2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版1含答案

2D25-高考科学复习创新方案-数学-提升版

第一章

集合与常用逻辑用语

第1讲集合

［课程标准］1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能够在自然语言

和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义.2.理解集合

之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的

含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，

能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图

形对理解抽象概念的作用.

基础知识整合

＞知识梳理

1.集合的概念

(1)集合中元素的三个特征：画确定性、同互异性、画无序性.

⑵元素与集合的关系是画属于或局不属于两种,用符号画红或画学表

(3)集合的表示法：网列举法、网描述法、画图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号回N回N回攵回R

2.集合间的基本关系

文字语言符号语言

构成两个集合的元素是回一样固日网

相等

的BQA^A=B

集合A中任意一个元素都是集合

子集回4-8或83A

8中的元素

集合4是集合8的子集，但存在

真子集国U8或8A

元素工且遥A

任何一个集合是它本身的子集

若A是3的子集，5是。的子集，

A£8,⑸A£C

结论则A是C的子集

空集是国任何集合的子集,是

0GA

国任何非空集合的真子集0B（B羊。）

3.集合的基本运算

X并集交集补集

夜)

图形

4UB二画或AC\B=[25\[X\X^A,[uA=[26\[x\x^U,

符号

且xWB}且KA}

4.集合的运算性质

(1)并集的性质：(4U8)3A;A{JA=A;AU°=4；A\JB=BUA.

(2)交集的性质：(4n8)GA；(AnB)QB-,AC\A=A;40。=。；AnB=BC\A.

(3)补集的性质：=A；[uU=。；[u。=U；An((u4)=。；AU([cA)=

♦知识拓展

1.交集与并集的转化

(CuA)n(Ct/B)=Cu(AUB),([uA)U([u8)=[u(AAB).

2.子集个数

若有限集A中有〃个元素，则集合A的子集个数为2〃，真子集的个数为2〃

-1,非空真子集的个数为2〃-2.

3.元素个数

用card(4)表示有限集合A中元素的个数.对任意两个有限集合45有

card(4U3)=card(A)+card(B)-card(ADB).

A双基自测

1.(2023•银川模拟)下列五个式子:①仁⑷；②。工⑷；③伍}曰{。，b}\

④{〃}£{〃}；⑤。€{乩c,〃}中，正确的是()

A.②④⑤B.②③④⑤

C.②④D.①⑤

答案A

解析①错误，应改为a^{a}；②正确；③错误，应改为{〃}{db]\④

正确；⑤正确.

2.(2024.重庆月考)已知集合A={x*<2€Z},则A的真子集的个数为()

A.3B.4

C.6D.7

答案D

解析因为A=3F<2,x€Z)={-l,0,1},所以其真子集的个数为23-1

=7.故选D.

2

3.(人教A必修第一册习题1.2T5⑴改编)设集合M={5,x),N={5xt5},

若M=M则实数无的值组成的集合为()

A.(5)B.{1}

C.{(),5}D.{(),1)

答案C

解析因为M=N,所以1二5厂解得工=0或5,所以实数x的值组成的集

合为{0,5}.故选C.

4.已知集合4=卜|一14<2},B={X|X>0),则(CRA)C(CRB)=.

答案{x\x^-1)

解析因为AU5={小＞-1},所以(CRA)n(CRB)=CR(AUB)={小W-1}.

5.(人教B必修第一册习题1-1BT6改编)已知A=[-2,=-目,

且5[RA,则实数〃的取值范围是_______.

答案[6,4-oo)

解析因为A=[-2,1],所以CRA=(-8,-2)U(1,+8),又因为B=

1-8,且3[RA,所以一号忘-2,解得〃26,所以实数〃的取值范围是

[6,+8).

核心考向突破

考向一集合的含义及表示

例1(1)(2023•秦皇岛模拟)已知集合A二{1,2,3},贝IJ8={(x,y)\x^Aty

|x-y|£A}中所含元素的个数为()

A.2B.4

C.6D.8

答案c

解析因为A={1,2,3},根据|x-)，|€A可知，B={(2,1),

(3,1),(3,2),(I,2),(1,3),(2,3)),8中含有6个元素.故选C.

