2024-2025学年山东省青岛市高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年山东省青岛市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设直线：的倾斜角为，则的值为（

）A．2 B． C． D．2．已知直线平分圆的周长，则（

）A．2 B．1 C． D．43．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．在四面体中，，若，则（

）A． B． C． D．5．已知椭圆：（）的离心率为，且点为椭圆的一个焦点，则椭圆与直线在第一象限的交点为（

）A． B． C． D．6．圆：与圆：的公切线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆：，直线：（），则（）A．直线恒过定点B．直线与圆有两个交点C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1D．圆上的点到直线的最大距离是10．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（

）A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是11．已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（）A．椭圆的方程为 B．C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点，三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为．13．如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了．14．已知点是圆：上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是；若直线：，为直线上的动点，过点作点的轨迹的切线，切点为，，设，当四边形的面积最小时，面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)求的值.16．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，.

(1)用，，分别表示，．(2)若，，，求：（ⅰ）；（ⅱ）．17．已知抛物线：的焦点为．(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长．18．已知直线：，圆：．(1)当为何值时，直线被圆截得的弦最长？当为何值时，直线被圆截得的弦最短？(2)是否存在，使得直线被圆截得的弦长为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8.(1)求椭圆的标准方程.(2)对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【详解】直线：可化为，所以直线的斜率为，即，故选:C.2．【正确答案】B【详解】因为直线平分圆的周长，所以直线过圆心，所以，解得，故选:B.3．【正确答案】B【详解】由即可得，解得；故选：B4．【正确答案】A【详解】如图，

因为，所以，又，所以，又，所以且，解得：．故选：A5．【正确答案】D【详解】由题可得，，解得，所以椭圆方程为，联立，可得，解得，所以椭圆与直线在第一象限的交点为，故选:D.6．【正确答案】C【详解】由，可得，所以圆心，设两圆的半径分别为，则，圆心距，所以两圆外切，则公切线的条数为3条，故选:C.7．【正确答案】B【详解】根据对称性，双曲线的焦点到两条渐近线的距离相等，其中一条渐近线的方程为，即，右焦点Fc,0到的距离等于，所以，所以，即，则，所以，故选：B.8．【正确答案】D【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，设，，则,,，则，，则，设直线与直线所成角为，则，当且仅当时取等号，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为，故选：D．

9．【正确答案】ABD【详解】

对A，由，可得，令，解得，所以直线恒过定点，A正确；对B，设直线直线恒过定点为，圆心,半径，则，所以点在圆内，则直线与圆相交，所以直线与圆有两个交点，B正确；对C，时，：，即，圆心到直线的距离，因为，所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1，且这两个点均位于圆被直线所截得的优弧上，C错误；对D，当时，圆上的点到直线的距离有最大值，最大值为，D正确；故选:ABD.10．【正确答案】ABD【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解.【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，，若，则，可得，则，解得，即.对于选项A：可知平面的法向量，则，所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；对于选项B：因为，所以点到的距离为，故B正确；对于选项C：因为，则，且，可得当且仅当时，取到最大值，所以线段的长度的最大值为3，故C错误；对于选项D：因为，，则，且，可知当时，取到最小值；当时，取到最大值；所以与的数量积的范围是，故D正确.故选ABD.11．【正确答案】ABC【详解】由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，，离心率为，所以椭圆的焦点为，，离心率为，所以椭圆中，，所以椭圆的方程为，A正确；因为点是与的一个公共点，所以点在双曲线上，所以根据双曲线的定义可知，，且，所以，B正确；根据对称性，不妨设，则，又根据椭圆的定义可知，，所以联立，解得，所以，所以为等腰三角形，C正确；设，则，，所以，解得，此时，所以存在点的坐标为或或或，使得，D错误；故选：ABC.12．【正确答案】【详解】由题，，所以，，则在方向上的投影向量的坐标为.故答案为:.13．【正确答案】/【详解】建系如图，设抛物线方程为，则根据题意可知图中坐标为，，，抛物线方程为，令，可得，则水面下降了米故14．【正确答案】【详解】设，，则有，根据中点坐标公式可得，，解得，所以，整理得，所以线段的中点的轨迹方程是；所以可知点为圆的圆心，且所以,所以要使四边形的面积最小，则最小，当时，最小，为点到直线的距离，此时，所以.故答案为:;.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，其斜率为，则，即，又，则，即；（2）设，由在上，即，即，则中点坐标为，故有，即.16．【正确答案】(1);(2);【详解】（1）

如图，连接，取中点为，连接，因为底面是正六边形，所以,即，所以,又因为,所以.（2）由题知，，根据，可知，且因为底面是正六边形，所以所以，所以（ⅰ）=（ⅱ）因为，所以=，所以.17．【正确答案】(1)焦点为，准线.(2)【详解】（1）由抛物线方程可得，，所以焦点为，准线.（2）设，根据对称性，不妨设在轴上方，则在轴下方，根据抛物线的定义可知，，所以，将代入可得或（舍），所以，所以,所以直线的直线方程为，即，联立，消去可得，，根据韦达定理可得，，所以，所以.

18．【正确答案】(1)答案见解析；(2)【详解】（1）易知直线：恒过定点；圆：的圆心为，半径；当直线过圆心时，弦长为圆的直径，即，解得；当圆心与定点连线与直线垂直时，弦长最短；此时直线的斜率为0，所以，解得.因此时，直线被圆截得的弦最长，时，直线被圆截得的弦最短；（2）设圆心到直线的距离为，由弦长为可得，解得；即，解得即存在，