备战2024高考一轮复习数学(理)-第五章-平面向量、复数-第二节-平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝

.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

．不共线基底λ1e1＋λ2e22．平面向量的坐标运算(1)平面向量运算的坐标表示(2)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b共线的充要条件为_____________.x1y2－x2y1＝01．已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝

(

)A．(1,2) B．(－1，－2)C．(－1,2) D．(1，－2)答案：B4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.[一“点”就过]利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．[方法技巧](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．

[解析]

(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4,2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，∴2m＋4＝0，解得m＝－2，故选A.[方法技巧]平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(忽视两向量作为基底的条件)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为

(

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0解析：当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a与b共线．答案：D

2．(忽视向量共线的充要条件)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，故a∥b；若a∥b，则－m2－(－9)×1＝0，解得m＝3或m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：A

4．(结合新定义问题)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标