广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题

广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合M={x|(x−1)(x+2)>0}，若M∩N=∅，则集合N可以为（）A．{x|−2<x<2} B．{x|−1≤x<2}C．{−2,1} 2．已知z1，z2为方程x2A．−101313 B．41313 3．已知0≤x<2π，则cos2x+A．0≤x<π3 B．π2≤x≤π C．4．已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C：y2=4xA．2 B．3 C．2 D．55．已知函数f(x)=5sin(3x+φ)，φ∈[−3,6]，若A．π4 B．π2 C．3π46．已知f(x)=x3+A．a+b<0 B．a+b>0 C．a−b<0 D．a−b>e7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ab+c+ba+c=1A．−23 B．−3 C．3 8．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=2，若对∀t∈R有f(1−tx)=f(9+tx)，f(tx+2)+f(tx−2)=f(9)成立，则n=176A．72 B．75 C．77 D．80二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．若函数y=f(x)的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线垂直，则称函数y=f(x)为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（）A．y=x2 B．y=ex C．10．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为4，A．AB．直线A1P与直线BCC．直线A1P与平面ABD．若C∈α，则正方体截平面α所得截面面积为2611．已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P(−1,t)在C的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A．M，F，N三点共线B．若PF=13PMC．当t=−1时，直线MN的方程为y=−D．△PMN面积的最小值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．(4x−3y)(2x+y)5的展开式中x313．如图，等边△ABC的边长为4，点D为边AB的中点，以CD为折痕把△ADC折叠，在折叠过程中当三棱锥A−BCD的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为.14．已知点F1，F2分别为双曲线x24−y25=1的左、右焦点，点A为C的右顶点，点P为C右支上的动点，记r1，r2分别为△P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．截至2月10日2时，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次，收视传播人次等数据创下新纪录.参考公式和数据：K2=nP(0.0250.0100.005k5.0246.6357.879（1）某媒体随机抽查200名在线用户，得到2×2列联表，根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关?完整观看未完整观看合计不超过30岁6040100超过30岁8020100合计14060200（2）某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动，每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会，三次回答正确就可以赢得文创奖品，第一题预设难度（预设难度：用户回答正确的概率）0.8，后两题预设难度0.6，且每道题回答正确与否互不影响.记X为每个参加答题的用户答对题目个数，求X的分布列及期望.16．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中有一八面体G−MNPQ−H，其中点G，H分别为正方形A1B1C1D1，正方形ABCD的中心，点M，N（1）证明：平面MHQ∥平面NGP；（2）求钝二面角G−NP−H的余弦值.17．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，S3=3，（1）求{a（2）若bn=an+3,n=2k18．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求C的方程；（2）如图，F1是C的左焦点，过F1的直线交圆O于点M，N，线段MN的垂直平分线交C于点P，Q，交MN于点（i）证明：四边形MPNQ的面积为定值.（ii）记△PAN，△MAQ的面积分别为S1，S2，求19．已知函数f(x)=lnx−x，（1）曲线y=f(x)与y=g(x)在x=x0处的切线分别是l1：y=θ(x)，l2，且（2）已知af(x)+g(x)+2a<0(a≠0).（i）求a的取值范围；（ii）设函数F(x)=f(x+a)+axg(x)+x+a(x>0)的最大值为M，比较M

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由x-1x+2>0，解得x<-2或x>1，则集合M={x|x<−2或x>1}，

因为M∩N=∅故答案为：C.【分析】解不等式求得集合M，再结合M∩N=∅，判断即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：方程x2−4x+13=0，△=-42-4×13=-36，

