广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题

广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知全集U=xx>0，集合A=xA．−∞,1∪C．−∞,1∪2．复数z=10A．−3−i B．−3+i C．3−i D．3+i3．在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λA．54 B．1 C．78 4．已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32A．6 B．112 C．92 5．一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）A．1:3:2 B．1:3:4 C．3:2:26．已知函数fxA．−∞,−1∪0 B．−∞,−17．函数fx=23sin2A．ω=1B．函数fx图象关于点πC．函数fx图象向右移φφ>0个单位后，图象关于y轴对称，则φD．若x∈0,π2，则函数8．若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈RA．−∞,−1 B．−∞,−1 C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设A，B为随机事件，且PA，PB是A，B发生的概率．A．若A，B互斥，则PB．若PABC．若A，B互斥，则A，B相互独立D．PABP10．设fxA．函数y=fx的图象与圆xB．存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数y=fxC．存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数y=fxD．存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=fx11．中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy中，到两定点F1−a,0，F2a,0距离之积为常数A．曲线C的图象关于原点对称B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3D．曲线C上有且仅有3个点P满足P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．直线y=ax−e与曲线C:y=xlnx相切，则a=13．已知点P在双曲线C:x264−y236=1上，F14．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是分2．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c其中m=a,b，n=（1）求sinA（2）若△ABC的外接圆半径为5，求△ABC面积的最大值．16．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥（1）证明：AD⊥BC；（2）求面ABC与面A117．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；（2）当t=2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．18．设函数fx=ln（1）试判断f'（2）证明：对任一x0∈0,1，有f19．对于数列an，若存在常数T，n0T,n0∈N*，使得对任意的正整数n≥n0，恒有an+T=an成立，则称数列an是从第n0项起的周期为T的周期数列．当（1）若对任意正整数n都有an≠1，请写出三个满足条件的（2）若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的a（3）证明：不论a1为何值，总存在m,n∈N*

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为U=xx>0，所以∁U故答案为：B.【分析】由已知条件结合补集的运算法则，从而得出集合∁U2．【答案】B【解析】【解答】解：z=10−3+i=10−3−i故答案为：B.【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，从而得出复数z的共轭复数.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题可知，AM=12所以，BM⃗=12BA⃗+12故答案为：C.【分析】利用向量共线定理和平面向量基本定理，从而得出λ，μ的值，进而得出λ+μ的值.4．【答案】D【解析】【解答】两点A−1,0，B0,3，则|AB|=(−1)2+32圆x−32+y2=1点C到直线AB:3x−y+3=0的距离d=12因此点P到直线AB距离的最小值为d−r=6所以△PAB面积的最小值是12故答案为：D

【分析】本题考查点与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式求出|AB|，再求出直线AB的方程，利用点到直线的距离可求出圆心C到直线AB:3x−y+3=0的距离，利用点与圆的位置关系可求出：点P到直线AB距离的最小值，即三角形的高的最小值，利用三角形的面积公式可求出面积的最小值5．【答案】C【解析】【解答】解：设该直角三角形的三条边长分别为1,3,2，设三角形斜边上的高为

则S=12×2⋅h=1由题意，设该3个几何体的体积为V1则V1V2V3∵V3<V1故答案为：C.【分析】设该直角三角形的三条边长分别为1,3,2，再利用三角形的面积公式出得出三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式和6．【答案】A【解析】【解答】解：设g(x)=2x,x≤0问题转化为g(x)与函数y=-a的图象没有交点，所以-a=0或-a>1，解得a=0或a<-1.故答案为：A.【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再将问题转化为g(x)=2x,x≤07．【答案】D【解析】【解答】解：由已知可得：f所以fx又因为ω>0，所以函数fx的最小正周期为π，由已知可知2π2ω=π所以fx因为2×π3+π3将函数图象向右移φφ>0个单位后可得函数y=−因为y=−sin2x−2φ+π所以φ=−kπ2−所以φ的最小值为5π12若0≤x≤π2，则所以−32≤所以，当x=π2时，函数fx故答案为：D.【分析】利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用正弦型函数的图象的对称性，则判断出选项B；利用正弦型函数的图象变换和函数图象的对称性，则由φ>0得出φ的最小值，则判断出选项C；利用x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出正弦型函数的最大值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.8．【答案】A【解析】【解答】解：法一：不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，

