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文档简介
…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页,总=sectionpages22页第=page11页,总=sectionpages11页2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷532考试试卷考试范围:全部知识点;考试时间:120分钟学校:______姓名:______班级:______考号:______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题,共14分)1、下列各式中,值为的是()A.B.C.D.2、设a=log53,b=ln3,则()
A.a<c<b
B.c<b<a
C.a<b<c
D.c<a<b
3、等差数列{an}中,a3=7,a7=-5;则公差d=()
A.3
B.-3
C.2
D.-2
4、已知则=()A.B.C.D.5、如图的程序框图;能判断任意输入的整数x的奇偶性:其中判断框内的条件是()
A.m='0'B.x='0'C.x='1'D.m=16、已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.以上答案均不对7、建立A={a,b,c}到B={-1,0,1,2}的映射f:A→B,满足f(a)+f(b)+f(c)=0的不同映射有()A.6个B.8个C.10个D.12个评卷人得分二、填空题(共7题,共14分)8、已知△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且那么∠C=____.9、若则||=____.10、已知a,b,c∈R+,ab=1,a2+b2+c2=9,则a+b+c的最大值为____.11、【题文】直线截圆所得的弦长是____.12、下列四个结论:
①若α;β为第一象限角;且α>β,则sinα>sinβ
②函数y=|sinx|与y=|tanx|的最小正周期相同。
③函数f(x)=sin(x+)在[﹣]上是增函数;
④若函数f(x)=asinx﹣bcosx的图象的一条对称轴为直线x=则a+b=0.
其中正确结论的序号是____.13、已知集合A={x|x∈N,∈N},则集合A用列举法表示为____14、求值:cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin121鈭�=
______.评卷人得分三、解答题(共7题,共14分)15、等差数列{an}中,已知a10=30,a20=50,前n项和记为Sn.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242;求n.
16、方程(1+a)x2-4ax+2a+3=0
(1)若方程存在不相等的两实数根;求a的范围.
(2)若方程的根均小于0;求a的范围.
17、已知函数f(x)=2x+且f(1)=1
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)函数f(x)在(1;+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
18、已知函数的最大值为最小值为(1)求的值;(2)求函数的最小值并求出对应x的集合.19、一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成;AB=1米,如图所示,小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处,经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内,落点记为F,设∠AOE=θ弧度,小球从A到F所需时间为T.
(1)试将T表示为θ的函数T(θ);并写出定义域;
(2)求时间T最短时cosθ的值.
20、如图;GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库,并在公路同侧建造一个矩形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,CD=EF+1且∠ABC=60°,设AB=ykm,CF=xkm
(1)求y关于x的函数解析式。
(2)如果中转站四周围墙(即矩形周长)造价为2万元/km,两条道路造价为6万元/km,问:x取何值时,该公司建中转围墙和两条道路总造价M最低?21、已知向量=(1,2),=(1;-1).
(1)若θ为向量2+与向量-的夹角;求θ的值;
(2)若向量2+与向量k+垂直,求k的值.评卷人得分四、计算题(共2题,共20分)22、已知二次函数f(x)=ax2+bx-3(a≠0)满足f(2)=f(4),则f(6)=____.23、已知关于x的方程3x2-6x+a-1=0至少有一个正实数根,则a的取值范围是____.评卷人得分五、作图题(共3题,共24分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,且知道CD=3千米,现在要在河边CD上建一水厂,向A、B两村送自来水,铺设管道费用为每千米2000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设管道的费用最省,并求出其费用.25、如图A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,且知道CD=3千米,现在要在河边CD上建一水厂,向A、B两村送自来水,铺设管道费用为每千米2000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设管道的费用最省,并求出其费用.26、以下是一个用基本算法语句编写的程序;根据程序画出其相应的程序框图.
参考答案一、选择题(共7题,共14分)1、C【分析】【解析】试题分析:=sin30°==-cos30°=-=cos30°==1,故选C。考点:倍角的三角函数【解析】【答案】C2、D【分析】
由题意,a=log53>log5=b=ln3>lne=1;
∴c<a<b
故选D.
