八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用练习新版华东师大版

Page114.2勾股定理的应用1.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能推断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c)D．a=26b=10学问点：勾股定理的逆定理学问点的描述：在三角形中，假如某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。满意a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案:A具体解答:A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形．B．a2-b2=c2即a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．C．a2=(b+c)(b-c)即a2=b2-c2，所以a2+c2=b2，这个三角形是直角三角形．D．a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2=262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（）． （A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4答案:C具体解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不行能是高。2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（）A、8B、10C、12D、16学问点：勾股定理在数学上的应用学问点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中常常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加协助线，构建直角三角形。答案:D具体解答:在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD2=AC2-AD2=64，CD=8.△ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=162、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（）A、3B、C、4D、5答案:B（3也可）具体解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，由A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道AC=3,BC=3,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18因此AB=3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（）A、10米B、12米C、15米D、米学问点：勾股定理在实际问题中的应用学问点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中常常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。答案:D（10也可）具体解答:依据题意画出如图所示的示意图，由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300,在Rt△BCE中，CB=10米,∠BCE=300,那么BE=5米，因为BC2=BE2+CE2，所以CE2=75。在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD2=DE2+CE2=75+225=300，所以CD=米.24cm32cm3.如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm，高为32cm24cm32cmA.20cmB.50cmC.40cmD.45cm答案:C具体解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，由题意知在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=32cm，那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600，所以AB=40cm4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．B．3C．D．学问点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。学问点的描述:含30°角的直角三角形是一个特别重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特殊要记住三边之比1：：2，应用它来解决问题便利快捷。答案:D具体解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长AB为1，那么BC=,依据勾股定理求出AC=,所以周长1++=4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于()A．1∶1 B．1∶2 C．∶2 D．2∶答案:D具体解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE,∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°,∵CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满意a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试推断△ABC的形态()。A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形学问点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。学问点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此常常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。答案:A具体解答:∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数，利用勾股定理的逆定理推断△ABC是直角三角形。5、△ABC的三边a,b,c满意则△ABC是（）等边三角形B腰底不等的等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案:A具体解答:∵∴∴∴∴∴△ABC是等边三角形6.一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（）Ａ.100B.110C.120D.150学问点:对比值处理的一般方法。学问点的描述:当已知几个比相等的时候，我们常常采纳设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。答案:C具体解答:∵△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，∵它的周长为60cm，∴5k+12k+13k=60，k=2，∴△ABC的三边分别为a＝10cm，b＝24cm，c＝26cm，∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676，∴a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．∴它的面积是×10×24=120（cm2）6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、10答案:D具体解答:斜边与一条直角边之比为13∶5，不妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k+12k+13k=60，解得k=2，∴△ABC的三边分别为a＝10，b＝24，c＝26。7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，则S△ABC等于()A． B．C．或 D．或学问点:多解问题学问点的描述:中考中常常用多解问题来检查学生思索问题的严密性，从而培育学生探讨问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思索一再，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。答案:C具体解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种状况探讨：（1）若高CD在△ABC的内部，如图在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3在Rt△BDC中，BC＝2，CD=，那么利用勾股定理得BD=1∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×=（2）若高CD在△ABC的外部，如图在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3在Rt△BDC中，BC＝2，CD=，那么利用勾股定理得BD=1则S△ABC=AB×CD=（3-1）×=∴S△ABC=或7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为()A．30° B．150°B．30°或150° D．60°或120°答案:B具体解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种状况探讨：（1）若高BD在△ABC的内部，如图在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴=，∴∠A＝30°（2）若高CD在△ABC的外部，如图在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴=，∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150°∴三角形的顶角为30°或150°8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2学问点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。学问点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此常常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。答案:A具体解答:Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2+b2=c2，又c=10cm，所以a2+b2=100由已知a+b=14cm，得（a+b）2=196，即a2+b2+2ab=196，所以2ab=196-100=96，ab=48则Rt△ABC的面积是ab=×48=24（cm2）8．直角三角形中始终角边的长为11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．132 C．100 D．不能确定答案:B具体解答:假设另始终角边为a，斜边为c，依据勾股定理得：c2=a2+112，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1因为c+a＞c-a，所以c+a=121，c-a=1解方程组得c=61，a=60，则直角三角形的周长为132。9．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心300千米范围内是受台风影响的区域．A市是否会受到台风的影响？假如A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（）Ａ.8小时B.10小时C.12小时D.A市不会受到台风影响学问点：勾股定理在实际问题中的应用学问点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中常常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要仔细的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。