令fx=a故不等式bx+1≤e−x−ax2所以f0为fx的最大值点.，

显然，a≤0，否则x→+∞又因为f'x若b+1>0，存在区间s,t，是否0∈s,t且∀x∈s,t，总有这与f0为fx的最大值点矛盾，故同理b+1<0也不成立，故b+1=0，则b=−1，∴当a=0时，当x∈−∞,0时，f'x故fx在−∞,0上递增，0,+当a<0时，当x∈−∞,当x∈1−2aa,0故fx在−∞,1−2aa而当x<1−2aa时，故ax2−x+1<0即fx<0综上所述，a≤0,b=−1，因此a+b∈−法二：不等式ax2+bx+1令fx当a=0时，fx=ax2+bx+1=bx+1故只需直线fx=bx+1为gxb=g'0当a≠0时，fx亦恒过点0,1为使ax2+bx+1≤需fx=ax2+bx+1故a<0f'0综上所述，a+b的取值范围是a+b∈−故答案为：A.【分析】利用两种方法求解.

方法一：将原不等式转化为ax2+bx+1ex≤1对一切x∈R恒成立，设fx=a9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，

则PA∪B对于B：由相互独立事件的概念知，

若PAB对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，事件A与事件B互斥，但P(AB)=0，P(A)=P(B)=1所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；对于D：PAPB所以PABP故答案为：ABD.【分析】利用互斥事件加法概率公式，则可判断选项A；由相互独立事件的概念可判断选项B；由互斥事件和相互独立事件的概念，则可判断选项C；由条件概率公式化简，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，令f'x=3x2−3=3x+1当x∈−1,1时，f'x<0，

则函数fx在−又因为f−1=−1+3=2，f1=1−3=−2，

函数故函数y=fx的图象与圆x对于B、C，由于函数y=fx的图象关于坐标原点O过点O作直线交fx的图象于B、D过点O作BD的垂线交fx的图象于A、C则△ABD为等腰三角形，四边形ABCD为菱形，当线段BD绕点O转动时，△ABD仍为等腰三角形，四边形ABCD仍为菱形，故选项B、C均正确；对于D：由于f−x故要使得正方形存在，则△AOB为等腰直角三角形，显然，当B−1,2时，OB=5，点P2,1在函数图象外侧，

则OA<利用极限思想，当OB→0时，OA→3，此时OB<OA当OB→3时，OA→+∞，此时故至少存在两个正方形，故D错误.

故答案为：ABC.【分析】利用导数判断函数的单调性和特殊点画出函数y=fx的图象与圆x2+y2=1的图象，由图可知函数y=fx11．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A：P化简得到：x2将M3,0代入可得2所以曲线C:x把−x,−y代入x2+y所以，曲线C的图象关于原点对称，故A正确；对于B：令y=0解得x=0,x=±3，即：曲线经过0,0,结合图象，得出−3≤x≤3，今x=±1，得y2令x=±2，得1<y因此，结合图象曲线C只能经过3个整点0,0,对于C：x2+y所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d=x即都不超过3，故C正确；对于D：点P满足PF1=PF2，则设P0,yp，则a故只有原点满足，故D错误.故答案为：AC.【分析】根据题意求出轨迹C的方程，把−x,−y代入曲线C的方程，则可判断选项A；令y=0，x=±1,x=±2，从而得出y的取值范围，则可判断选项B；由曲线C的方程可得x2+y2=9x2−y212．【答案】2【解析】【解答】解：设切点坐标为t,tlnt，

