2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷532考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、下列各式中，值为的是（）A.B.C.D.2、设a=log53，b=ln3，则（）

A.a＜c＜b

B.c＜b＜a

C.a＜b＜c

D.c＜a＜b

3、等差数列{an}中，a3=7，a7=-5；则公差d=（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

4、已知则=（）A.B.C.D.5、如图的程序框图；能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）

A.m='0'B.x='0'C.x='1'D.m=16、已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A.{1}B.{-1，1}C.{-1，0，1}D.以上答案均不对7、建立A={a，b，c}到B={-1，0，1，2}的映射f：A→B，满足f（a）+f（b）+f（c）=0的不同映射有（）A.6个B.8个C.10个D.12个评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且那么∠C=____．9、若则||=____．10、已知a，b，c∈R+，ab=1，a2+b2+c2=9，则a+b+c的最大值为____．11、【题文】直线截圆所得的弦长是____．12、下列四个结论：

①若α；β为第一象限角；且α＞β，则sinα＞sinβ

②函数y=|sinx|与y=|tanx|的最小正周期相同。

③函数f（x）=sin（x+）在[﹣]上是增函数；

④若函数f（x）=asinx﹣bcosx的图象的一条对称轴为直线x=则a+b=0．

其中正确结论的序号是____．13、已知集合A={x|x∈N，∈N}，则集合A用列举法表示为____14、求值：cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin121鈭�=

______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)15、等差数列{an}中，已知a10=30，a20=50，前n项和记为Sn．

（1）求通项an；

（2）若Sn=242；求n．

16、方程（1+a）x2-4ax+2a+3=0

（1）若方程存在不相等的两实数根；求a的范围．

（2）若方程的根均小于0；求a的范围．

17、已知函数f（x）=2x+且f（1）=1

（1）求a的值；

（2）判断f（x）的奇偶性；

（3）函数f（x）在（1；+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

18、已知函数的最大值为最小值为（1）求的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合.19、一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成；AB=1米，如图所示，小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F，设∠AOE=θ弧度，小球从A到F所需时间为T．

（1）试将T表示为θ的函数T（θ）；并写出定义域；

（2）求时间T最短时cosθ的值．

20、如图；GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，并在公路同侧建造一个矩形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，CD=EF+1且∠ABC=60°，设AB=ykm，CF=xkm

（1）求y关于x的函数解析式。

（2）如果中转站四周围墙（即矩形周长）造价为2万元/km，两条道路造价为6万元/km，问：x取何值时，该公司建中转围墙和两条道路总造价M最低？21、已知向量=（1，2），=（1；-1）．

（1）若θ为向量2+与向量-的夹角；求θ的值；

（2）若向量2+与向量k+垂直，求k的值．评卷人得分四、计算题(共2题，共20分)22、已知二次函数f（x）=ax2+bx-3（a≠0）满足f（2）=f（4），则f（6）=____．23、已知关于x的方程3x2-6x+a-1=0至少有一个正实数根，则a的取值范围是____．评卷人得分五、作图题(共3题，共24分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．26、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】【解析】试题分析：=sin30°==-cos30°=-=cos30°==1，故选C。考点：倍角的三角函数【解析】【答案】C2、D【分析】

由题意，a=log53＞log5=b=ln3＞lne=1；

∴c＜a＜b

故选D．

【解析】【答案】由题意，a=log53＞log5=b=ln3＞lne=1；故可得结论。

3、B【分析】

∵a3=7，a7=-5；

∴

解得d=-3．

故选B．

【解析】【答案】由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d根据题意可列出方程组解此方程组可得到公差d的值．

4、B【分析】【解答】选B.5、A【分析】【分析】由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数；看这个数除以2的余数是1还是0．

由图可知应该填m=0。

【点评】选择结构是考试中常考的知识点，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模。6、C【分析】解：A={x|x2=1}={-1；1}；

若B={x|ax=1}=∅；则a=0；

若B={x|ax=1}={-1}；则a=-1；

若B={x|ax=1}={1}；则a=1；

故实数a的取值集合为{-1；0，1}；

故选：C．

化简A={x|x2=1}={-1；1}，从而分类讨论求得．

本题考查了集合的化简与运算及分类讨论的思想应用．【解析】【答案】C7、C【分析】解：根据a、b；c对应的像来分类；可分为三类：

第1类：f（a）=f（b）=f（c）=0；这样的映射只有1个；

第2类：当f（a），f（b），f（c）中有一个为0，而另两个分别为1，-1时，这样的映射有C31C21=6（个）；

第3类：一个元素的像是2，另两个元素的像必为1，这样的映射有C31=3（个）．

由分类计数原理；共有1+6+3=10（个）．

故选C．

求满足f（a）+f（b）+f（c）=0的映射f，可分为三种情况，当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；当f（a），f（b），f（c）中有一个为0，而另两个分别为1，-1时，有C31C21个映射；当f（a），f（b），f（c）中有一个为2时，而另两个都为1时，有C31个映射．分别求出3种情况的个数相加即可得到答案．