(2)已知集合A={y|)，=f+1},Z?={(x,y)仅=f+]}(A,台中)，WR),

则下列结论中元素与集合的关系正确的是()

A.2WA,且2WBB.(1,2)£A,且(1,2)£B

C.2€A,且(3,10)£BD.(3,10)£4,且2cB

答案C

解析由-20,得f+121,所以4={力=f+1}={也21},所以2£A,

(1,2)弘,(3,l(w；B={(xfy)|y=f+1}中的元素是函数1二f+1图象上的点

构成的集合，所以263,因为)，=12+I=2,y=32+l=10,所以(1,2)£B,(3,

(3)(2024.广东实验中学月考)若集合A={xERiat2-3x4-2=0}中只有一个元

素，贝IJ。=()

B身

A.1o

C.0D.0

答案D

解析集合A二｛xERiaM-aY+ZuO｝中只有一个元素，当〃=0时，可"得丫

2?

二?集合A中只有一个元素为同当。工。时，方程加-3x+2=0只有一个解，

9

即/二一。二可得。=故选

980,RO.D.

口触类旁通胆解集合的含义的两个关注点

(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合.

(2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么.

注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合

中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

.即时训练1.(多选)(2024・长沙一中阶段考试)已知集合A=｛小=3女-1,kE

Z｝,则下列表示正确的是()

A.一IGAB.-

C.3d-1WAD.-34WA

答案BCD

解析当k=0时，户-1,所以一1£4,所以A错误；令-得

&二-拳Z,所以-1164,所以B正确；令-34=3%-1,得所以-34

WA,所以D正确；因为所以/d6Z,则33-1WA,所以C正确.

2.(2023•徐州模拟)已知集合4=｛1*・4｝,■=｛小CN*,且1刊,则8

=()

A.{0,1}B.{0,1,2)

C.{1,2,3)D.{1,2,3,4)

答案C

解析由已知得A={x|-2WxW2},对于集合8,由x-l£A,得-2奇-

1W2,即一1WXW3,又x£N*,所以x=l,2,3,即8={1,2,3).

3.已知集合A={a+2,3+1)2,a2+3a+3),若1WA,则2023a的值为

；若血，则。不可能取得的值为.

-1+J5-1-J5

答案1-2,—1,0,2，2

解析若1&A,〃+2=1,则〃=-1,A={1,0,1},不符合集合中元素的

互异性；伍+1>=1,则。=0或-2,当。=0时，A=[2,1,3),符合集合中元

素的互异性，当。=-2时，A={0,1,1),不符合集合中元素的互异性；+

+3=1,贝lja=-1或-2,显然都不符合集合中元素的互异性.因此。=0,2023°

=1.若1住A,a+2W1,解得aW—1;(a+1)?W1,解得aWO,-2;cr+3a+3W1,

解得QH-1,-2.乂〃+2,(a+l)2,/+3〃+3且不相等，由。+2关Q+l)?得

_]±J5

a75；由a+2Wa?+3。+3彳导aW—1",由(〃+1)?£/+3a+3彳导aW—2.综

—I+,\[5—1—y[5

上，。的值不可能为-2,-1,0,---2―，—2•

考向二集合间的基本关系

例2(1)(2023.茂名二模)已知集合人={刈x|Wl},B=[x\2x-a<0},若，13,

则实数。的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+8)

C.(-8,2)D.(—8,21

答案A

解析由已知得A=3—l«1},B=j4v<f),若则41,所以。

>2.

3

<-

(2)已知集合A二{处，=也二7+2},B=X=-<2

〃,则下列结论正

确的是()

A.A=BB.AQB

C.BAD.AB

答案c

,——13)

解析因为A={x|y=5一1+2}={小21},B邛x=1,lfv〃可二

{小22},所以BA

(3)设A={x*+4x=0},B={xlx2+2(〃+1)x+a2-1=0},

①若照A,则实数。的取值范围为；

②若AG8,则实数。的取值范围为.

答案①或。=1}②{1}

解析由题意，得A={-4,()}.①4,.2=。或3={-4}或人{()}

或8={-4,0}.当8=0时，x2+2(。+1)x+tz2-1=0无解，即/=4(〃+I)2-4(/

-1)=847+8<0,解得”一1；当笈={一4}或8={0}时，f+2(4+1)工+储一1二0

有两个相等的实数根，则/=8〃+8=0,.・.〃=-1,此时8={0},符合条件；当

B={一4,0}时，一4和0是方程『+2(〃+l)x+/—1=0的两个根，则

p=8«+8>0,

，-4+0=-2(。+1),解得。二1.综上所述，实数。的取值范围为伍|4〈-1或

L-4x0=a2-I,

a=\}.®9：AQB,：.B=[-4,()}.由①知a=l.