【解析】【答案】由题意,a=log53>log5=b=ln3>lne=1;故可得结论。
3、B【分析】
∵a3=7,a7=-5;
∴
解得d=-3.
故选B.
【解析】【答案】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d根据题意可列出方程组解此方程组可得到公差d的值.
4、B【分析】【解答】选B.5、A【分析】【分析】由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数;看这个数除以2的余数是1还是0.
由图可知应该填m=0。
【点评】选择结构是考试中常考的知识点,根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模。6、C【分析】解:A={x|x2=1}={-1;1};
若B={x|ax=1}=∅;则a=0;
若B={x|ax=1}={-1};则a=-1;
若B={x|ax=1}={1};则a=1;
故实数a的取值集合为{-1;0,1};
故选:C.
化简A={x|x2=1}={-1;1},从而分类讨论求得.
本题考查了集合的化简与运算及分类讨论的思想应用.【解析】【答案】C7、C【分析】解:根据a、b;c对应的像来分类;可分为三类:
第1类:f(a)=f(b)=f(c)=0;这样的映射只有1个;
第2类:当f(a),f(b),f(c)中有一个为0,而另两个分别为1,-1时,这样的映射有C31C21=6(个);
第3类:一个元素的像是2,另两个元素的像必为1,这样的映射有C31=3(个).
由分类计数原理;共有1+6+3=10(个).
故选C.
求满足f(a)+f(b)+f(c)=0的映射f,可分为三种情况,当f(a)=f(b)=f(c)=0时,只有一个映射;当f(a),f(b),f(c)中有一个为0,而另两个分别为1,-1时,有C31C21个映射;当f(a),f(b),f(c)中有一个为2时,而另两个都为1时,有C31个映射.分别求出3种情况的个数相加即可得到答案.
本题考查映射的基本概念,要注意分类讨论以及计数原理的综合运用.【解析】【答案】C二、填空题(共7题,共14分)8、略
【分析】
∵根据余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC
∴=abcosC
∵由正弦定理得S△ABC=absinC
∴abcosC=absinC;得cosC=sinC
即tanC=1,C∈(0,π)得C=
故答案为:
【解析】【答案】由正弦定理的面积公式结合余弦定理;化简可得cosC=sinC即tanC=1,结合三角形内角的范围,可得C的大小.
9、略
【分析】
由题意知,则=
故答案为:.
【解析】【答案】根据题意中的坐标代入向量的模公式进行求解.
10、略
【分析】
由题意,∵a,b,c∈R+,ab=1,∴
因为a2+b2+c2=9,所以c=
则a+b+c=
设则
所以,a+b+c=
根据柯西不等式得
故答案为
【解析】【答案】利用条件,将a+b+c转化为利用a进行表示;再进行换元,从而可利用柯西不等式求最值.
11、略
【分析】【解析】
试题分析:圆的圆心半径圆心到直线的距离所以弦长的一半为1,弦长为2
考点:直线与圆的位置关系。
点评:直线与圆相交时常利用圆心到直线的距离,弦长的一半,圆的半径构成的直角三角形求解【解析】【答案】212、②④【分析】【解答】解:①若α;β为第一象限角;且α>β,则sinα>sinβ不成立,不如α=390°,β=30°,满足α>β,但sinα=sinβ,故①错误;
②函数y=|sinx|的周期为π;y=|tanx|的最小正周期为π,两个函数的周期相同,故②正确;
③当x∈[﹣],则x+∈[﹣],此时函数f(x)=sin(x+)在[﹣]上不单调性;故③错误;
④f(+x)=f(﹣x)对任意x∈R恒成立,即可得2acossinx=﹣2bsinsinx对任意x∈R恒成立;
即(a+b)sinx=0对任意x∈R恒成立,所以a+b=0;故④正确;
故答案为:②④.
【分析】①根据三角函数值的大小关系进行判断.
②根据绝对值函数的周期进行判断.
③根据三角函数的单调性进行判断.
