重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题

重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在（）A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内2．已知a,b是空间中的两条直线，则a,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知集合A={1,3},A．a=1 B．a=3 C．1<a<3 D．1⩽a⩽34．若函数f(x)=sin(2x−φ)(0≤φ<π)在(0A．π12 B．π6 C．π45．已知等比数列{an}满足：a2n=an2，且A．32 B．2 C．1 D．−16．有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（）A．10种 B．12种 C．15种 D．20种7．已知圆O:x2+y2=3,P是圆O外一点，过点PA．6 B．3 C．23 D．8．设函数f(x)=ln(x−2)，点A(x1,f(x1))A．(0,12) B．(0,1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9．已知函数f(x)=ax+A．f(x)是奇函数 B．f(2x)=C．f(x)的值域是[2,+∞) D．f(x)在10．英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入Y，国民消费C和国民投资I，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：Y=C+IC=a0+aY.其中常数A．若固定I且I⩾0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大B．若固定Y且Y⩾0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高C．若a=4D．若a=−4511．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1A．若NF1⊥NF2，则e=2C．落|NF2|=2|MF2|，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为96%，平台二有2万人给出评分，综合好评率为93%，则这家体育器材店的总体综合好评率为.13．将一个半径为32cm的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为1cm和2cm，则它的高为14．记正项数列{an}的前n项和为Sn，若Sn四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．如图，直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，（1）证明：平面D1EF//（2）已知AA1=AD=DC=1,∠DAB=616．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,（1）若AE⊥BC于点E，求AE的长；（2）若D为边BC的中点，∠BAD=π4，求17．某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：x1234567y613254073110201根据散点图判断，在推广期内，支付的人数y关于天数x的回归方程适合用y=c⋅d（1）求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（lgc,（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式云闪付会员卡其它支付方式比例30%30%40%商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为13，享8折的概率为16，享9折的概率为12.设顾客购买标价为a元的商品支付的费用为X，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出X参考数据：设vi参考公式：对于一组数据(u1,v118．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点F2，与椭圆C交于D,E两点，当△DE19．已知函数f(x)=x（1）求f(x)的单调区间；（2）当0<x<1时，f(x)>ax−1+a（3）已知数列{an}满足：a1=

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因为复数z=(所以2−a=0,a=2，即所以复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2从而位置在第一象限.故选：A.【分析】由题意结合纯虚数的概念可得出a，根据复数的几何意义即可求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：a，b是空间中的两条直线，a,b没有交点可推得a//b或a//b，则∴a,b没有交点是故答案为：B．【分析】利用异面直线的概念可得a,b没有交点可推得a//b或3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，B=∵A∪B=B，集合A={1,所以A是B的子集，∴A⊆B,∴所以B正确，故选：B.【分析】根据题意先化简求解出集合B，再结合集合间的基本关系和题干中的条件A⊆B，即可列出不等式组，然后求出a的值即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：令2kπ−π2≤2x−φ≤2kπ+解得kπ−π4+由于f(x)所以kπ−π即−kπ+π12≤因为0≤φ<π，所以当k=0时，φ的最小值为π6故答案为：B．【分析】先利用正弦型函数的图象和性质可求出f(x)的单调递增区间，再根据f(x)在5．【答案】D【解析】【解答】解：由等比数列{an}得，a因为a2n=an2，所以a因为−a2是a1与a3的等差中项，所以化简得q2+2q+1=0，解得q=−1，则所以a5故答案为：D．【分析】根据a2n=an2，利用等比数列的通项公式可求出a1=q，再根据−6．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可知，从6人当中任选3人，共有C6其中有全选男性和全选学生，有C33+故选：C.【分析】利用间接法，由题干条件先求出从6人中任选3人的种数，再去除全选男性和全选学生这种情况的种数.7．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知，|PA则可得PA⋅PA⋅设<PA,PB又因为|AP所以3ta即tan又因为tanθ>0所以tanθ=从而θ=π所以|OP故选：C.【分析】根据平面向量数量积的定义，由三角恒等变换及圆的性质即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：不等式lna−即证lna令t=ab(t>1)，设g(t)=2可得g(t)在(1,+∞)上单调递减，所以所以lnab<因为kAB=ln(因为2<x1<所以kAB由1x1+即2(t1+2+所以0<ln故答案为：A.【分析】先利用导函数证明不等式lna−lnba−b<1ab(a>b>0)成立，再设kAB=ln(x29．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为f(因为f(−x)=a又因为f(所以B正确；由均值不等式可得，f(x)=ax+又因为当a>1,则f'故f(x)当0<a<1时，同理可得，f(x)在x<0故选：BCD.【分析】根据函数奇偶性的概念可以判断A；根据指数的运算性质可以判断B；根据指数函数性质及均值不等式可以判断C；根据导数与单调性的关系可以判断D.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A，由Y=C+IC=a0所以a=1−I+若固定I且I⩾0，由a0>0，则国民收入Y越高，“边际消费倾向a”越大，选项对于B，因为I=Y−C=Y−a0−aY=(1−a)Y−a0，因为a⩽1，所以1−a⩾0，固定Y对于C,a=45时，所以收入增长量ΔY是投资增长量ΔI的5倍，选项C正确；对于D,a=−4所以Y=5故选：AC.【分析】本题利用函数的性质，结合选项中的问题进行分析，逐项判断正确与否就行.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：根据题意，如图所示：

