高考文科数学一轮复习(配北师版)第3章-导数及其应用-第2节-第1课时-利用导数研究函数的单调性

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第1课时利用导数研究函数的单调性第三章第二节2023内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.4.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.不含参函数的单调性2.含参函数的单调性3.根据函数的单调性求参数4.函数单调性的应用5.利用导数求函数的极值6.利用导数求函数的最值7.利用导数解决实际问题1.数学运算2.逻辑推理3.数学抽象强基础增分策略函数的单调性与导数的关系(1)导数到单调性条件恒有结论函数f(x)在某个区间内可导f'(x)>0函数y=f(x)在这个区间上

f'(x)<0函数y=f(x)在这个区间上

f'(x)=0函数y=f(x)在这个区间上是

微点拨讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.是增加的

是减少的常数函数

(2)单调性到导数

必须是“≥”或“≤”,不能漏掉“=”①可导函数f(x)在[a,b]上是增加的,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.②可导函数f(x)在[a,b]上是减少的,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.微点拨若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号.微思考“f'(x)>0在(a,b)内恒成立”是“f(x)在区间(a,b)内是递增的”的什么条件?常用结论可导函数f(x)在(a,b)上是递增(减)的的充要条件是任意x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.提示:充分不必要条件.“f'(x)>0在(a,b)内恒成立”,则“f(x)在区间(a,b)内是增加的”;反过来,若“f(x)在区间(a,b)内是增加的”,需“f'(x)≥0在(a,b)内恒成立”.增素能精准突破考点一不含参函数的单调性典例突破例1.(1)已知函数f(x)=xlnx,则f(x)(

)A.在(0,+∞)上是递增的B.在(0,+∞)上是递减的(2)若幂函数f(x)的图像过点,则函数g(x)=exf(x)的递减区间为

.

答案:(1)D

(2)(-2,0)

解析:(1)因为函数f(x)=xln

x的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=ln

x+1(x>0),所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g'(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令g'(x)<0,得-2<x<0,故函数g(x)的递减区间为(-2,0).突破技巧利用导数求函数单调区间的3种方法

导函数不等式可解时解不等式f'(x)>0或f'(x)<0求出单调区间方程f'(x)=0可解时解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间f'(x)的符号,从而确定单调区间导函数的方程、不等式都不可解时根据f'(x)的结构特征,利用其图像与性质确定f'(x)的符号,从而确定单调区间对点训练1(2021河南郑州三模)函数f(x)=

的递增区间是

;递减区间是

.

答案:(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z

(2kπ,π+2kπ),k∈Z

令f'(x)>0,则2sin

x<0,解得π+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z,令f'(x)<0,则2sin

x>0,得2kπ<x<π+2kπ,k∈Z,所以f(x)的递增区间是(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z,递减区间是(2kπ,π+2kπ),k∈Z.考点二含参的函数的单调性典例突破例2.(2021山东历城二中月考)已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.突破技巧对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:1.求导后,考虑f'(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;2.求导后,f'(x)=0有实数根,但不清楚f'(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;3.求导后,f'(x)=0有实数根,f'(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.对点训练2已知函数f(x)=-x+alnx,讨论f(x)的单调性.考点三根据函数的单调性求参数典例突破例3.若函数h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在[1,4]上是递减的,则a的取值范围为

.

变式引申1若本例条件变为“函数h(x)在[1,4]上是递增的”,则a的取值范围为

.

答案:(-∞,-1]

解析:因为h(x)在[1,4]上是递增的,

所以当x∈[1,4]时,h'(x)≥0恒成立,所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1].变式引申3若本例条件变为“函数h(x)在[1,4]上不单调”,则a的取值范围为

.

答案:(-1,0)∪(0,+∞)

解析:因为h(x)在[1,4]上存在递减区间,所以h'(x)<0在[1,4]上有解,所以a>-1.又因为a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

变式引申3若本例条件变为“函数h(x)在[1,4]上不单调”,则a的取值范围为

.

突破技巧利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.方法一:转化为“f'(x)>0(<0)在区间D上有解”;方法二:转化为“存在区间D的一个子区间使f'(x)>0(或f'(x)<0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上是递增(减)的.方法一:转化为“f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.A.[2,5] B.(-∞,5)C.(3,5) D.(1,2]答案:(1)C

(2)A

(2)∵函数f(x)在R上为增函数,∴当x<1时,有a>1;令g(x)=2x3+ax-4,x∈[1,+∞),则g'(x)=6x2+a,∵a>0,∴g'(x)>0,即g(x)在[1,+∞)上是递增的,∴g(x)≥g(1)=2+a-4=a-2,要使当x≥1时f'(x)≥0恒成立,则a-2≥0,解得a≥2.∵函数f(x)在R上为增函数,考点四导数在研究函数单调性中的应用(多考向探究)考向1.比较大小典例突破A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a答案:D

解析:因为log32=log278,log53=log259,由对数函数的单调性可知log278<log259,所以log32<log53,且0<log32<log53<1.则当x∈(0,1)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是递增的;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上是递减的.因为0<log32<log53<1,所以f(log32)<f(log53)<f(1),即c>b>a.突破技巧利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件中的函数或者构造辅助函数,把比较大小的问题转化为利用导数研究函数的单调性,根据单调性比较大小的问题.A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a答案:C

考向2.解不等式典例突破例5.(2021山东潍坊一中高三月考)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(0)=,则不等式f(x)-ex<0的解集为

.

答案:(0,+∞)

解题心得1.类似于比较大小,解不等式问题也利用题目条件或构造辅助函数,把问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.2.与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘题目中条件关系,恰当构造函数.题目中若存在f(x)与f'(x)的关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.对点训练5(2021云南昆明一中模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+sinx,若f(t)+f(1-3t)

<0,则实数t的取值范围是(

)答案:A

解析:因为函数f(x)=ex-e-x+sin

x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex+sin(-x)=e-x