④根据三角函数的对称性进行判断.13、{0,2,3,4,5}【分析】【解答】解:由题意可知6﹣x是12的正约数;当6﹣x=1,x=5;当6﹣x=2,x=4;
当6﹣x=3;x=3;
当6﹣x=4;x=2;当6﹣x=5,x=12;而x≥0;
∴x=0;2,3,4,5,即A={0,2,3,4,5}.
故答案为:{0;2,3,4,5}
【分析】由题意可知6﹣x是12的正约数,然后分别确定12的约数,从而得到x的值为0,2,3,4,5,即可求出A14、略
【分析】解:cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin121鈭�=cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin(180鈭�鈭�59鈭�)=cos14鈭�cos59鈭�+sin14鈭�sin59鈭�=cos(59鈭�鈭�14鈭�)=cos45鈭�=22
.
故答案为22
.
利用诱导公式化简;在根据和与差的公式计算即可.
本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算.
比较基础.【解析】22
三、解答题(共7题,共14分)15、略
【分析】
(1)设等差数列{an}的首项为a1;公比为q;
由a10=30,a20=50,得解得a1=12;d=2.
所以an=2n+10;
(2)因为Sn=242,所以.
解得;n=11或n=-22(舍去).
故n=11.
【解析】【答案】(1)设出等差数列的首项和公差,由a10=30,a20=50列式联立方程组求出首项和公差;则等差数列的通项公式可求;
(2)直接由等差数列的前n项和公式求解n的值.
16、略
【分析】
(1)因为方程有两个不等实根;
所以1+a≠0,且△=16a2-4(1+a)(2a+3)>0;
解得a>3或a<-.
所以实数a的取值范围为:(3,+∞)∪(-∞,-).
(2)①若1+a≠0,则解得.
②若1+a=0,即a=-1,4x+1=0,解得x=-成立.
综上所述,-1≤a<-.
【解析】【答案】(1)该方程有两不等实根;所以1+a≠0,且△>0,解出即可;
(2)分一次;二次方程进行讨论:若1+a≠0;利用根与系数的关系可得一不等式组,若1+a=0,求出根检验,综合两种情况即可得到答案.
17、略
【分析】
(1)∵f(1)=1;
∴2+a=1;得a=-1
(2)函数的定义域是{x|x≠1}
又f(-x)=-2x-=-(2x+)=-f(x);所以,函数是奇函数。
(3)由(1)f(x)=2x-此函数在(1,+∞)上是增函数。
任取1<x1<x2<+∞;
f(X1)-f(x2)=(2x1-)-(2x2-)=
由于1<x1<x2<+∞,可得2x1x2+1>0,x1-x2
∴f(X1)-f(x2)=<0;
∴f(X1)<f(x2)
∴函数f(x)在(1;+∞)上是增函数.
【解析】【答案】(1)由题意,函数f(x)=2x+且f(1)=1,可得方程2+a=1,解方程即可得到a的值;
(2)先判断f(-x)与f(x)的关系;再由定义得出函数的奇偶性;
(3)由函数解析式f(x)=2x-知此函数是一个增函数,由定义法证明即可.
