浙江省温州市兴港高级中学高中数学213空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2

空间中直线与直线之间的位置关系2同一平面内，平行于第三条直线的两条直线互相平行公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行ABCDA1B1C1D1异面直线所成的角在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO(2)问题提出(1)复习回顾NEXTBACK(3)解决问题异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:

这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?NEXTBACK异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥ba

″㈡：在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中这一结论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．观察:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABDNEXTBACK例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。解题思想：∵EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。AB

DEFGHC变式一：

在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?

EHFGABCD分析：在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形变式二：

空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形ABCD为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。练习:

如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：。证明：连结分别交

于,连结,∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,∴MN//BD,又∵

∴

GH//MN,由公理4知GH//BD.

例2:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.练习;在正方体ABCD—A1B1C1D1中，练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；2、与直线BB1垂直的棱有多少条？指出下列各对线段所成的角：1）AB与CC1；2）A1B1与AC；3）A1B与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与CC1所成的角=90°2）A1B1与AC所成的角=45°3）A1B与D1B1所成的角=60°2）与棱BB1垂直的棱有：ABCDA1B1C1D1AD、A1D1、DC、D1C1、A1B1、AB、B1C1、BC、相交：异面：垂直相交垂直异面垂直B1CC1ABDA1D11）直线AD1与B1C所成的夹角=90°ABGFHEDC练习

如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求

(1)BE与CG所成的角？

(2)FO与BD所成的角？

解:

(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooNEXTBACKO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△NEXTBACK

求异面直线所成的角的步骤是:

一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角

如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oNEXTBACK练习ABGFHEDC2DABCFEG思考题如图，正四面体A-BCD中,E、F分别是边AD、BC的中点，求异面直线EF与AC所成的角？∴

EGF中,有EG2+EF2=EF2,∴EGF为等腰直角三角形.∴∠GEF=450为异面直线EF与AC所成的角.思考:对棱AC与BD所成的角为多少度?注正四面体的对棱互相垂直解：取BC中点G，连接EG则EG∥AC,∴∠GEF(或其补角)为异面直线EF与AC所成的角,连FG,设正四面体的棱长为2,则EG=FG=1,连接AF,DF则

AFD中,AF=DF=又E为AD中点,∴FE⊥AD,RtAEF中,得EF=NEXTBACK不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线

平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结NEXTBACK公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角作业：P56：4,61．空间两直线平行是指它们（）

A．无交点B．共面且无交点

C．和同一条直线垂直D．以上都不对练习

2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角（）

A．相等B．互补

C．相等或互补D．既不相等也不互补3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（）

A．相交B．异面

C．相交或异面或平行D．相交或异面BCD4．如图，

是长方体的一条棱，这个长方体中与异面的棱共有（）

A．3条B．4条C．5条D．6条B5．两条异面直线是指（

）

A．空间两条没有公共点的直线

B．平面内一直线与这个平面外的一直线

C．分别在两个平面内的两条直线

D．不同在任何一个平面内的两条直线D6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCDO9007.在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600