I触类旁通I

1.判断两集合间关系的三种方法

2.由集合间的关系求参数的解题策略

(1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而

转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性.

(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进

而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到.

提醒：题目中若有条件"A,则应分八。和两种情况进行讨论.

&即时训练1.Q023•新课标II卷)设集合A={0,-a}tB={1,«-2,2a-2),

若ACS,则“二()

A.2B.1

2

C.TD.-1

J

答案B

解析因为AG8,若〃-2=0,解得。=2,此时A={0,-2),B={1,0,

2),不符合题意；若2。-2=0,解得“=1,此时,4=(0,-1),^={1,-1,0),

符合题意.综上所述，。=1.故选巳

2.(2024・合肥模拟)已知集合4={升？-3工+2=0),B={xl0<x<6,x€N),

则满足条件ACGB的集合C的个数为()

A.3B.4

C.7D.8

答案c

解析由已知得A={1,2),B={1,2,3,4,5),因为AGB,所以集

合C的个数为23-1=7.故选C.

3.已知集合A=“|(x+l)(x-6)W0},若BQAt

则实数m的取值范围为.

答案,机，〃<一2或OWwWa

解析A=3-1WXW6),若照A,则当3=。时，有〃2-1>2m+1,g]m<

{tn-1W2〃？+1,

12-1,解得0W机综上，实数〃?的

2m+1W6,

5

取值范围是"，/〃〈-2或.

多角度探究突破_______________

考向三集合的基本运算

角度1集合间的交、并、补运算

例3(1)(2023•新课标I卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-x

-6^0),贝)

A.{-2,-1,0，1)B.{(),1,2)

C.{-2}D.2

答案c

解析因为—x-—-2]U[3,+8),而加={-2,-

1,0,1,2),所以MnN={-2}.故选C.

(2)(2023•全国乙卷)设集合U=R,集合M={x\x<\],7V={x|-l<x<2},则

{小，2}=()

A.[u(MUMB.NUluM

C.D.MU「uN

答案A

解析由题意可得MUN={x|x<2},贝IJ[u(MUN)={x|x32},A正确；CuM=

{邓丫21},则NUCuM={^>-1},B错误；Mf!N={x|-lavl},贝lJCu(MnM

={4rW-l或x'l},C错误；CUN={.E|XW-1或x22},则MUCuN={4El或

A^2},D错误.故选A.

S触类旁通।集合基本运算的求解策略

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也

可借助Venn图运算.

(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解.对于端点处的取舍，可以单

独检验.

(3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途

径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观.

.即时训练1.(2023・运城四模)已知集合A二上尸声前，B={y|y=-|A-

3|-2},贝IJAU8=()

A.。B.(-00,-2]

C.(-8,())D.(-oo,()]

答案C

1

解析A二'丁=^^j={4r<0},B={y\y=-|x-3|-2}=-2},则

AUB=(—8,o).故选C.

2.(2024・广州模拟)已知全集U=R,集合A={Mr24或xWO},B={x\x>4

或xW-2},则图中阴影部分表示的集合为()

A.(-2,0]B.[-2.0J

C.[-2,0]U(4}D.(-2,0]U(4)

答案D

解析因为A={.小24或xWO},3={小>4或xW-2},所以AUB二{#24

或x〈0}U{x\x>4或xW-2}={x|x24或xWO}，八nB={x|x24或xWO}A{x|.r>4

或xW-2}={#>4或.W-2).由题意可知阴影部分表示的集合为[Cu(AAB)]A(A

U8),因为1u(AnB)={x|—2<x<4},所以[Cu(A「8)]n(AU8)={x|-2oW0或x

=4).故选D.

3.已知M,N均为R的子集，且CKA/UN,则A/U(CKN)=()

A.0B.M

C.ND.R

答案B

解析解法一：・・,CRMGN,/.M3CR/V,据此可得MU(CRN)二M.故选B.