本题考查映射的基本概念，要注意分类讨论以及计数原理的综合运用．【解析】【答案】C二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

∵根据余弦定理，得a2+b2-c2=2abcosC

∴=abcosC

∵由正弦定理得S△ABC=absinC

∴abcosC=absinC；得cosC=sinC

即tanC=1，C∈（0，π）得C=

故答案为：

【解析】【答案】由正弦定理的面积公式结合余弦定理；化简可得cosC=sinC即tanC=1，结合三角形内角的范围，可得C的大小．

9、略

【分析】

由题意知，则=

故答案为：．

【解析】【答案】根据题意中的坐标代入向量的模公式进行求解．

10、略

【分析】

由题意，∵a，b，c∈R+，ab=1，∴

因为a2+b2+c2=9，所以c=

则a+b+c=

设则

所以，a+b+c=

根据柯西不等式得

故答案为

【解析】【答案】利用条件，将a+b+c转化为利用a进行表示；再进行换元，从而可利用柯西不等式求最值．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：圆的圆心半径圆心到直线的距离所以弦长的一半为1，弦长为2

考点：直线与圆的位置关系。

点评：直线与圆相交时常利用圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形求解【解析】【答案】212、②④【分析】【解答】解：①若α；β为第一象限角；且α＞β，则sinα＞sinβ不成立，不如α=390°，β=30°，满足α＞β，但sinα=sinβ，故①错误；

②函数y=|sinx|的周期为π；y=|tanx|的最小正周期为π，两个函数的周期相同，故②正确；

③当x∈[﹣]，则x+∈[﹣]，此时函数f（x）=sin（x+）在[﹣]上不单调性；故③错误；

④f（+x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，即可得2acossinx=﹣2bsinsinx对任意x∈R恒成立；

即（a+b）sinx=0对任意x∈R恒成立，所以a+b=0；故④正确；

故答案为：②④．

【分析】①根据三角函数值的大小关系进行判断．

②根据绝对值函数的周期进行判断．

③根据三角函数的单调性进行判断．

④根据三角函数的对称性进行判断．13、{0，2，3，4，5}【分析】【解答】解：由题意可知6﹣x是12的正约数；当6﹣x=1，x=5；当6﹣x=2，x=4；

当6﹣x=3；x=3；

当6﹣x=4；x=2；当6﹣x=5，x=12；而x≥0；

∴x=0；2，3，4，5，即A={0，2，3，4，5}．

故答案为：{0；2，3，4，5}

【分析】由题意可知6﹣x是12的正约数，然后分别确定12的约数，从而得到x的值为0，2，3，4，5，即可求出A14、略

【分析】解：cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin121鈭�=cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin(180鈭�鈭�59鈭�)=cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin59鈭�=cos(59鈭�鈭�14鈭�)=cos45鈭�=22

．

故答案为22

．

利用诱导公式化简；在根据和与差的公式计算即可．

本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算.