18、略
【分析】【解析】试题分析:⑴⑵由⑴知:的最小值为对应x的集合为考点:本题主要考查正弦型函数的图象和性质,余弦型函数的图象和性质。【解析】【答案】⑴⑵最小值为对应x的集合为19、解:(1)过点O作OG⊥BC于G,则OG=1,
OF={#mathml#}OGsinθ
{#/mathml#}={#mathml#}1sinθ
{#/mathml#},EF=1+{#mathml#}1sinθ
{#/mathml#},AE=θ,
∴T(θ)={#mathml#}AE5v
{#/mathml#}+{#mathml#}EF6v
{#/mathml#}={#mathml#}θ5v
{#/mathml#}+{#mathml#}16vsinθ
{#/mathml#}+{#mathml#}16v
{#/mathml#},θ∈[{#mathml#}π4
{#/mathml#},{#mathml#}3π4
{#/mathml#}];
(2)由(1)可知T′(θ)={#mathml#}15v
{#/mathml#}﹣{#mathml#}cosθ6vsin2θ
{#/mathml#}={#mathml#}6sin2θ-5cosθ30vsin2θ
{#/mathml#}=﹣{#mathml#}2cosθ+33cosθ-230vsin2θ
{#/mathml#},
记cosθ0={#mathml#}23
{#/mathml#},由θ0∈[{#mathml#}π4
{#/mathml#},{#mathml#}3π4
{#/mathml#}]可知:
当θ∈({#mathml#}π4
{#/mathml#},θ0)时T′(θ)<0,即T(θ)在区间({#mathml#}π4
{#/mathml#},θ0)上单调递减,
当θ∈(θ0,{#mathml#}3π4
{#/mathml#})时T′(θ)>0,即T(θ)在区间(θ0,{#mathml#}3π4
{#/mathml#})上单调递增,
∴当θ={#mathml#}23
{#/mathml#}时时间T最短.
【分析】【分析】(1)通过过点O作OG⊥BC于G,利用OG=1、OF=EF=1+AE=θ及时间、路程与速度之间的关系即得结论;
(2)通过(1)求导可知T′(θ)=﹣进而集合函数的单调性即得结论.20、略
【分析】
(1)根据题意得AB=y且AC=y-1,在Rt△BCF中,BC=2CF=2x.然后在△ABC中利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2•AB•BC•cosB的式子建立关于x;y的等式;解出用x表示y的式子,即可得到y关于x的函数解析式;
(2)由(1)求出的函数关系式,结合题意得出总造价M=-3+4x.然后换元:令x-1=t,化简得到M=16t++25,利用基本不等式算出当t=时;M的最小值为49.由此即可得出当总造价M最低时,相应的x值.
本题给出实际应用问题,求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案.着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识,属于中档题.【解析】解:(1)∵AB=y;AB=AC+1,∴AC=y-1.
∵在Rt△BCF中;CF=x,∠ABC=60°;
∴∠CBF=30°;可得BC=2x.
由于2x+y-1>y,得x>.
在△ABC中,根据余弦定理AC2=AB2+BC2-2•AB•BC•cosB;
可得(y-1)2=y2+(2x)2-2(y-1)•2x•cos60°;
即(y-1)2=y2+4x2-2x(y-1),解得y=.
∵y>0且x>
∴x>1.
可得y关于x的函数解析式为y=(x>1).
(2)由题意,可得总造价M=3[y+(y-1)]+4x=-3+4x.
令x-1=t,则M=-3+4(t+1)=16t++25≥2+25=49;
当且仅当16t=即t=时;M的最小值为49.
此时x=t+1=y==.
答:当x的值为时,该公司建中转站围墙和道路总造价M最低.21、略
【分析】
(1)由已知可得2+和-的坐标,进而可得|2+|和|-|以及(2+)•(-);代入夹角公式可得cosθ,可得答案;
(2))同理可得2+和k+的坐标;由垂直关系可得k的方程,解方程可得.
本题考查平面向量的数量积和夹角,以及垂直关系,属基础题.【解析】解:(1)∵=(1,2),=(1;-1).
∴2+=(3,3),-=(0;3);
∴|2+|=3|-|=3,(2+)•(-)=9;
∴cosθ===
∵θ∈[0,π],∴θ=
(2))∵=(1,2),=(1;-1).
∴2+=(3,3),k+=(k-1;2k+1);
∵向量2+与向量k+垂直;
∴(2+)•(k+)=0;
∴3(k-1)+3(2k+1)=0;
解得k=0四、计算题(共2题,共20分)22、略
【分析】【分析】先把x=2代入得出一个方程,再把x=4得出一个方程,根据f(2)=f(4),即可得出f(6)=的值.【解析】【解答】解:∵f(x)=ax2+bx-3;
∴x=2时,f(2)=4a+2b-3;
x=4时,f(4)=16a+4b-3;
∵
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