答案:C具体解答:过A作AC⊥BF于C，则AC=AB=240<300，∴A市会受到台风影响．过A作AD=300km，交BF于点D．∴DC==180（km），∴该市受台风影响的时间为：=12小时．AB小河东北牧童小屋9．如图，一个牧童在小河的南4AB小河东北牧童小屋Ａ.15kmB.16kmC.17kmD.18答案:CABDPNA′M具体解答:如图，作出A点关于MN的对称点AABDPNA′M在Rt△A′DB中，A′D=AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km），由勾股定理求得A′B==17（km）10．某校把一块形态为直角三角形的废地开拓为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？（）Ａ.D点在距A点60米的地方，最低造价为480元B.D点在距A点50米的地方，最低造价为300元C.D点在距A点64米的地方，最低造价为480元D.D点在距A点64米的地方，最低造价为400元学问点：勾股定理在实际问题中的应用学问点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中常常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要仔细的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。答案:C具体解答:∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，那么依据勾股定理得AB=100米当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价，作AB边的高CD∵CD·AB=AC·BC∴CD===48（米）∴AD==64（米）∴D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．10．某市在旧城改造中，安排在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少须要（）A.元 B.元 C.元 D.元150150°20m30m答案:C具体解答:作BC边上的高AD，∵∠ABC=150°∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=20m，∴AD=10m，∴三角形空地的面积为BC·AD=×30m×10m=150m∵这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少须要元11．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，则四边形ABCD的面积为()A．47 B．49C．53 D．60学问点：转化的数学思想、勾股定理学问点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加协助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。答案:B具体解答：连结AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°∴AC=在△ADC中，AD＝CD＝∴AD2+DC2=（）2+（）2=100又∵AC2=102=100∴AD2+DC2=AC2所以∠ADC=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·DC=×8×6+··=24+25=49小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。11．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD等于（）A、4B、6C、8D、答案:B具体解答:∵AC=10，DC=2，∴AD=8在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，∴BD=612．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．B．C．1D．学问点:方程的思想学问点的描述:在找不到一个能干脆解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。答案:B具体解答:∵AD=2BD，∴可设BD=k，AD=2kRt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC2-AD2=DC2；Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC2-BD2=DC2，∴AC2-AD2=BC2-BD2，得方程52-（2k）2=42-k2解得k=，所以BD的长为。12．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A.56 B.48 C.40 D.32答案:B具体解答:如图，假设BD=DC=x，那么AB=AC=16-x，在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2∵AD＝8，CD＝x，AC=16-x∴82+x2=（16-x）2解得x=6三角形的面积为AD·BC=×8×12=4813．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是()A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.学问点：勾股定理在实际问题中的应用学问点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中常常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。答案:B具体解答:将圆柱沿过点A的母线绽开，画出如图所示的圆柱的侧面绽开图，蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB，由题意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝×2×2=6，∠C＝90°∴AB=（cm）13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，须要找寻水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先动身，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙动身，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00时甲、乙二人还能保持联系吗？（）Ａ.能B.不能答案:A分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路途与乙所走的路途相互垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．OAOAB走了12千米，即OA=12（千米）．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5（千米）．在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13（千米），因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．14、如图，∠AOB=450，点P在∠AOB的内部，OP=2，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则P1P2的长（）。A、B、3C、D、2学问点：勾股定理在数学上的应用学问点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中常常用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加协助线，构建直角三角形。答案:C（也可）具体解答:∵P1与P关于OA对称，∴OP1=OP=2，∠AOP=∠AOP1∵P2与P关于OB对称，∴OP2=OP=2，∠BOP=∠BOP2∵∠AOB=450，即∠AOP+∠BOP=450，∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP）=2×450=900，∴在Rt△P1OP2中，P1P22=OP12+OP22=8∴P1P2=14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（）。 （A）100π-24 （B）25π-24 （C）100π-48 （D）25π-48答案:B具体解答:∠B为直角，AB=6，BC=8，那么AC=10则阴影面积为π×52-×6×8=25π-2415．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（）A．10 B．4 C． D．2学问点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。学问点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此常常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。答案:D（也可以）具体解答:如图所示，不妨设中线AD=2，中线BE=5假设AC=b，BC=a在Rt△ADC中，AC2+DC2=AD2，即b2+（a）2=（2）2，化简为4b2+a2=160，在Rt△BEC中，BC2+EC2=BE2，即a2+（b）2=52，化简为4a2+b2=100，两式相加得4b2+a2+4a2+b2=160+100，即5（a2+b2）=260，所以a2+b2=52，依据勾股定理得AB==215、CD是直角△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（）。A、B、C、D、答案:A具体解答:假设CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得AB=k，又已知AB=1，所以k=，BC=，AC=AB·CD=AC·BC得CD=16、如图，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD的长为（）A、B、3C、D、学问点:方程的思想和折叠问题学问点的描述:在找不到一个能干脆解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多，还要特殊留意利用相等的线段。答案:A具体解答:连结AD，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，那么AB=5∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD假设BD为x，那么AD=x，DC=4-x，△ADC中，∠C=900，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴32+（4-x）2=x2，解得x=16．已知，如图长方形ABCD中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）ABEFDCABEFDCC.D.答案:A具体解答:假设AE=x，那么EB=ED=9-x在Rt△ABE中，32+x2=（9-x）2，解得x=4△ABE的面积为×3×4=6（cm2）17．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cmＡ.cmB.cmC.53cmD.42cm学问点:方程的思想学问点的描述:在找不到一个能干脆解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。DBDBCA具体解答:由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB又AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故△ABC的周长为2AB+BC=cm17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发觉正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便马上通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（）Ａ.10时41分