12-2证明2022-2023学年七年级数学下册(苏科版)(原卷版)

12.2证明证明根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.常见的基本事实(1)两点确定一条直线；(2)两点之间线段最短；(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行；题型1：说理1．（1）先观察，再判断：图①中间的图形是正方形吗？用工具检验一下．（2）请把图②中每一行从左边第一个正方形开始，逢奇数个的正方形涂黑，再判断原来的直线有怎样的变化．【变式1-1】有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜子的布质、大小完全相同，而每对袜子都有一张商标纸连着．两位盲人不小心将八对袜子混在了一起，他们两人怎样才能取回各自的黑袜和白袜呢？【变式1-2】某校为庆祝建校20周年，组织全校教师进行一次乒乓球比赛，评委甲、乙、丙对较有实力的A、B、C、D四位教师的排名情况做出预测，甲：A第一，B第三；乙：C第一，D第四；丙：D第二，A第三．比赛结束后，三个评委都没有猜中，但都猜对一半，到底A、B、C、D四位教师的排名是如何呢？你是怎么判断出来的？题型2：与平行线有关的证明2.请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AC∥DF，直线AF分别与直线BD、CE相交于点G、H，∠1＝∠2，求证：∠C＝∠D．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠DGH（），∴∠2＝∠DGH（），∴∥（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝（两直线平行，同位角相等），又∵AC∥DF（已知），∴∠D＝∠ABG（），∴∠C＝∠D（等量代换）．【变式2-1】完成下面证明．已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠2＝∠3（），∴∠1＝∠3（等量代换）．∴BD∥（同位角相等，两直线平行）．∴∠C＝∠ABD（）．∵∠A＝∠F（已知），∴AC∥DF（）．∴∠D＝（两直线平行，内错角相等）．∴∠C＝∠D（等量代换）．【变式2-2】推理填空：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AD是∠CAB的角平分线，若∠3＝∠1，∠2＝50°，求∠4的度数．解：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠1＝∠5．（角平分线的定义）∵∠3＝∠1，（已知）∴∠3＝．（）∴CD∥AB．（）∴∠4＝∠2．（）∵∠2＝50°，（）∴∠4＝50°．（）题型3：与三角形内角和定理有关的证明3.1．如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，AD与BC相交于点O，AP交BC于点F、BP交AD于E．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系，直接写出结果．【变式3-1】在△ABC中，（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．①若∠A＝64°，求∠BPC的度数．②若∠A＝n°，则∠BPC＝．（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．请回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？并说明理由．【变式3-2】探究题（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝；（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝70°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=14∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，则∠M+∠题型4：综合证明4.1．（1）如图①，∠MON＝70°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数；若发生变化，求出变化范围．（2）如图②，两条相交的直线OX、OY，且∠XOY＝n°，在射线OX、OY上分别任取A、B两点，作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，求∠C的大小（用n表示）．【变式4-1】如图，直线MN∥OB，直角三角板CDE的顶点C，D分别在直线OB，MN上，且∠CED＝90°，∠DCE＝60°，设∠AOB＝α（0°＜α＜90°）．（1）如图1，若CE∥OA，∠MDC＝110°，求α的度数．（2）若∠MDC的平分线DF交OB于点F．①如图2，当CE∥OA，且∠MDC＝120°时，试说明DF∥OA．②如图3，当CE∥OA保持不变时，试求出∠DFC与α之间的数量关系．【变式4-2】如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）若∠A＝40°，则∠CBD＝；（直接写出答案）（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）当∠A＝2∠ABC，4∠BCM＝3∠BDC，求∠A的度数．一．选择题（共6小题）1．某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在一次数学活动上，老师将1﹣10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上．老师先将卡片打乱这些卡片，然后随机给甲、乙、丙、丁、戊五位同学每人发两张卡片，五位同学分别把两张卡片上的数字之和写黑板上为：甲：7、乙：12、丙：17、丁：3、戊：16，根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和53．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A4．为了做好我市新冠肺炎疫情防控“外防输入，内防反弹”的工作，长沙市疾控中心对三位有可能与新冠肺炎患者密接的市民甲、乙、丙进行调查，三位市民有如下对话：甲说：我密接了，需要隔离；乙说：我肯定没有密接，请让我回去工作；丙说：甲没有密接，不要被他骗了；若这三人中只有一人说的是真话且只有一名密接者，请你判断谁是真正密接的人（）A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断5．某校六年级四个班准备举行篮球友谊赛，甲、乙、丙三位同学预测比赛结果如下：甲说：“703班得亚军，701班得第四”；乙说：“702班得冠军，704班得第三”；丙说：“704班得冠军，703班得第三”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的班级是（）A．701班 B．702班 C．703班 D．704班6．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分 B．第二名的总分可能超过18分 C．第三名的总分共有3种情形 D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名二．填空题（共5小题）7．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是．8．4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是．9．地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲；乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；丙：1号是亚洲，5号是非洲；丁：4号码是非洲，3号是大洋洲；戊：2号码是欧洲，5号是美洲；地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，4号代表洲．10．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是．11．甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．则小强已经赛了盘．三．解答题（共5小题）12．学校的教学大楼大厅里有甲、乙两盏变色的灯，细心的丽丽发现甲灯每隔1分钟改变一次颜色，乙灯每隔1分半改变一次颜色，两灯同时从红色开始亮灯，变色顺序如下：甲的变色顺序：红→紫→蓝→黄→绿→红；乙的变色顺序：红→紫→蓝→白→红；你能帮助丽丽算出几分钟后，两灯第一次同时变成蓝色吗？13．用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．（1）试写出四个符合上述条件的六位数；（2）请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？14．妈妈要榨果汁，她有苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为9：7：6，小明发现妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为6：3：4，且榨果汁时妈妈没有使用雪梨，小明根据他的发现利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子，妈妈告诉小明，他的判断完全正确．请你尝试写出小明的推断过程．15．如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF所在直线折叠，使得点C，D的对应点分别为点N，M，NF交AE于点G，过点