BGli

解法二：如图所示，设矩形区域ABC。表示全集R,矩形区域表示集

合也则矩形区域CDEH表示集合鼠忆矩形区域CDFG表示集合N,满足CRMGN,

结合图形可得MUCCRA7)="故选B.

角度2利用集合运算求参数

例4(1)(2024・无锡模拟)已知集合A={xWZ|-14v3},B=[x\3x-a<()},且

An(CR5)={l,2},则实数。的取值范围为()

A.(0,4)B.(0,4]

C.(0,3]D.(0,3)

答案C

解析由集合A={xeZ|—l<r<3}={0,1,2},B={x\3x-a<0}

可得=因为An(CR8)={l,2),所以解得()<〃W3,即实

数。的取值范围是(0,3].故选C.

(2)已知集合A二{工|3『一〃一IWO},8={x\2a<x<a+3]i若其「16二%则实

数。的取值范围是________.

「10-

答案色忘-不或心于

解析4=33炉-太-1忘0}二卜一;WxWl,①若8=。，贝1]2。2。+3,解

得。23,符合题意；②若BW。，则

所以实数。的取值范围是,〃学或。*二

[触类旁通h艮据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法

(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一

列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集

合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到.

（2）将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解.

⑶根据求解结果来确定参数的值或取值范围.

*即时训练1.已知集合A={x|3?-2x-5<0},B={x\x>a],若=则

实数。的取值范围为（）

55

A._8,3B.

C.(一8,-J]D.(-8,-1)

答案C

2x-5<0|={x\(3x-5)(x+1)<()}=x-1<v<!|,而

解析依题意4二国3«-

故AG8,得aW—L故选C.

2.已知集合尸2>0},Q={x\x2+^+b^0},若PUQ二R,PQQ

=(2,3],则a+b=

答案-5

解析-={，/___2>0}=.仅>2或产—1},•.,尸UQ=R,?02=（2,3],

.•・。=3-1WXW3},1,3是方程/+然+8=。的两根，由根与系数的关系

得,—a=—1+3=2,b=­3,.,.ab=■—5.

角度3集合的新定义问题

例5（2023•青岛模拟）若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全

食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对

于集合4=1,1）,8=国加=1,心0},若两个集合构成“全食”或“偏食”,

则。的值为.

答案0或1或4

解析因为8={犬|加=1,心0},若。=0,则8=。，满足8为4的真子集，

此时A与B构成“全食”；若心0,则B=卜f=%J古，一七.若A与8构成“全

食”或“偏食”，则+=1或+=]解得。=1或。=4.综上，。的值为。或1或4.

7a7a，

触类旁通曦决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点

(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清

楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键

所在.

(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因

素，在关键之处用好集合的运算与性质.

查即时训练(2024.泰安期中)对于非空数集A二{山，6/2,03,…，

其所有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)+.+;+。〃若非空数集B

满足下列两个条件：①B1A;②£(8)二£(A),则称B为A的一个“保均值子集”.据

此，集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有()

A.4个B.5个

C.6个D.7个

答案D

解析设集合A二{1,2,3,4,5},则该集合中所有元素的算术平均数反A)

1+2+3+4+5

=------5------=3、所以由新定义可知，只需找到非空数集B满足BQA,且

E(B)=3即可.据此分析易知，集合(1,2,3,4,51,(1,2,4,5),{1,3,

5),(2,3,4},{1,5},{2,4},{3}都符合要求.故集合{1,2,3,4,5}的“保

均值子集”有7个.故选D.

课时作业

一、单项选择题

1.(2024・武汉二中质检)已知集合M={%2d-l,2a2-\},若则M

中所有元素之和为()

A.3B.1

C.-3D.-1

答案C

解析若。=1,则%-1=1,不满足集合元素的互异性；若2〃-1=1,则a

=1,不满足集合元素的互异性，故解得4=1(舍去)或〃二一1,故M

={-1,-3,1),M中所有元素之和为-3.故选C.

2.(2023•四省高考适应性测试)设集合A=[2,3,a2-2a-3],B={0,3},

C={2}a}.^BQA,AnC={2},贝lj〃=()

A.-3B.-1

C.1D.3

答案B

解析因为照A,所以。2-2。-3=0,解得-1或。=3.若。=-1,则A

={2,3,0),C={2,-1),此时ACC二{2},符合题意；若。=3,则4={2,

3,0),C={2,3),此时ACC={2,3},不符合题意.故选B.

