2025届江西省萍乡市高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省萍乡市2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由可得，所以．故选：C．2.已知集合，，若，则（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】，，因为，所以，则，故选：B．3.已知直线，与平面满足，，对于下列两个命题：①“”是“”的充分不必要条件；②“”是“”的必要不充分条件.判断正确的是（）A.①，②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①，②都是假命题【答案】A【解析】①若，则“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故①是真命题；②若，则“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故②是真命题．故选：A．4.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定义域为，，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；，可排除D.故选：A.5.已知，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，，所以．故选：D．6.已知平面向量，，，若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以在上的投影向量为．故选：D．7.已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数恰有5个零点，所以方程有5个根．设，结合fx图象可得至多有三根，则方程化为，此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的零点的分布情况得：解得．故选:B．8.已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，依题意，，又，可得，解得，所以，所以．当为偶数时，由，得，所以对任意的偶数成立，因为单调递减，所以当时取最大值，故；当为奇数时，由，得，所以对任意的奇数成立，因为单调递增，且当是无限接近于12，故．综上所述，．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数，，满足，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，因为，所以指数函数在上为减函数，所以，即，故A错误；对于B，因为幂函数在上为增函数，所以，即，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，取，，可得，，不满足，故D错误．故选：BC．10.若函数图像的两相邻对称轴间的距离为，且图像关于点中心对称，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则（）A.在区间上单调递减B.在区间上有两个极值点C.的图像与的图像关于直线对称D.直线是曲线的切线【答案】ABD【解析】由题知，的最小正周期为，所以，所以，又的图像关于点对称，所以，即，，因为，所以，故．令，解得，故在上单调递减，故A正确；，令，得，，所以在区间上有两个极值点和，故B正确；因为，，所以的图像与的图像不关于直线对称，故C错误；，令，解得或，，故曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故D正确．故选：ABD．11.已知函数，函数的定义域为，且在区间上单调递减，若的图像关于直线对称，则（）A.的图像关于轴对称B.的图像关于原点对称C.若恒成立，则或D.【答案】AD【解析】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，通过整体向右平移2个单位长度，所以关于对称，为偶函数．又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增．易知函数在上单调递增，又，所以是上的奇函数．对于A，由于，所以为偶函数，其函数图像关于轴对称，故A正确；对于B，，所以为偶函数，易知不恒成立，所以的图像不关于原点对称，故B错误；对于C，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且为偶函数，由恒成立，得恒成立，又，所以，解得，故C错误；对于D，令，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，即，即，所以，所以，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正数满足，则的最小值为_____．【答案】【解析】（当且仅当，即，时取等号），，（当且仅当，时取等号），即的最小值为.13.用铁水灌注上、下底面的边长分别为和的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为，则所需铁水的体积为_____．（灌注过程中铁水无额外损耗）【答案】【解析】如图，在正四棱台中，，，，，分别为侧面上的高以及棱台的高，则，，在等腰梯形中，，等腰梯形中，过作，垂足为，则，所以，所以该正四棱台的体积为，即所需铁水的体积为．14.设，且，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】，令，则，且，所以，因为是上的减函数，所以，即．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．（1）证明：，，，四点共面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．解：（1）如图，取的中点，连接，，则，在正方体中，，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．（2）如图，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，，，则点在上．不妨设正方体的棱长为，则，，，，所以是的中点，所以，，所以是平面与平面的夹角．因为平面平面，所以，所以．16.如图，在平面四边形中，，，，．（1）求四边形的周长；（2）求四边形的面积．解：（1）因为，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四边形的周长为；（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以四边形的面积为．17.已知首项为1的正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列bn的前项和为，证明：．解：（1）因为，，且，所以，解得，当时，由，可得，两式相减可得，所以，因为，所以，且，所以是首项和公差均为1的等差数列，即有．（2），所以，两式相减得，所以，因为，所以．18.已知函数．（1）证明：的图象与轴相切；（2）设．（i）当时，求函数的单调区间；（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）的定义域为0,+∞，所以，令，解得，当时，f'x>0，单调递增；当时，f'x<0又f1=0，所以曲线在1,f1处的切线方程为，即的图象与轴相切．（2）（i），．当时，由，解得或；由，解得，所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减；当时，由，解得或；由，解得，所以函数在和1,+∞上单调递增，在上单调递减；当时，由，得函数在0,+∞上单调递增；当时，由，解得；由，解得，所以函数在1,+∞上单调递增，在（0，1）上单调递减．综上，当时，函数的单调增区间为（0，1）和，减区间为；当时，函数的单调增区间为和1,+∞，减区间为；当时，函数单调增区间为0,+∞，无减区间；当时，函数的单调增区间为1,+∞，减区间为（0，1）．（ii）在1,+∞上恒成立可转化为，设，则．令，则，所以函数φx在1,+又，，则函数φx在内存在唯一的零点，当时，，h'x<0，h当x∈x0,+∞时，，h又，得，则，所以，即实数的取值范围为．19.定义：多面体在点处离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．