第04讲-数列的通项公式(练习)(解析版)

第04讲数列的通项公式（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解析】由题意，，，两式相减，得，．，．当时，，，是首项为1，公差为1的等差数列．．故选：B2．（2023·北京朝阳·二模）已知数列的前n项和是，则（

）A．9 B．16 C．31 D．33【答案】B【解析】设数列的前n项和为，则，则.故选:B.3．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，，，，3，，…，，…，则7是这个数列的（

）A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项【答案】C【解析】因为数列的第项为，而，所以7是题中数列的第25项．故选：C4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以，因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，所以．故选：D5．（2023·山西·校联考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由相邻层球的个数差，可知，，所以当时，，将代入得，符合所以，对于A项，当时，，故A项错误；对于B项，当时，，故B项错误；对于C项，因为，所以，，所以，故C项错误；对于D项，，故D项正确.故选：D.6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，若满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，，得，当时，，，，，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，.故选：C7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．16 C． D．32【答案】D【解析】，数列是首项为、公比为2的等比数列，，解得或（舍），，即恒成立，，当且仅当即时取等号，.故选：.8．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在数列中，，则的前项和的最大值为（

）A．64 B．53 C．42 D．25【答案】B【解析】由,得,令,所以,则,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即,即,由,将以上个等式两边相加得,所以,经检验满足上式，故当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,因为,所以的前项和的最大值为，故选：B9．（多选题）（2023·广东韶关·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，6是偶数，则，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，，D错误.故选：BC.10．（多选题）（2023·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由题意得，，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，得，故B正确；有，故C正确；由，得，故D正确.故选：BCD.11．（多选题）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（

）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列不是递增数列D．数列为递增数列【答案】CD【解析】，则，即，故是首项为，公差为的等差数列，故，即，，.对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，，故数列不是递增数列，正确；对选项D：，故数列为递增数列，正确；故选：CD.12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设是数列的前项和．下面几个条件中，能推出是等差数列的为（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】ABD【解析】对于A，当时，且，两式相减可得，即．所以是恒为0的数列，即是公差为0的等差数列，故A正确；对于B，当时，且，两式相减可得，即，所以，即是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；对于C，如果，令可得，当时，且，两式相减可得，如果，则，这并不能推出是等差数列，例如：考虑如下定义的数列：1，1，2，2，3，3，，则其通项公式可写成，．则，．即数列1，1，2，2，3，3，满足对任意正整数成立，但它并不是等差数列，故C错误；对于D，当时，且，两式相减可得，所以，即，故，即是公差为的等差数列，故D正确；故选：ABD．13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列的前n项和为，且，则“”是“”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）【答案】充分不必要【解析】当时，，当时，，当时，，因为满足上式，所以，所以，，所以成立，由可得，，，所以此时满足，但不一定，所以“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要14．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】，两边同除得：，所以，即，化简得，∵，∴．故答案为：.15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】由题意…①，，…②，②①得：，则当时，，当，不适合上式.

；故答案为：.16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列的前n项和满足，则．【答案】【解析】数列的前n项和满足，即，当时，，即有，当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：17．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若数列的前项的和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)求的值.【解析】（1）因为，且，，所以，解得，所以，当时，所以，即，当时也成立，所以；（2）由（1）可得，所以.18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明.【解析】（1）因为，即，所以当时，，将以上各式相加，得，则，当时也符合上式，故.（2）由题意.所以19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）因为，当时，，当时，，所以，即，又因为，满足上式，所以是以为首项，为公比的等比数列，则.（2）因为，所以.20．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.【解析】（1）取，则，，因为，所以，所以数列是“递增数列”.（2）当时，，因为数列为“速增数列”，所以，且，所以，即，当时，，当时，，故正整数的最大值为63.21．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列的通项公式；(2)设数列，求出数列的前项和．【解析】（1）当时，，得，当时，，所以，所以，即，因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，则，（2）由（1）知，，，所以，所以，，所以，所以，化简得.22．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为.(1)若，，证明：；(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证【解析】（1）因为，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，，当时，，，当时，满足上式，所以，所以成立.（2）由（1）知，，所以，则，所以，所以成立.1．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．【解析】（1）设等差数列的公差为，，为的前项和，，，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，，，当为偶数时，，，，当为奇数时，，，，故原式得证．2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．【解析】（1），，根据题意可得，，，又，解得，，，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，①当，，时，则，，，又，解得；②当，，时，则，，，又，此时无解，综合可得．3．（2023•全国）已知为等比数列，其前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．【解析】（1）为等比数列，其前项和为，，．，，则，两式作商得，即，得，，则，．（2），当时，，即是公比为的等比数列，首项，则．4．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当时，，②，①②得：，故，化简得：，，，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以．5．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．（1）求与的通项公式；（2）设的前项和为，求证：；【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，，．（2）证明：，要证明，即证明，即证明，即证明，由数列的通项公式和前项和的关系得：，．6．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前项和．证明：．【解析】（1），，成等差数列，，是首项为1的等比数列，设其公比为，则，，，．（2）证明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．7．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．根据等差数列的性质，，故，根据可得，整理得，可得不合题意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，当或时，成立，由于为正整数，故的最小正值为7．8．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和．【解析】（1）因为，，所以，，，所以，，，，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以．另由题意可得，，其中，，于是，．（2）由（1）可得，，则，，当时，也适合上式，所以，，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为．9．（2021•乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式．【解析】（1）证明：当时，，由，解得，当时，，代入，消去，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．（2）由题意，得，由（1），可得，由，可得，当时，，显然不满足该式，所以．10．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