3.(2023•全国甲卷)设集合A={x|x=3%+1,kSZ},B={x\x=3k+2,&£Z},

U为整数集，]u(AUB)=()

A.{x[x=3^,kSZ}B.{x|x=3/:-1,k£Z)

C.(小=3攵-2,/:€Z}D.。

答案A

解析因为整数集Z=f4r=3乂♦WZ}U{x[x=3V+l,2WZ}U{小=31+2,

kCZ\,U=Z,所以。必1)8)={小=33AWZ}.故选A.

x-1

4.(2023•南京一模汜知集合4=x「<0,若ACN*=。，则实数。的取

x-a

值范围是()

A.{1)B.(-oo,1)

C.[1,2]D.(一8,2]

答案D

解析解法一：由题意，得A二1)。-。)<0},当a>\时，4={.r|l<A<tz},

因为AnN*=。，所以1<忘2;当。<1时，A={^<A<1},因为AC1N*=。，所以

6/<1；当。=1时，A=。，满足题意.综上所述，实数〃的取值范围是(-8,2].故

选D.

解法二：当〃=2时，A="|1<E<2},ACIN*=。，故排除A,B;当。二0时，

A={X|04<1},AnN*=。，故排除c.故选D.

5.(2023•青岛二模)已知A,8均为R的子集，且从「(。3)=4则下列结论

中一定成立的是()

A.BQAB.AU8=R

C.AC\B=0D.A=QRB

答案C

解析VAA(CRB)=/4,.T.AQ^RB,用Verm匡表示如右.由图

可知，AClB=。,即C一定成立，A一定不成立，B,D都不一定

成立.故选C.

6.(2024.郑州一中质检)已知集合”={标-3衣0},7V={x|log2X<4},且全集

U=[-1,20],贝IJU=()

A.MCRuN)B.NC(CuM)

C.MU(CuMD.NU(CuM)

答案D

解析由已知得集合”=((),3),N=(0,16),贝IJMn(CuN)=。，NC0uM)

=[3,16),MU(QW)=[-1,3)U[16,20],NU(CuA/)=[-1,2()]=U.故选D.

7.(2024•潍坊模拟)设集合M={xezRd00<2、},则M的所有子集的个数为

()

A.3B.4

C.8D.16

答案C

解析解不等式fvlOO,得-104V10,解不等式100<2工，得x>log2100,由

于Iog226<log2100<log227,所以{xeZ|A2<100<2t)={xez|log2100<x<10)=(7,

8,9),所以M的所有子集的个数为23=8.故选C

8.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有

胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()

A.最多人数是55B.最少人数是55

C.最少人数是75D.最多人数是80

答案B

解析设100名携带药品出国的旅游者组成全集/,其中

带感冒药的人组成集合4带胃药的人组成集合及又设所携/)

带药品既非感冒药又非胃药的人数为占则20],以|」

上两种药都带的人数为F根据题意列出Venn图，如图所示.由图可知，X+75+

80-y=100,/.y=55+x.V0<x<20,A55<><75,故最少人数是55.故选B.

二、多项选择题

9.(2024.无锡一中月考)已知集合A=3-1VW3),B={x\M^2),则下列关

系式正确的是()

A.AClB=0B.AU8二口|-2«}

C.4U(CRB)={.E|启-1或心>2}D.An(CRB)={x[2<xW3}

答案BD

解析•：A={x\-\<x^3}i3=L4r|W2}={M-2WxW2},：.AC\B={x\-

14W3}n*|-2WxW2}={x|-14W2},A不正编;AUB={x|-K}U3-

2WxW2}={x|-2WxW3},B正确;2CRB={*v-2或心>2},/.AU(CRB)={x|x<

-2或心>-l},AA(CRB)={X|24W3},C不正确,D正确.

10.(2023・济南模拟)图中阳影部分用集合符号可以表示

为()

A.ACI(BUC)B.AU(Bn。

C.An[u(8nc)D.(AClB)U(An。

答案AD

解析图中阴影部分用集合符号可以表示为40(31；0或508)1；

(AnC).故选AD.