比较基础．【解析】22

三、解答题(共7题，共14分)15、略

【分析】

（1）设等差数列{an}的首项为a1；公比为q；

由a10=30，a20=50，得解得a1=12；d=2．

所以an=2n+10；

（2）因为Sn=242，所以．

解得；n=11或n=-22（舍去）．

故n=11．

【解析】【答案】（1）设出等差数列的首项和公差，由a10=30，a20=50列式联立方程组求出首项和公差；则等差数列的通项公式可求；

（2）直接由等差数列的前n项和公式求解n的值．

16、略

【分析】

（1）因为方程有两个不等实根；

所以1+a≠0，且△=16a2-4（1+a）（2a+3）＞0；

解得a＞3或a＜-．

所以实数a的取值范围为：（3，+∞）∪（-∞，-）．

（2）①若1+a≠0，则解得．

②若1+a=0，即a=-1，4x+1=0，解得x=-成立．

综上所述，-1≤a＜-．

【解析】【答案】（1）该方程有两不等实根；所以1+a≠0，且△＞0，解出即可；

（2）分一次；二次方程进行讨论：若1+a≠0；利用根与系数的关系可得一不等式组，若1+a=0，求出根检验，综合两种情况即可得到答案．

17、略

【分析】

（1）∵f（1）=1；

∴2+a=1；得a=-1

（2）函数的定义域是{x|x≠1}

又f（-x）=-2x-=-（2x+）=-f（x）；所以，函数是奇函数。

（3）由（1）f（x）=2x-此函数在（1，+∞）上是增函数。

任取1＜x1＜x2＜+∞；

f（X1）-f（x2）=（2x1-）-（2x2-）=

由于1＜x1＜x2＜+∞，可得2x1x2+1＞0，x1-x2

∴f（X1）-f（x2）=＜0；

∴f（X1）＜f（x2）

∴函数f（x）在（1；+∞）上是增函数．

【解析】【答案】（1）由题意，函数f（x）=2x+且f（1）=1，可得方程2+a=1，解方程即可得到a的值；

（2）先判断f（-x）与f（x）的关系；再由定义得出函数的奇偶性；

（3）由函数解析式f（x）=2x-知此函数是一个增函数，由定义法证明即可．

18、略

【分析】【解析】试题分析：⑴⑵由⑴知：的最小值为对应x的集合为考点：本题主要考查正弦型函数的图象和性质，余弦型函数的图象和性质。【解析】【答案】⑴⑵最小值为对应x的集合为19、解：（1）过点O作OG⊥BC于G，则OG=1，

OF={#mathml#}OGsinθ

{#/mathml#}={#mathml#}1sinθ

{#/mathml#}，EF=1+{#mathml#}1sinθ

{#/mathml#}，AE=θ，

∴T（θ）={#mathml#}AE5v

{#/mathml#}+{#mathml#}EF6v

{#/mathml#}={#mathml#}θ5v

{#/mathml#}+{#mathml#}16vsinθ

{#/mathml#}+{#mathml#}16v

{#/mathml#}，θ∈[{#mathml#}π4

{#/mathml#}，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}]；

（2）由（1）可知T′（θ）={#mathml#}15v

{#/mathml#}﹣{#mathml#}cosθ6vsin2θ

{#/mathml#}={#mathml#}6sin2θ-5cosθ30vsin2θ

{#/mathml#}=﹣{#mathml#}2cosθ+33cosθ-230vsin2θ

{#/mathml#}，

记cosθ0={#mathml#}23

{#/mathml#}，由θ0∈[{#mathml#}π4

{#/mathml#}，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}]可知：

当θ∈（{#mathml#}π4

{#/mathml#}，θ0）时T′（θ）＜0，即T（θ）在区间（{#mathml#}π4

{#/mathml#}，θ0）上单调递减，

当θ∈（θ0，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}）时T′（θ）＞0，即T（θ）在区间（θ0，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}）上单调递增，

∴当θ={#mathml#}23

{#/mathml#}时时间T最短．

【分析】【分析】（1）通过过点O作OG⊥BC于G，利用OG=1、OF=EF=1+AE=θ及时间、路程与速度之间的关系即得结论；

（2）通过（1）求导可知T′（θ）=﹣进而集合函数的单调性即得结论．20、略

【分析】

（1）根据题意得AB=y且AC=y-1，在Rt△BCF中，BC=2CF=2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2•AB•BC•cosB的式子建立关于x；y的等式；解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式；

（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M=-3+4x．然后换元：令x-1=t，化简得到M=16t++25，利用基本不等式算出当t=时；M的最小值为49．由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．

本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题．【解析】解：（1）∵AB=y；AB=AC+1，∴AC=y-1．

∵在Rt△BCF中；CF=x，∠ABC=60°；

∴∠CBF=30°；可得BC=2x．

由于2x+y-1＞y，得x＞．

在△ABC中，根据余弦定理AC2=AB2+BC2-2•AB•BC•cosB；

可得（y-1）2=y2+（2x）2-2（y-1）•2x•cos60°；

即（y-1）2=y2+4x2-2x（y-1），解得y=．

∵y＞0且x＞

∴x＞1．

可得y关于x的函数解析式为y=（x＞1）．

（2）由题意，可得总造价M=3[y+（y-1）]+4x=-3+4x．

令x-1=t，则M=-3+4（t+1）=16t++25≥2+25=49；

当且仅当16t=即t=时；M的最小值为49．

此时x=t+1=y==．

答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．21、略

【分析】

（1）由已知可得2+和-的坐标，进而可得|2+|和|-|以及（2+）•（-）；代入夹角公式可得cosθ，可得答案；

（2））同理可得2+和k+的坐标；由垂直关系可得k的方程，解方程可得．

本题考查平面向量的数量积和夹角，以及垂直关系，属基础题．【解析】解：（1）∵=（1，2），=（1；-1）．

∴2+=（3，3），-=（0；3）；

∴|2+|=3|-|=3，（2+）•（-）=9；

∴cosθ===

∵θ∈[0，π]，∴θ=

（2））∵=（1，2），=（1；-1）．

∴2+=（3，3），k+=（k-1；2k+1）；

∵向量2+与向量k+垂直；

∴（2+）•（k+）=0；

∴3（k-1）+3（2k+1）=0；

解得k=0四、计算题(共2题，共20分)22、略

【分析】【分析】先把x=2代入得出一个方程，再把x=4得出一个方程，根据f（2）=f（4），即可得出f（6）=的值．【解析】【解答】解：∵f（x）=ax2+bx-3；

∴x=2时，f（2）=4a+2b-3；

x=4时，f（4）=16a+4b-3；

∵