（1）求四棱锥在顶点处的离散曲率；（2）求四棱锥内切球的表面积；（3）若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．解：（1）因为平面，平面，所以，因为，则．因为平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以，即，由离散曲率的定义得．（2）因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，设四棱锥表面积为，则．设四棱锥的内切球的半径为，则，所以，所以四棱锥内切球的表面积．（3）如图，过点作交于点，连接，因为平面，所以平面，则为直线与平面所成的角．易知，当与重合时，；当与不重合时，设，在中，由余弦定理得因为，所以，所以，则，所以．当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合），由，得，即，所以的最大值为，所以直线与平面所成角的取值范围为．江西省萍乡市2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由可得，所以．故选：C．2.已知集合，，若，则（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】，，因为，所以，则，故选：B．3.已知直线，与平面满足，，对于下列两个命题：①“”是“”的充分不必要条件；②“”是“”的必要不充分条件.判断正确的是（）A.①，②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①，②都是假命题【答案】A【解析】①若，则“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故①是真命题；②若，则“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故②是真命题．故选：A．4.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定义域为，，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；，可排除D.故选：A.5.已知，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，，所以．故选：D．6.已知平面向量，，，若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以在上的投影向量为．故选：D．7.已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数恰有5个零点，所以方程有5个根．设，结合fx图象可得至多有三根，则方程化为，此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的零点的分布情况得：解得．故选:B．8.已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，依题意，，又，可得，解得，所以，所以．当为偶数时，由，得，所以对任意的偶数成立，因为单调递减，所以当时取最大值，故；当为奇数时，由，得，所以对任意的奇数成立，因为单调递增，且当是无限接近于12，故．综上所述，．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数，，满足，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，因为，所以指数函数在上为减函数，所以，即，故A错误；对于B，因为幂函数在上为增函数，所以，即，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，取，，可得，，不满足，故D错误．故选：BC．10.若函数图像的两相邻对称轴间的距离为，且图像关于点中心对称，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则（）A.在区间上单调递减B.在区间上有两个极值点C.的图像与的图像关于直线对称D.直线是曲线的切线【答案】ABD【解析】由题知，的最小正周期为，所以，所以，又的图像关于点对称，所以，即，，因为，所以，故．令，解得，故在上单调递减，故A正确；，令，得，，所以在区间上有两个极值点和，故B正确；因为，，所以的图像与的图像不关于直线对称，故C错误；，令，解得或，，故曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故D正确．故选：ABD．11.已知函数，函数的定义域为，且在区间上单调递减，若的图像关于直线对称，则（）A.的图像关于轴对称B.的图像关于原点对称C.若恒成立，则或D.【答案】AD【解析】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，通过整体向右平移2个单位长度，所以关于对称，为偶函数．又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增．易知函数在上单调递增，又，所以是上的奇函数．对于A，由于，所以为偶函数，其函数图像关于轴对称，故A正确；对于B，，所以为偶函数，易知不恒成立，所以的图像不关于原点对称，故B错误；对于C，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且为偶函数，由恒成立，得恒成立，又，所以，解得，故C错误；对于D，令，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，即，即，所以，所以，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正数满足，则的最小值为_____．【答案】【解析】（当且仅当，即，时取等号），，（当且仅当，时取等号），即的最小值为.13.用铁水灌注上、下底面的边长分别为和的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为，则所需铁水的体积为_____．（灌注过程中铁水无额外损耗）【答案】【解析】如图，在正四棱台中，，，，，分别为侧面上的高以及棱台的高，则，，在等腰梯形中，，等腰梯形中，过作，垂足为，则，所以，所以该正四棱台的体积为，即所需铁水的体积为．14.设，且，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】，令，则，且，所以，因为是上的减函数，所以，即．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．（1）证明：，，，四点共面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．解：（1）如图，取的中点，连接，，则，在正方体中，，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．（2）如图，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，，，则点在上．不妨设正方体的棱长为，则，，，，所以是的中点，所以，，所以是平面与平面的夹角．因为平面平面，所以，所以．16.如图，在平面四边形中，，，，．（1）求四边形的周长；（2）求四边形的面积．解：（1）因为，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四边形的周长为；（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以四边形的面积为．17.已知首项为1的正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列bn的前项和为，证明：．解：（1）因为，，且，所以，解得，当时，由，可得，两式相减可得，所以，因为，所以，且，所以是首项和公差均为1的等差数列，即有．（2），所以，两式相减得，所以，因为，所以．18.已知函数．（1）证明：的图象与轴相切；（2）设．（i）当时，求函数的单调区间；（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）的定义域为0,+∞，所以，令，解得，当时，f'x>0，单调递增；当时，f'x<0又f1=0，所以曲线在1,f1处的切线方程为，即的图象与轴相切．（2）（i），．当时，由，解得或；由，解得，所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减；当时，由，解得或；由，解得，所以函数在和