内有偏导数，对以及内任何两点，，存在，当时，有.同理可得出函数在给定平面区域上关于一致可导的定义.注1.1该定义中的仅与任意给出的有关，与平面区域内的点无关.定义1.2设在区域关于与均一致可导，则称在一致可导.例1.1在一致可导.事实上，，由于,于是，，取，对于任意两点及，当时，（3-1）式成立.由定义可知，在关于一致可导.同理可得，在关于一致可导，从而在一致可导.定理1.1设在区域关于存在偏导数，则以下三个条件等价：1）在关于一致可导；2），对于内的任意点及，当，时，有；3）在关于一致连续.证明1）2）设及是内的任意点，由1）知，，当,时，有，，于是，对上述，当,时，有，所以，2）式成立.2）1），对内的任意点及，当，时，2）式成立.在2）式中令，则，即在关于一致可导.1）3）由1）及2），，对于内的任意点及，当,时，有,,，从而，所以在关于一致连续.3）1）由于在关于一致连续，故，，，当时，有，从而，即在关于一致可导.推论1.1设在区域关于存在偏导数.，则以下三个条件等价：1）在关于一致可导；2）对，对于内的任意点及，当，时，有；3）在关于一致连续.推论1.2若在区域关于存在偏导数.，且满足，其中是正常数，则在关于一致可导.定理1.2（一致可导的必要条件）若在区域一致可导，则，在连续.证明因为在一致可导，由定理2.2.1知，,在分别关于和一致连续，从而,在连续.2一致可微的定义与性质[12-14]定义2.1设在区域两个偏导数存在，若对,，，当时，有，（3-2）则称在一致可微.记.显然，由定义2.1可知，若在一致可微，则在可微且连续.定理2.1（一致可微的充分条件）若在区域一致可导，且（或）在一致连续，则在一致可微.证明由在一致连续知，对,，当时，有.由于在关于一致可导，对上述，对，当时，有.对上述，取，对，当,时，利用一元函数微分中值定理，可得,所以在一致可微.推论2.1若,均在区域一致连续，则在一致可微.证明因为,均在一致连续，所以与在一定分别关于和一致连续，于是在一致可导，从而在一致可微.定理2.2（一致可微的必要条件）若在区域一致可微，则在一致可导，且,在连续.证明由假设，对，对中的任意两点及，当时，有.在上式中分别令及可得，，即在一致可导，从而,在连续.下面给出二元函数一致可微的充要条件.定理2.3在区域一致可微的充要条件是：.（3-3）证明必要性由定义，对，对内的任意点及，当时，有.于是，当时，有，所以（3-3）式成立.充分性设（3-3）式成立，则,当时，有，从而，对且时，有.由定义2.1可知，在一致可微.定理2.4在区域一致可微的充要条件是：对，且时，有.（3-4）证明必要性由定义知，，当且时，有，故当且时，有.充分性由条件及二元函数极限的Cauchy准则知，当时，二重极限存在.又累次极限，故.在（3-4）式中令可得，，即在区域一致可微.定理2.5在区域一致可微的充要条件是对满足条件的任意点列：,且有，函数列在一致收敛于，即,,，有.证明必要性由定义，，对，当时，有.于是，对于满足定理条件的点列，必存在，当时，有，从而当时，有.充分性设若不然，在非一致可微，则,对，，存在，，当时，有.由及在一致收敛于，于是，当和,有.产生矛盾.例2.1证明在任意有界区域一致可微，但在非一致可微.证明由于在任意有界区