由于y'所以曲线在t,tlnt处的切线方程为：y=ln所以t=e，a=ln故答案为：2.【分析】设切点坐标为t,tln13．【答案】25【解析】【解答】解：设P在双曲线右支上，则PF由余弦定理得cos=4所以PF又因为S=b所以36tan∠F1PF22=45因为PF又因为PF故PF故PF故答案为：25.【分析】设点P在双曲线右支上，由双曲线定义得到PF1−PF2=16，再由余弦定理和三角形面积公式，从而得到tan14．【答案】80；470【解析】【解答】解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为72×50+90×4050+40方差为50故答案为：80，4703【分析】利用平均数公式求出90名学生的平均成绩，再根据局部方差和整体方差的公式，从而得出甲、乙两班全部90名学生的方差.15．【答案】（1）解：由题意得，m⋅由正弦定理可知，sinA在△ABC中，因为A+B+C=π，sinA+B所以sinA即34因为A,B∈0,π，所以sin所以34sinA=cosA所以sinA=（2）解：由正弦定理得asin因为R=5，sinA=45，所以a=8由a2=b由基本不等式可知，64=b所以bc≤80，当且仅当b=c=45所以S△ABC所以△ABC面积的最大值为32.【解析】【分析】（1）由已知条件结合数量积的坐标表示和正弦定理，可得sinAcosB+34sinB（2）由正弦定理的性质和已知条件以及同角三角函数基本关系式，从而得出a的值和角A的余弦值，再结合余弦定理和均值不等式求最值的方法，则得出bc的最大值，再根据三角形的面积公式得出三角△ABC面积的最大值．（1）由题意得，m⋅由正弦定理可知，sinA在△ABC中，因为A+B+C=π，sinA+B所以sinA即34因为A,B∈0,π，所以sin所以34sinA=所以sinA=（2）由正弦定理asin因为R=5，sinA=45，所以a=8由a2=b由基本不等式可知，64=b所以bc≤80，当且仅当b=c=45所以S△ABC所以△ABC面积的最大值为32.16．【答案】（1）证明：因为三棱柱ABC−A1B故四边形ABB1A1为菱形，

又因为∠ABB故AD⊥AB，又因为侧面ABB1A1⊥底面ABC，

侧面ABB1所以AD⊥底面ABC，

又因为BC⊂底面ABC，

故AD⊥BC.（2）解：因为AB=AC=2，BC=22，故△ABC为直角三角形，故AB⊥AC分别以AB，AC，AD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A0,0,0，B2,0,0，由（1）可知，A1D=1，AD=AA12−则BA1由题意可知，平面ABC的一个法向量为AD设平面A1BC的一个法向量为则n⋅BA1=0n⋅CA则n=设面ABC与面A1BC夹角为θ，

则故tanθ=则面ABC与面A1BC夹角的正切值为【解析】【分析】（1）由三棱柱的结构特征和已知条件，从而判断出四边形ABB（2）利用已知条件和勾股定理证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，再由（1）和勾股定理得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ABC的一个法向量和平面A1BC的一个法向量，再由数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，进而得出面ABC与面（1）因为三棱柱ABC−A1B故四边形ABB1A1为菱形，又因∠ABB故AD⊥AB，又侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1所以AD⊥底面ABC，又BC⊂底面ABC，故AD⊥BC.（2）因AB=AC=2，BC=22，故△ABC故AB⊥AC，如图分别以AB，AC，AD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，B2,0,0，由（1）可知，A1D=1，AD=AA1则BA1由题意平面ABC的一个法向量为AD设平面A1BC的一个法向量为则n⋅BA1=0n⋅CA则n=设面ABC与面A1BC夹角为θ，则故tanθ=面ABC与面A1BC夹角的正切值为17．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为c，则c=22，故a因为点M22,故a2=12,b由y=x+tx2+3故Δ=36t2−163（2）解：当t=2时，直线l:y=x+2，如图所示：故A−2,0,B0,2，

