第一章-物体的受力分析和静力平衡方程

概述1.1静力学基本概念1.2约束和约束反力1.3分离体和受力图1.4力的投影、合力投影定理1.5力矩、力偶1.6力的平移1.7平面力系的简化、合力矩定理1.8平面力系的平衡方程1.9空间力系1.0工程力学是一门研究物体机械运动以及构件强度、刚度和稳定性的科学。第一篇工程力学基础概述工程力学理论力学材料力学

静力学

运动学

动力学第一篇工程力学基础力是物体间相互的机械作用。作用在物体上的力引起两种效应：外效应（运动）：使物体的运动状态改变；内效应（变形）：使物体的形状发生变化；静力学：研究力的外效应中的平衡规律；材料力学：研究杆的强度、刚度和稳定性问题；第一篇工程力学基础相关概念——强度、刚度和稳定性；强度：

指构件抵抗破坏的能力。构件在外力的作用下发生断裂或显著不可恢复的变形属于强度失效。刚度：指构件抵抗变形的能力。构件上存在较大变形就会造成刚度失效。稳定性：指构件保持原有平衡状态的能力。1.1静力学基本概念一、力的概念及作用形式力的三要素：大小、方向、作用点力是矢量，矢量的长度表示力的大小，矢量的方向表示力的方向，矢量的始端（点O）表示力的作用点。（矢量所沿着的直线表示力的作用线）常用粗体F表示力矢量，而用F表示力的大小力的单位：N(牛顿)，kN(千牛)OF力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化，或使物体发生变形。关于力的几点说明Fqq(x)力按作用方式可分为体积力和表面力两类；当物体间的相互作用面积可以抽象为一个点（作用点），则力称为集中力。否则，称为分布力。分布力大小用分布力集度q(x)（单位长度力的大小）表示，单位为千牛/米（kN/m），当q(x)为常数时称为均布力或均布载荷。1.1静力学基本概念力系——作用在物体上的一群力。力作用线在同平面的力系叫平面力系，否则叫空间力系。若两力系作用同一物体而效应相同，则称两力系等效。这两个力系为等效力系。合力（力）与分力（力系）等效。=1.1静力学基本概念二、刚体的概念在物体受力后变形相对小的条件下研究物体受力的外效应，为了使问题简化，可以将原物体视为刚体。注意：研究问题时，若物体的变形为主要因素，则不能看作刚体，应视为变形体。刚体——在力的作用下，其内部任意两点的距离始终保持不变的物体。即在任何情况下都不发生变形的物体。刚体是实际物体抽象化了的力学模型（理想化的力学模型）。1.1静力学基本概念三、平衡的概念作用于刚体上的两个力平衡的充要条件是这两个力等值、反向、共线。(1)二力平衡原理FAFBFA=-FB平衡——物体相对于惯性参考系（如地面）保持静止或做匀速直线运动。1.1静力学基本概念二力杆（二力体，二力构件）:仅在两点受力而处于平衡物体或构件。

用途：已知两力的作用点，确定其作用线。F1F2(2)加减平衡力系原理在作用于刚体的任何一个力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。1.1静力学基本概念

推论力的可传性原理:作用于刚体上的力，可以沿其作用线滑移，而不改变对刚体的作用效果。F2FABF1F2AB-F1=F2=F1.1静力学基本概念四、作用和反作用定律GGTTT‘任何两物体间的相互作用力总是成对出现，并且等值、反向、共线，分别同时作用在两个相互作用的物体上。注意：作用力和反作用力同平衡力的区别。作用和反作用定律对刚体和非刚体系统均适用。1.1静力学基本概念1.2约束和约束反力主动力：主动使物体的运动状态改变或形状发生变化的力。工程中常把主动力称为载荷。自由体：位移不受限制的物体。非自由体：位移受限制的物体。约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。约束反力（反力）：约束对物体作用的力。注意：约束反力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反。

