人教版高中数学必修第二册8.4.1平面【课件】

8.4.1平面预学案共学案预学案一、平面❶1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周________的．无限延展2．平面的画法我们常用矩形的直观图，即____________表示平面，它的锐角通常画成________，且横边长等于其邻边长的________倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用________画出来，如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.平行四边形45°2虚线【即时练习】下列说法正确的是(

)A．镜面是一个平面B．一个平面长10m，宽5mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的答案：D解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确．故选D.二、平面的基本性质❷1．基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过______________的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l不在一条直线上两个点公共直线2.推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面【即时练习】

点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是(

)A．A∈l，l∈α B．A∈l，l∉αC．A⊂l，l⊂α

D．A∈l，l⊂α答案：D解析：点A在直线l上，则A∈l，l在平面α内，则l⊂α.故选D.微点拨❶(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．

微点拨❷(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．共学案【学习目标】

(1)了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(2)能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(3)掌握关于平面基本性质的三个基本事实．【问题探究】

(1)生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？(2)在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直尺边缘上的任何两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有几条交线？提示：(1)无限延展、不计大小、不计厚薄等．(2)三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线．题型

1文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1

用符号表示下列语句，并画出图形：(1)点A在平面α内但在平面β外；(2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B；(3)直线a在平面α内，也在平面β内．解析：(1)因为点A在平面α内但在平面β外，所以可以用下图表示：(2)因为直线a经过平面α内一点A，α外一点B，所以可以用下图表示：(3)因为直线a在平面α内，也在平面β内，所以可以用下图表示：学霸笔记：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

解析：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如下图所示：(2)直线l经过平面α外一点P和平面α上一点Q，如下图所示：

证明：方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴直线l1，l2，l3在同一平面内．题后师说证明点、线共面的2种常用方法

证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.题型

3点共线问题例3

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明：MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．题后师说证明三点共线的方法

证明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．题型

4线共点问题例4

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．

设D1F∩CE＝P，如图．∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又∵CE⊂平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线交于一点．题后师说证明三线共点的一般步骤

证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点．随堂练习1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(

)答案：A解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．故选A.2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(

)A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α答案：B解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.故选B.

答案：A解析：由图知α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，则正确的符号语言应是：α