11.设集合4={Rx=m+,m,n€N(：},若对于任意xi€A,€4,均

有第㊉则运算e可能是()

A.加法B.减法

C.乘法D.除法

答案AC

解析由题意可设XI="21X2=侬+73"2,其中〃2I,"Z2,/n,712€N\

贝ljXI+12=(〃?1+m2)+、。(〃1+〃2),XI+X2EA,所以加法满足条件，A正确；XI-

X2=(〃ZI-〃?2)+小(川-〃2),当〃1=〃2时，XI72在A,所以减法不满足条件，B错

误；x\xi=mimi+3n\m+\^(m\n2+min\),x\xi€A,所以乘法满足条件，C正确；

rini]+yl3n\[n\>?|ri

-=----a，当嬴二7二人a>0)时，不A,所以除法不满足条件，D错误.

人2W2+\3??2m?〃2X2

三、填空题

y—1

12.已知集合A=2x,-―,If,3={父，x+y,()},若A=B,则x+)，=

答案2

解析显然产1,即4={2羽0,1},B={记，x+l,0}.若尤+1=1,贝心

=0,集合A中元素不满足互异性，舍去，且2x=x+l,.,.x=l,故x

+y=2.

13.(2024.西安铁一中月考)已知集合4={]£为

|x+2|<3),B={x£R|a-〃2)(x-2)<0},且AnB=(-1,〃)，贝ljm=

答案-11

解析A={x£R||x+2|<3}={x£R|-5<x<l),由AnB=(-1,〃)，可知m<\,

则5={彳|加《2},画出数轴，可得〃?=-1,〃=L

&g「1r

-5-10124

14.(2024•南昌二中质检)已知集合4={小=坨(〃-x)}]=31V<2},且(CRB)

UA=R,则实数。的取值范围是_______.

答案[2,+8)

解析由已知可得4二(一8,。)，[RB=(-8,1]U[2,+8),./£/)IM

=R,..a22.

四、解答题

2x-1

15.已知集合4=xy=、1j,3=3-lWx+〃W2}.

(1)求集合A;

⑵若照A,求实数。的取值范围.

2x—1

解(1)由二77-120,

x-2

即二得x<-1或x22,

111

所以集合4={小<一1或x22}.

(2)集合B={x|-lWx+aW2}={x\-1--WxW2-4},由BOA得2-cK-1

或-1-心2,解得〃>3或QW-3,所以实数。的取值范围为(-8,-3]U(3,

+8).

4

16.(2023・临沂模拟)在①A=x；②A={x|/一2x-3v0}；③A二{川仇

-1|<2}这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题：

设集合,B={A|(X-2w)(x-/w2-1)<0)(/??1),

(1)当〃z=-l时，求ACB,BU(CRA);

(2)若AUB=A,求实数〃?的取值范围.

解(1)当〃?二一1时，B={x\(x+2)(x-2)<0}={x\-2<x<2],

443—x

若选①：.+]>1-]+]一।>0=(+[>0=(x-3)(x+1)<0,解得-I<x<3,

所以A={x\-l<x<3},

所以An3=3—14v2},

[RA={A#W-1或X»3},

BU(CRA)={小<2或x23}.

若选②：x2-2x-3<0<=>(x-3)(x+l)<0,

解得_1V<3,所以A={X|-14<3},

下同选①.

若选③：由|x-1|<2得-24-1<2,

解得一l<x<3,所以{3一l<x<3},

下同选①.

⑵由⑴知4=国-14<3}.

因为，”W1,所以〃。+1-2〃?=(〃?-1)2>0,EPm2+1>2m,B=(2ni,/n2+1),

因为AU8=A,所以BGA,

所以、m解得-啦.

1<3,2

所以实数〃?的取值范围为一/“U(l,啦］.

第2讲充分条件与必要条件

［课程标准11.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2理解充

分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数

学定义与充要条件的关系.

基础知识整合

＞知识梳理

充分条件、必要条件与充要条件

若〃=夕，则〃是一的画充分条件,。是〃的画必要条件

p是q的画充分不必要条件pnq且q4p

〃是g的1-1必要不充分条件q且qnp

P是q的国充要条件

pcq

〃是g的函既不充分也不必要条件p冷q旦qnp

1.(1)若〃是4的充分不必要条件，O是广的充分不必要条件，则〃是一的充

分不必要条件.

(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.