则方程的两虚根为z=且z1+z2=4故答案为：B.【分析】解方程求的两虚根z1，z3．【答案】A【解析】【解答】解：因为cos2x+cosx≥0所以(2cosx−1)(cosx+1)≥0，解得又因为0≤x<2π，所以0≤x≤π3或5π3≤x<2π或x=π，故故答案为：A.【分析】根据余弦的二倍角的公式化简可得(2cosx−1)(cos4．【答案】D【解析】【解答】解：设点M(y024,由S△MON=12×2y0×y024=2故答案为：D.【分析】设M(y024,y0)，5．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)+f(π2−x)=0所以f(π4)=5sin(3π4+φ)=0，即34π+φ=kπ，k∈z，即φ=kπ−34π，k∈Z且φ∈[−3,6]故答案为：C.【分析】根据正弦型函数的对称性即可求解所有符合条件的φ.6．【答案】A【解析】【解答】解：设g(x)=x3+因为函数y=(1π)x在R又因为y=x3，y=πx在R上单调递增，所以因为g(−x)=(−x)3+因为f(a)=g(a)+e，f(b)=g(b)+e，所以f(a)+f(b)=g(a)+g(所以g(a)<−g(b)=g(−b)，因为g(x)在R上单调递增，所以a<−b，即a+b<0.故答案为：A.【分析】设g(x)=x3+πx−(1π7．【答案】D【解析】【解答】解：因为ab+c+b在△ABC中，由余弦定理可得cosC=a2+b由余弦定理可得得b2−c所以ab−a2=12即3sin(B+π3)=2sinB故答案为：D.【分析】由题意，利用余弦定理求得C=π3，结合b28．【答案】C【解析】【解答】解：对∀t∈R有f(1−tx)=f(9+tx)，