双曲线渐近线方程为：l1:则直线l与l1从而∠NOF2则cos∠NF联立bx+ay−bc=0bx−ay=0，可得A：F1则有−3c2B：由MF1⊥M又|MF1|−|MF2C：由|NF2|=2|MF2|，则所以有9c所以e=2D：由|MF解得|MF2|=由|MF1|≥5|M解得2a2≥故答案为：AC【分析】利用渐近线性质可推出cos∠NF2O=ac,sin∠NF2O=bc，将直线l与l2进行联立，可求出点N坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算结果为0，可推出a,c齐次式，据此可求出e，判断A选项；在Rt△F1MF2中，利用直角三角形的性质可求出|MF12．【答案】94%​​​​​​​【解析】【解答】解：由题意可知，有1万人给出评分时综合好评率为96%，平台二有2万人给出评分时综合好评率为93%，所以体育器材店的总体综合好评率为1×96%故答案为：94%【分析】根据题意，把数据代入公式计算可得答案见解析.13．【答案】27π【解析】【解答】解：根据题意可得，球的半径为32球的体积为V1=设铁锭的高为h，则正四棱台的体积为V2=又V1=V故答案为：2714【分析】把数据代入球和正四棱台的体积公式直接计算即可.14．【答案】5123（或【解析】【解答】解：由题意知，当n=1时，a1解得a1=1或当n≥2时，an∴∴(∴(数列{an∴an−∴{a∴令Sn=t令f(t)易知f(t)在(f(t)min=f所以Sn2+128S当Sn=6时，Sn2+故最小值为1553故答案为：1553【分析】根据数列的递推关系可以求出an，然后再求出S15．【答案】（1）证明：在△ABD中，E,F分别为AB,而EF⊄平面C1BD,BD⊂平面C1又DC//AB,于是EB//D1C1且EB=又D1E⊄平面C1BD,C1而EF,D1E为平面D1（2）解：在△ABD中，AD=1,AB=2DC=2,在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD,则E(FE=设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z)则cos〈D所以直线DC1与平面A1【解析】【分析】本题考查平面与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.

（1）利用三角形中位线定理可推出EF//BD，利用直线与平面平行的判定定理可证明EF//平面C1BD，根据已知条件可证明四边形BC1（2）利用勾股定理可证明BD=3,AD⊥BD，以D为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，写出对应向量，求出平面A1EF16．【答案】（1）解：由b2+c由sinA=2sinBsinC及正弦定理，有a=2bsinC，所以△ABC的面积S=1从而12（2）解：在△ABD中，由正弦定理，有ADsinB=BD因为△ABD的面积S△ABD所以2sinBsin(sin解得cosB=0或sinB=cosB，所以B=π2或【解析】【分析】(1)由三角形的正弦定理、余弦定理的边角互化，结合三角形面积公式即可求解；(2)根据正弦定理得AD=2sinB.代入△ABD面积公式可得17．【答案】（1）解：由y=c⋅dx，得lgy=lgc+lgd⋅x，设v=lgy，b=lgd，ax=4lgd=b把样本中心点(4,1.所以v=0.24x+0其回归方程为y=1当x=8时，y=1（2）解：X的可能取值为：0.P(X=0P(X=0分布列如下：X000aP0.10.350.150.4所以，购物的平均费用为：E(X)=0.【解析】【分析】本题考查线性回归方程，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望.

（1）由y=c⋅dx两边取常用对数，利用换元法转化为线性归回直线方程v=a+b⋅x，再求出x,（2）先求出X的可能取值，再利用相互独立事件的概率计算公式可求出变量X对应的概率，据此可列出概率分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望.18．【答案】（1）解：A(−a,0),B(a,又y0由题意，|PF1|+|PF2所以椭圆C的方程为x2（2）解：设直线l:x=ty+1，联立x2设D(x1,|F1E|=52+t△DEF1面积设△DEF1外接圆半径为由正弦定理，有2R==令1+t2=m令y=9x3因为21所以y'=27从而当m=1，即t=0时，R取最小值，即△DEF此时直线l的方程为：x=1.【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义知△PF1F2的周长为2a+2c，得a+c=3，再由直线PA，PB的斜率之积可得a，b的值即可求出椭圆的方程，19．【答案】（1）解：f(x)的定义域为(−∞,令φ(x)=ln(2−x)+x2−x，则当x<0时，φ'(x)<0；当x∈(0,所以φ(