七年级数学下册同步学与练（北师大版）-第一章第05讲 整式的乘法(10类热点题型讲练)（原卷版）

第05讲整式的乘法(10类热点题型讲练)1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题；3．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；4．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；5．掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则的应用．知识点01单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.知识点02单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.题型01计算单项式乘单项式【例题】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．【变式训练】1．（2023上·福建福州·八年级校考期中）计算(1)(2)2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)．(2)．(3)．(4)．题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值【例题】若，则的值为．【变式训练】1．若单项式与的积为，则．2．若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝．题型03计算单项式乘多项式及求值【例题】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中．【变式训练】1．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)，2．（2023上·八年级课时练习）（1）计算：；（2）计算：；（3）计算：；（4）计算：．题型04计算多项式乘多项式【例题】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．2．（2023下·七年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型05(x+p)(x+q)型多项式乘法【例题】（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）若，则．【变式训练】1．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）若，则的值为．2．（2023上·四川内江·八年级校考期中）如果，则，．题型06已知多项式乘积不含某项求字母的值【例题】（2023下·陕西西安·七年级校考期中）求值，若的积中不含的一次项与的二次项，(1)求的值；(2)求代数式的值．1．（2023下·江西吉安·七年级校考阶段练习）已知的展开式中不含项和项，求：(1)，的值；(2)的值。2．（2023上·湖北·八年级校考周测）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求：(1)系数与的值；(2)二项式与的积．题型07多项式乘多项式——化简求值【例题】（2023上·陕西延安·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）化简求值：，其中．2．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．题型08单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积【例题】（2023上·重庆巴南·七年级校联考期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为．(1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当，，时阴影部分的面积．(2)记图1中阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出的值．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/，求种植草坪应投入的资金是多少元？2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．

(1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）(3)如果，，求整个长方形运动场的面积．题型09多项式乘法中的规律性问题【例题】探索题：

……(1)当时，＝．(2)试求：的值．(3)判断的值个位数字是．【变式训练】1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：，它只有一项，系数为1，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果．(2)的展开式的系数分别为______，系数和为______．(3)展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？题型10整式乘法混合运算【例题】（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）计算下列各题(1)(2)【变式训练】1．（2023下·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）计算：(1)(2)2．（2023上·四川南充·九年级校联考阶段练习）若规定符号的意义：．(1)计算：_________．(2)若，，则的值为________．一、单选题1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）若，则m的值是（

）A．6 B． C．8 D．3．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）下列正确的是（

）A． B．C． D．4．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）的乘积中不含和项，则的值为（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A．B．C．D．二、填空题6．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）．7．（2023上·四川内江·七年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，则代数式．8．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）在计算结果中，不含项，则a值为．9．（2023上·八年级课时练习）小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是，正确的结果是．10．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）若规定符号的意义是：，当时，的值为．三、解答题11．（2023上·重庆渝北·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)．12．（2023下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）计算：(1)；(2)．13．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）化简，其中14．（2023上·福建泉州·七年级泉州七中校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．15．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数）(1)求，的值；(2)在（）的条件下，求的值．16．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）如图，在一个长方形空地中，沿它的两个角用栅栏围成两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；(2)若米，米，计划在“T”型区域铺上价格为每平方米25元的草坪，请计算草坪的造价．（不考虑其他费用）17．（2023上·全国·八年级专题练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．

(1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的