令t=1，则f(1−x)=f(9+x)，用x-9代替x可得f(x)=f(10−x)，由∀t∈R有f(tx+2)+f(tx−2)=f(9)，令t=1，可得f(x+2)+f(x−2)=f(9)，故f(x+4)+f(x)=f(9)①，则f(x+8)+f(x+4)=f(9)，所以f(x)=f(x+8)，即函数f(x)是以8为周期的周期函数；所以f(9)=f(1)=2，f(x)=f(2−x)②，由①②得f(x+4)+f(2−x)=2③，令③中x=−1，则f(3)=1；令③中x=0，则f(4)+f(2)=2，由f(x+4)+f(x)=2，得f(5)+f(1)=2，而f(1)=2，则f(5)=0，且f(6)+f(2)=f(7)+f(3)=f(8)+f(4)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=8，所以76n=1f(n)=8×9+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=77．【分析】根据已知条件，推得f(x)=f(x+8)，即函数f(x)是以8为周期的周期函数，利用赋值法得到f(9)=f(1)=2，f(4)+f(2)=2，f(5)=0，f(6)+f(2)=2，f(7)+f(3)=2，f(8)+f(4)=2，最后根据周期求出76n=19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、函数y=x2定义域为R，y'=2x，存在x1B、函数y=ex定义域为R，y'=ex>0C、函数y=xlnx的定义域为0，+∞，y'=lnx+1，存在D、函数y=sinx定义域为R，y'=cosx，存在故答案为：ACD.【分析】由题意，求导判断导函数是否存在两个函数值乘积为-1判断即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C=A因为A1C2B、因为BC//B1C1//A1D1，所以C、因为平面ABB1A1∥平面CD所以直线A1P与平面ABB1A1所成角即为直线A1P与平面D、因为正方体的对面都是相互平行，且根据面面平行的性质定理可得，在AB边上作点Q使得BQ=3QA，则平行四边形A1在△A1PC所以sin∠A1所以平行四边形A1PCQ的面积为故答案为：BC.【分析】在△A11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、易知抛物线的焦点F0，p2，准线方程为y=-p2，因为点P(−1,t)在C的准线上，所以t=-p2，即P(−1,−p2)，由抛物线x2同理可得x2=p(p2−焦点F(0,B、x1，x2是方程x2+2x−p2=0又因为PF=13PM+2联立①②③解得p=22，故抛物线的方程为xC、当t=−1时，p=2，直线MN的方程为y=−1D、|MN|=1+1p24+4p2S△PMN=12|MN|d=(1+p所以函数f(t)在(0,12)单调递减，在故△PMN面积的最小值为33故答案为：ACD.【分析】设切点M(x1,y1)，N(x2,y2)，求导可得过M，N的切线方程，进而可得直线MN的方程即可判断A；联立方程组可得x1+x2=−2①，x1x212．【答案】-80【解析】【解答】解：二项式(2x+y)5展开式的通项为T则x3y3故答案为：−80.【分析】先写二项式(2x+y)5展开式的通项，利用通项即可求x13．【答案】20π【解析】【解答】解：由题意可知：CD⊥平面ADB，AD=BD=2，CD=23VA−BCD因为∠ADB∈(0,π)，所以当∠ADB=π将三棱锥A−BCD补成长方体，如图所示：则长方体的外接球直径为2R=D即三棱锥A−BCD的外接球半径R=5，故该棱锥的外接球的表面积为S=4故答案为：20π．【分析】由题意可知CD⊥平面ADB，计算三棱锥体积，再引入变量∠ADB，找到最大值解，得到的是一个直角四面体，将其补为长方体，求其外接球半径，即可得棱锥的外接球半径，再求其表面积即可.14．【答案】23+4【解析】【解答】解：因为|PF1|，|F1由双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2由对称性可设点P(x,y)，y>0，则5x2−4S△PAS△PA所以S△PAF1S△PAF2故答案为：23+419【分析】由题意，根据等差中项以及双曲线的定义求得|PF1|与|PF2|，以F2为圆心，以|PF215．【答案】（1）解：由2×2列联表求得K2因为9.524>7.879，所以有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关．（2）解：由题意，可知随机变量X的可能取值为0，1，2，3；P(X=0)=(1−0.P(X=1)=0.P(X=2)=0.P(X=3)=0.故X的分布列为：X0123P0.0320.2240.4560.288所以X的期望为：E(X)=0×0.【解析】【分析】（1）由2×2列联表得，计算K2（2）根据题意可知X可能取值为0，1，2，3，再分别求其对应概率，可得分布列，求数学期望即可.16．【答案】（1）证明：连接BD，B1D1则H，G分别为BD，B1因为Q，N分别为DD1，BB1的中点，所以QH∥D又因为QH⊂平面NGP，GN⊂平面NGP，所以QH∥平面NGP同理可证，MH∥平面NGP，又因为MH,QH⊂平面MHQ，MH∩QH=H，所以平面MHQ∥平面（2）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则H(12,12,0)，M(1,0NP=(−1设平面NPG的法向量为n=(x1,y1,z1)，则NP⋅设平面NPH的法向量为m=(x2,y2,z2)，则NP⋅故cosn,m=n【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行、面面平行的判定定理证明即可；（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值即可.17．【答案】（1）解：设数列{an}的首项为a因为S3=3，a2，a3，a6解得a1=−1d=2，所以数列{（2）解：由（1）得bn即数列{b奇数项是以12数列{b数列{bn}b1b2故Tn【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求数列{a（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和求解即可.18．【答案】（1）解：由题得ca=632πa=2因为b2=a2−（2）证明：（i）由题得四边形MPNQ的面积S=1①当直线MN与x轴重合时，A与O重合，|PQ|=22，|MN|=26，由圆的性质知直线PQ过坐标原点，由椭圆的对称性知|OP|=|OQ|，|MN|2②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为x=ty−2，|OA|2|MN|2=4(6−|OA|则直线PQ的方程为y=−tx，将它代入x2+3y2=6|PQ|2=4|OP|2=4(综上所述四边形MPNQ的面积为定值43（ii）由题得S1=12|PA|×|AN|，S①当直线MN与x轴重合时，A与O重合，S1②当直线MN与x轴不重合时，由圆的性质知直线PQ过坐标原点，由椭圆的对称性知|OP|=|OQ|，S1由（i）知|PQ|=261+t所以|OP||OA|=62(1+t2所以|OP||OA|=62m所以7−43≤1−2综上所述S1S2【解析】【分析】（1）根据离心率和圆O的周长，结合椭圆的性质列方程组，求出a,（2）（i）考虑直线MN与x轴重合和与x轴不重合两种情况，利用S=12|PQ|×|MN|（ii）由题得S1S2=|PA||QA|，当直线MN与x轴重合时，A与O重合，S1S2=|PA||QA|=|PO||QO|19．【答案】（1）解：函数f(x)=lnx−x，g(x)=−xe−x，求导可得f'因为两切线平行，所以1−x0x0=因为(ex0+x