2025届陕西省商洛市高三上学期第一次模拟检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省商洛市2025届高三上学期第一次模拟检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以．故选：D2.已知集合，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意可得，解得．故选：B.3.已知向量，若，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以．因为，所以，解得．故选：A4.已知是实数，则“且”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由且，得，反之，不成立，如取满足，而且不成立，所以“且”是“”的充分不必要条件．故选：B5.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，设四棱锥外接球的半径为，则，所以，故四棱锥外接球的体积．故选：C6.已知函数，且是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数为奇函数，即，且函数的定义域为，所以，，可得，解得，所以，，则为奇函数，合乎题意.因此，.故选：A.7.已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，设Ax1,y1，B则，解得且，，，所以，因为，所以，即，解得．故选：C.8.已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，故是奇函数．不等式等价于不等式即不等式因为是奇函数，所以易证是上的减函数，则，即，解得．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，这是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（）A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分【答案】ABC【解析】由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在（8，10）内，在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分，在安全性方面的综合评分在（6，8）内，在易用性方面的综合评分是10分，故A，B，C正确，D错误．故选：ABC10.设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（）A. B.外接圆的面积是C.的面积的最大值是 D.的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A项，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故A项错误．对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的外接圆的面积是，故B项正确．对于C项，由余弦定理可得，即①．因为②，当且仅当时，等号成立，所以由①②得，当且仅当时，等号成立，所以的面积，则C项正确．对于D项，由正弦定理可得，则，，所以又因，所以，所以，所以，即的取值范围是，故D项正确．故选：BCD.11.“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是（）A.若点，，则的值可能是B.若点，，则在轴上存在点，使得C.若点，，，则在线段上存在点，使得D.若点在圆上，点在直线上，则的值可能为【答案】BD【解析】对于A，，不可能为，A错误；对于B，设，则，（当且仅当时取等号），，在轴上存在点，使得，B正确；对于C，当点与点不重合时，作，垂足为，则，，直线斜率，，即，，；当点与点或点重合时，；恒成立，C错误；对于D，若点，点，则满足点在圆上，点在直线上，此时，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若椭圆的离心率是，则______.【答案】【解析】由题意可得，解得.13.如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是______平方分米．【答案】【解析】由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米，则该水泥墩的表面积为平方分米．14.已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______【答案】【解析】由，即，得.因为，所以.设，则.因为，所以，所以在上单调递增.因为，所以，所以，所以，所以.设，则.由，得，则在上单调递减；由，得，则在上单调递增.故，即.四、解答题：本题共5小题，共？7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响．（1）求比赛进行四局且甲获胜的概率：（2）比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望．解：（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，则所求概率（2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5．则的分布列为345故．16.如图，在长方体中，分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：取棱的中点，连接，因为分别是棱的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，因为平面平面，所以平面．（2）解：由题意可知两两垂直，则以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的法向量为则，令，得，设平面的法向量为则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，故，即平面与平面夹角的正弦值为．17.已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值．解：（1）由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率．因为直线的斜率之积为3，所以，解得．因为点在双曲线上，所以，解得．故双曲线的标准方程为．（2）设直线联立整理得则所以．因为，所以，所以即化简得，故．由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离．因为，所以，所以，即点到直线的距离的最大值是．18.已知函数，满足，.（1）若为上的增函数，求的取值范围.（2）证明：与的图象关于一条直线对称.（3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围.（1）解：由，可得，因为为上的增函数，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，所以的取值范围为.（2）证明：因为，，所以即，所以，函数关于对称的函数为，再把向右方平移2个单位得到，所以函数与关于对称；（3）解：由（2）可得，又因为在内有解，所以在内有解，所以在内有解，由（1）可知时，为上的增函数，所以，所以在内有解，令，求导可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，又，，所以，所以的取值范围为.19.已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”．（1）若，判断数列是否为“封闭数列”；（2）已知递增数列为“封闭数列”，求；（3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：等比数列．解：（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．因为和均不是中的项，所以数列不是“封闭数列”．（2）由题意数列递增可知，则不是中的项，所以是中的项，即．因为，所以都是中的项，所以，得，由，得，所以．（3）因为数列单调递增，所以，则不是中的项，所以是中的项，即．因为不是中的项，所以是中的项，所以．因为共有项，所以①，类似地，，则不是中的项，所以是中的项，，所以②，由①和②得，所以是首项为1的等比数列．陕西省商洛市2025届高三上学期第一次模拟检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以．故选：D2.已知集合，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意可得，解得．故选：B.3.已知向量，若，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以．因为，所以，解得．故选：A4.已知是实数，则“且”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由且，得，反之，不成立，如取满足，而且不成立，所以“且”是“”的充分不必要条件．故选：B5.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，设四棱锥外接球的半径为，则，所以，故四棱锥外接球的体积．故选：C6.已知函数，且是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数为奇函数，即，且函数的定义域为，所以，，可得，解得，所以，，则为奇函数，合乎题意.因此，.故选：A.7.已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，设Ax1,y1，B则，解得且，，，所以，因为，所以，即，解得．故选：C.8.已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，故是奇函数．不等式等价于不等式即不等式因为是奇函数，所以易证是上的减函数，则，即，解得．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，这是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（）A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分【答案】ABC【解析】由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在（8，10）内，在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分，在安全性方面的综合评分在（6，8）内，在易用性方面的综合评分是10分，故A，B，C正确，D错误．故选：ABC10.设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（）A. B.外接圆的面积是C.的面积的最大值是 D.的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A项，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故A项错误．对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的外接圆的面积是，故B项正确．对于C项，由余弦定理可得，即①．因为②，当且仅当时，等号成立，所以由①②得，当且仅当时，等号成立，所以的面积，则C项正确．对于D项，由正弦定理可得，则，，所以又因，所以，所以，所以，即的取值范围是，故D项正确．故选：BCD.11.“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是（）A.若点，，则的值可能是B.若点，，则在轴上存在点，使得C.若点，，，则在线段上存在点，使得D.若点在圆上，点在直线上，则的值可能为【答案】BD【解析】对于A，，不可能为，A错误；对于B，设，则，（当且仅当时取等号），，在轴上存在点，使得，B正确；对于C，当点与点不重合时，作，垂足为，则，，直线斜率，，即，，；当点与点或点重合时，；恒成立，C错误；对于D，若点，点，则满足点在圆上，点在直线上，此时，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若椭圆的离心率是，则______.【答案】【解析】由题意可得，解得.13.如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是______平方分米．【答案】【解析】由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米，则该水泥墩的表面积为平方分米．14.已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______【答案】【解析】由，即，得.因为，所以.设，则.因为，所以，所以在上单调递增.因为，所以，所以，所以，所以.设，则.由，得，则在上单调递减；由，得，则在上单调递增.故，即.四、解答题：本题共5小题，共？7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响．（1）求比赛进行四局且甲获胜的概率：（2）比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望．解：（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，则所求概率（2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5．则的分布列为345故．16.如图，在长方体中，分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：取棱的中点，连接，因为分别是棱的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，因为平面平面，所以平面．（2）解：由题意可知两两垂直，则以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的法向量为则，令，得，设平面的法向量为则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，故，即平面与平面夹角的正弦值为．17.已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值．解：（1）由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率．因为直线的斜率之积为3，所以，解得．因为点在双曲线上，所以，解得．故双曲线的标准方程为．（2）设直线联立整理得则所以．因为，所以，所以即化