2.若A=3P(X)},B={x0(x)},贝lj

(1)若AG8,则〃是4的充分条件；

(2)若心伉则〃是夕的必要条件；

⑶若A=3,则〃是g的充要条件；

(4)若AB,则〃是q的充分不必要条件；

(5)若A&则〃是夕的必要不充分条件；

(6)若A8且AB,则，是夕的既不充分也不必要条件.

总结：小推大，大不可推小.

＞双基自测

I.(2024.福清三中月考)已知〃：x(x-1)=(),q'x=\,则〃是“的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析m—1）=（）心=（）或x=l,因此由〃：Hr-1）=0不一定能推出4：x

二1,但是由4"二1一定能推出P：Mx-1）=0,所以〃是。的必要不充分条件.故

选B.

2.（人教A必修第一册习题1.4T6改编）在AABC中，“"+802=AC"是

“△ABC为直角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析在△ABC中，AB2+BC2=AC\则/3=90°,即△ABC为直角三

角形；若△A8C为直角三角形，推不出N5=90°,所以A82+8C2=Ad不一定

成立.综上，“序+8。2=AC?”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.故

选A.

3.（人教A必修第一册习题1.4T3⑶改编）若p：AB,q：AUB=B,贝lj〃

是^的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为AB,所以可以推出AU3=4;又因为AU8=B,所以

当A=3时，推不出AB.故选A.

4.（人教A必修第一册习题1.4T2⑵改编）已知命题p：一元二次方程+

"2=0有实数根，q；加这;，则〃是。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若方程/-工+〃2=0有实数根，贝必=1-4/g0,解得〃W不所以〃

是夕的充要条件.故选C.

5.已知p：x>a是q：2V<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

答案（-8,2]

解析由已知，得*|24<3}{x\x>a）,所以实数。的取值范围是（-8,2].

核心考向突破

考向一充分、必要条件的判断

例1（1）（2024.济南模拟）“Q），”的一个充分条件可以是（）

A.2V-V>1B.『>），2

C..>1D.x^yt2

答案D

解析因为由"》尸，可得所以匕尸力产是）>），”的充分条件，所以D

3y1

->-

符合题意.由得工一丁>一1,当工=1,22

不能推出x>y；由炉旷，可得国术|,不一定能推出Q），，例如当x=-3,），=2

时，*>）?成立，但心>），不成立；若$1,当）《）时，可得x<y.因此A,B,C均不

符合题意.故选D.

（2）（2023•全国甲卷）"sii?a+sin2^=1”是“sina+cosQ=0”的（）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

答案B

71

解析当sin%+sin%=l时，例如a=5，4=。，但sina+cos^WO,即sin2a

+sin%=l推不出sin«+cos/?=0;当sina+cos/?=0时，sin2c(+sin2/?=(-cos^)2

+sin%=1,EPsina+cos。=0能推出sin2G+sin2/?=1.综上可知，"sin2a+sin2/9=1"

是力恒+856=0”的必要条件但不是充分条件.故选B.

(3)(2023・南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是

丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由已知条件可知甲京乙Q丙二丁，所以甲=丁，丁冬甲，即甲是丁的

充分不必要条件.故选A.

「触类旁通I判断充分条件、必要条件的两种方法

(1)定义法

(2)集合法

基本思路根据P,夕成立的对象的集合之间的包含关系进行判断

适用范围多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题

抓住“以小推大'的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充

解题技巧

分，大必要”

・即时训练1.(2023・无锡模拟)已知x£R,则"#0”是。+k|>0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由x+|x|>0可解得x>0,“xWO”是&>0”的必要不充分条件，。

W0”是“x+|x|>0"的必要不充分条件.故选B.

2.(2023・湖南师大附中二模)设等比数列｛〃〃｝的首项为S，公比为小5rs<0

且0%<「'是"对于任意，KN'都有。小“〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析・・Z〃+i=a的，“m<0且0〈如1”="对于任意.TN*都有的+1>的”；

n

“对于任意n€N*都有〃〃+\>a„4%i<0且0<如1"，如an=2〃，满足。〃+\>an,n

WN*,但m=2,q=2,「・"mvO且0<4<1”是“对于任意〃WN*都有的

充分不必要条件.故选A.

考向二根据充分、必要条件求参数的范围

2

例2已知土二｛虫---2。^。｝,非空集合S=｛x\\-fn