2024-2025学年江苏省南京市高二上学期中德班期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期中德班期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线与垂直，则（）A.0 B.1 C.2 D.2．设双曲线，的离心率分别为，.若，则（）A. B.2 C.4 D.83．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（）.A． B．或C． D．或4．若点在圆：的外部，则的取值范围为（

）A． B．C． D．5．若方程表示圆，则实数a的取值范围是（

）A． B． C．. D．6．圆与圆的公切条数为（

）A．2条 B．1条 C．3条 D．4条7．已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（

）A．或 B． C． D．8．已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题）9．直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（）A．1 B．2 C．8 D．610．已知曲线，则（

）A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为C．的右焦点坐标为 D．的离心率为11．若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（

）A．0 B． C．2 D．三、填空题（本大题共3小题）12．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为.13．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是．14．已知经过点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的3倍，则直线的方程为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知三点，记的外接圆为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，求的面积.16．已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.(1)求圆的方程；(2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.17．已知直线过定点．(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．18．已知的圆心在x轴上，经过点和．(1)求的方程；(2)过点的直线l与交于A、B两点．（ⅰ）若，求直线l的方程；（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．19．已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上.(1)求C的方程；(2)若，求直线AB的方程；(3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值.

答案1．【正确答案】C【详解】因为，所以.2．【正确答案】B【详解】，，因为，所以，解得.3．【正确答案】D【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：；当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为.综上所述，双曲线的方程为或.故选：D4．【正确答案】D【分析】根据点与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件，即可求解.【详解】根据题意可得，解得或.故选D.5．【正确答案】A【详解】表示圆，则，解得.故选：A6．【正确答案】A【详解】由是以为圆心，3为半径的圆.，转换为，即该圆是以为圆心，4为半径的圆.所以圆心距，所以所以两圆相交，故公切线的条数为2，故选：A7．【正确答案】A【详解】由圆与圆的两方程相减可得：相交弦的直线方程为：，又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长，可得圆心到相交弦的距离为：，则由点到直线的距离公式可得：，化简得：，解得或.故选：A.8．【正确答案】A【详解】设，，则，.由得，所以.因为，所以.又因为，所以，，所以C的方程为.9．【正确答案】ABD【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得.已知，，根据直线斜率公式，可得.根据题意，直线与线段有交点，则.故选：ABD.10．【正确答案】BCD【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误.由椭圆的标准方程为，得，故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确.椭圆的离心率，故选项D正确．故选：BCD．11．【正确答案】BD【详解】直线恒过定点，由可得，如图，由解得或（舍去），即,由，可得,由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.故选：BD12．【正确答案】或【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得.【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，①若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，故直线方程为，即；②若，则直线方程为，代入可得，解得，故直线方程为.综上所述：所求直线方程为或.故或.13．【正确答案】【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，则实数的取值范围是，故14．【正确答案】【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，所以，故，所以过点的直线的方程为，即，故．15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设的一般方程为，由题意可知，解得，所以，故的标准方程为.（2）由（1）可知，，半径.则圆心到直线的距离为，所以，故的面积为..16．【正确答案】(1)(2)或.【详解】（1）设圆M的方程为，因为圆过点，所以，又因为圆心在直线上，所以②，直线与圆M相切，得到③，由①②③解得：因此圆的方程为（2）设，因为A为线段BD的中点，所以，因为在圆上，所以，解得或当时，由可知直线的方程为；当时，由可得斜率，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.17．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）因为直线恒过定点，若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．（2）设Mx,y，，则，得到，所以，又点在上，所以，整理得，故的轨迹方程为.18．【正确答案】(1)(2)①或；②.【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.（2）①当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，因为，则，此时，直线的方程为，即.19．【正确答案】(1)(2)(3)12【详解】（1）由题意可得，解得，故曲线的方程为，（2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，满足，所以直线的方程为，（3），，则分别在两支上，且都在的上方或的下方，不妨设都在的上方，又，则在第二象限，在第一象限，如图所示，延长交双曲线与点