由题设可得P,Q为位于直线AB的两侧，

不妨设Q在直线AB上方，P当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大；当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大，由（1）可得相切时，则Δ=0，所以t=±4当t=4时，切点的横坐标为−6t8=−3，

所以切点坐标为−3,1此时−3,1到AB的距离为−3−1+22当t=−4时，切点的横坐标为−6t8=3，

所以切点坐标为3,−1此时，点3,-1到直线AB的距离为3+1+22又因为|AB|=22故四边形PAQB面积的最大值为8.【解析】【分析】（1）根据焦距和椭圆中a，b，c三者的关系式，可得a2−b2=8，再根据点在椭圆上可得8（2）由题设可得，当过P,Q且与直线l平行的直线与椭圆相切时，面积之和最大，由（1）和直线与椭圆相切位置关系判断方法，再结合判别式法得出t的值，再利用分类讨论的方法得出切点坐标，从而判断出切点和直线AB的位置，再由点到直线的距离公式得出此时切点到直线AB的距离，再根据AB的长和四边形的面积公式，从而得出四边形PAQB面积的最大值.（1）设椭圆的半焦距为c，则c=22，故a而M22,故a2=12,b由y=x+tx2+3故Δ=36t2−163（2）当t=2时，直线l:y=x+2，故A−2,0由题设可得P,Q为位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方，当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大，当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大，由（1）可得相切时Δ=0即t=±4当t=4时，切点的横坐标为−6t8=−3，切点坐标为−3,1此时−3,1到AB的距离为−3−1+22当t=−4时，切点的横坐标为−6t8=3，切点坐标为3,−1此时3,-1到AB的距离为3+1+22又|AB|=2故四边形PAQB面积的最大值为8.18．【答案】（1）解：因为函数fx=ln则f'x=则g'因为x∈0,1，所以1−所以g'所以，f'x在（2）证明：令hx则hxh'又因为f'x在所以，当0<x<x0<1时，

f当0<x0<x<1时，

f当x=x0时，所以hx在x=x0即hx所以fx即fx则对任一x0∈0,1，有fx≥【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复合函数求导的方法，从而求出f'x=x2−1xx2（2）令hx=fx−f'x0x−x0+fx0，可得hx0=0，h'x=f（1）函数fx=ln则f'x=则g'因为x∈0,1，所以1−所以g'所以，f'x在（2）令hx则hxh'又因为f'x在所以当0<x<x0<1时，f当0<x0<x<1时，f当x=x0时，所以hx在x=x0即hx所以fx即fx则对任一x0∈0,1，有f19．【答案】（1）解：因为对任意整数n，都有an所以，取a1=2，则取a1=3，a2此时，数列an为常数列3取a1=4，a2取a1=5，a2=此时，数列an的通项公式为a取a1=6，a2a4此时，数列an的通项公式为a所以，满足条件的三个a1的值为3，5，6（2）解：取a1=1，a2此时数列an为常数列1取a1=2，则a2此时数列an的通项公式为a取a1=3，a2此时，数列an为常数列3取a1=4，a2=a此时数列an的通项公式为a取a1=5，a2=此时，数列an的通项公式为a取a1=6，a2a4此时，数列an的通项公式为a取a1=7，a3此时，数列an为常数列7根据上述计算得出猜想，当a1=2k−1下面进行验证：当a1=2a3=a此时数列an（3）证明：根据（2）的分析，发现当a1=2k−1k∈N∗时，数列an为常数列，也是纯周期数列2k−1k∈N∗，满足题意；

接下来证明，当a1≠2k−1k∈N∗时，也存在m,n使得an=2m−1，

因为1=21−1，所以只需要证明数列an中始终存在值为1的项即可，

当a1=2kk∈N∗时，显然存在值为1的项，

当a1∈2k,2k−1k∈N∗时，有a2=a12或a2=a1−12+2log2a1，

若a1为偶数，则a2=a12，

若a1为奇数时，

则a2=a1−12+2