在静力学中，约束反力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，因此，可用平衡条件求出未知的约束反力。以下为工程实际中常见的约束类型及其反力：(1)柔索约束柔软的绳索、链条、纲丝或皮带等柔性体对物体的约束。GGF柔性体约束只能承受拉力，所以它们的约束反力是作用在接触点，方向沿柔性体轴线，背离被约束物体。是离点而去的力。T1T2T1’T2’1.2约束和约束反力(2)理想光滑面约束理想光滑是指物体表面的摩擦可忽略不计约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体，是向点而来的力。FNFN1公切线FN2公法线FNAFNBAB1.2约束和约束反力(3)圆柱铰链约束（圆柱铰、中间铰）圆柱铰链由销钉将两个钻有同样大小孔的构件连接而成。销钉只限制两构件间相对移动，而不限制相对转动。因此，约束反力的方向往往预先不能确定，但是，其作用线必垂直于销钉（接触点公法线）并通过销钉中心。1、销钉2、构件FN公法线局部放大图约束反力方向不定1.2约束和约束反力方向不确定的约束反力通常用两个未知的正交分力Fx和Fy表示。FxFyFy’Fx’1.2约束和约束反力①固定铰支座1、销钉2、构件3、固定部分FxFy底座固定在支承面上的铰支座称为固定铰支座。1.2约束和约束反力②可动铰支座FR底座下面安放辊轴的铰支座称为可动铰支座，基特点是只能限制物体沿支承面法线方向的运动而不限制沿支承面的运动。所以约束反力的方向垂直支承面。1.2约束和约束反力1.3分离体和受力图在求解之前，首先要确定构件受几个力，及其位置和作用方向。此过程称力物体的受力分析。将研究对象从与其有联系的物体中分离出来（使之成为自由体），叫做取研究对象（分离体）。将所受的全部主动力和约束反力画分离体上。表示分离体及其受力的图形称为受力图。[例1-1]画出梁的受力图（不计梁自重）。30oFCAB解

取AB梁为研究对象，主动力为F、梁的A端为固定铰支座，B端为可动铰支座，其受力图如下图所示。FCABFxAFyA30oFRB1.3分离体和受力图[例1-2]分别画出圆及杆AB的受力图（不计杆自重）。解：GACBGFN1FN2FxAFyAFN2ABFBC注意：画约束反力时，一定要按照约束的固有性质画图，切不可主观臆断！1.3分离体和受力图[例1-3]曲柄冲压机的受力分析。AFT1FT2BGFxAFyAFBABQFT1FT2CBCFCFBQCFCFN1.3分离体和受力图

受力图的画法和注意事项取分离体：根据问题的要求确定研究对象，将它从周围物体的约束中分离出来，单独画出研究对象的轮廓图形；画已知力：载荷，特意指明的重力等，不特意指明重力的构件都是不考虑重力的；画约束反力：确定约束类型，根据约束性质画出约束反力。确定反力的方向时，可借助于以下各点：是否与二力构件相连，是，则由二力构件的分离体图确定。二力构件的连接点受力方向，而它的相反方向（反作用力的方向）就是所求方向;根据主动力系和约束的性质确定反力方向。1.3分离体和受力图[练习]图示为不计自重的三铰刚架，试分别画出刚架AC和刚架CB的受力图。ACBPCBFCFBPFxAFyAFC’1.3分离体和受力图PFC’AFA三力平衡汇交定理：刚体受三力作用而平衡，若其中的两个力的作用线汇交于一点，则三力必须在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。1.3分离体和受力图1.4力的投影、合力投影定理力系的简化是用一个简单的等效力系代替作用在刚体上一个较复杂的力系。研究力系的简化和平衡一般有几何法和解析法两种。一、力的投影概念AFBx’αxab力在轴上的投影是代数量，其符号可直观判断。二、力在直角坐标轴上投影（1-1）已知力的投影Fx、Fy，则力的大小和方向为：（1-2）AFBαxabFyFxFxFya’b’1.4力的投影、合力投影定理三、合力投影定理若一个力对刚体的作用效果与一个力系等效，这个力称为该力系的合力，该力系中各个力称为这个合力的分力。合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这个关系称为合力投影定理。设有一力系F1、F2…、Fn，其在直角坐标轴上的投影分别为Fx1、Fx2…、Fxn，

Fy1、Fy2…、Fyn，该力系的合力为FR，其在直角坐标的投影为FRx

、

FRy。1.4力的投影、合力投影定理O

Fn

F3

F2

F1

xFR

O

F1

F2

F3

Fny（1-3）1.4力的投影、合力投影定理作业1-41-51-61.4力的投影、合力投影定理1.5力矩、力偶力F使物体绕O点转动效应的物理量称为力F

对O点的力矩。O称为力矩中心。O点到力的作用线的垂直距离称为力臂。力F对O点之矩：力矩一、力矩F矩心力臂（1-4）力矩的单位：牛顿米(N·m)或千牛顿米(kN·m)+-力矩的方向：逆时针：顺时针：1.5力矩、力偶力F对O点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力臂和力的大小均未改变；力的作用线通过矩心时，力矩等于零；互相平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零；作用于物体上的力可以对物体内外任意点取矩计算。力矩的特点：1.5力矩、力偶二、力偶与力偶矩(1)概念大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力叫做力偶。并记为(F,F´)。力偶中两个力所在的平面叫力偶作用面。两个力作用线间的垂直距离叫力偶臂。1.5力矩、力偶力偶对刚体只产生转动效应而没有移动效应。力偶矩：力偶对物体转动效应的度量。力偶中任一力F的大小与力偶臂d的乘积Fd，称为力偶矩，M(F,F´)，或简记为M。力偶矩的单位同力矩的单位。+-（1-5）yxoF’dF力偶无合力1.5力矩、力偶(2)力偶的性质力偶中两力对其作用面内任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。(自行证明)

平面力偶的等效定理：作用在刚体上同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效。力偶不能与一个力平衡。力偶不能与一个力等效。也就是说力偶没有合力。1.5力矩、力偶推论（适用于刚体）只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效果；

保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不改变对刚体的作用效果。力偶可以移到与其作用面平行的平面内，而不会改变对刚体的作用效果。1.5力矩、力偶由上可知：力偶也有三要素，即力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面。可以用旋转符号表示力偶。（见上一张幻灯片图示）1.5力矩、力偶1.6力的平移所谓“力的平移”，就是把作用在刚体上的一个力，从原位置平行移到该刚体上另一位置。A

B

F加减平衡力系原理A

B

FF1F1’dA

B

F1M附加力偶F和F1’组成力偶力的平移定理：作用在刚体上的力F可以平移到刚体内任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用的矩。（1-6）图中单手攻丝时，由于力系（FR’

，MO）的作用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。1.6力的平移1.7平面力系的简化、合力矩定理如果作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，不汇交于同一点，也不互相平行，这种力系称为平面一般力系（简称平面力系）。FnF3F2F1一、平面力系的简化OF1F2F3FnF1F2F3FnM2OM1M3MnFR’OMOO——简化中心FR’——主失量，FR’=ΣFi，与简化中心无关

MO——主矩，等于各附加力偶矩的代数和，即MO=ΣMO(Fi)，与简化中心有关（1-9）1.7平面力系的简化、合力矩定理

讨论主矢量FR’可在x、y轴上的投影F’Rx、F’Ry为：（1-7）

根据力与投影的关系可求得主矢量FR’的大小与夹角α：FR’OMOF’RyF’Rxyxα（1-8）1.7平面力系的简化、合力矩定理

平面力系简化结果的应用现在讨论一种常见的约束类型——固定端约束FABFABFABFyAFxAMA固定端约束反力有三个分量：

两个正交分力FxA、FyA，一个反力偶MA。1.7平面力系的简化、合力矩定理二、平面力系简化结果FR’≠0，MO=0。原力系为一作用在简化中心的合力，与简化中心位置有关

；

FR’=0，MO≠0。原力系为一力偶系，与简化中心位置无关；平面力系简化后，得主失量FR’和主矩MO，简化结果有四种可能。MO用力偶（FR，FR’’）表示力大小等于FR’’O1O

FRFR’FR’’dO

FR’MO减去平衡力系FRO1O

d1.7平面力系的简化、合力矩定理三、合力矩定理3.FR’≠0，

MO≠0。此为普遍情况，还可继续简化为一作用在O1点的合力FR

，即为原力系的合力;FR’=0，MO=0。原力系为一平衡力系。（1-10）将式（1-9）代入，有：

合力矩定理：平面力系对作用面内任一点的矩，等于各分力对同点之矩的代数和。1.7平面力系的简化、合力矩定理F1F2F3FnM2OM1M3MnFR’OMOMO用力偶（FR，FR’’）表示力大小等于FR’’O1O

FRFR’FR’’dO

FR’MO减去平衡力系FRO1O

d

合力矩定理图示说明OF1F2F3Fnd3d1d2dn1.7平面力系的简化、合力矩定理[例1-4]图示水平梁AB受线性分布载荷作用，载荷集度的最大值为q(N/m)，梁长为L。试求分布载荷合力的大小及其作用线的位置。解：

距A端为x的微段dx上作用力的大小为q(x)dx，其中q(x)=q/L，设合力F到A点的距离xC合力的大小为yA

FxB

qxCq(x)Ldxx合力对A点的矩可由合力矩定理得：三角形面积作用线过载荷图形心1.7平面力系的简化、合力矩定理FR2FR1x1x2[思考题]已知q1，q2，L。求FR作用线的位置xC。解：将梯形分布载荷分解为均布载荷和三角形分布载荷。

由合力矩定理得：A

FRB

q2LxCq1均布载荷：三角形载荷：∴梯形载荷的合力：1.7平面力系的简化、合力矩定理[练习]图示结构中，各构件的自重不计，求支座A的约束反力。解

受力分析如图，对CB分析得对ACD分析得（可以根据三力平衡汇交定理先确定约束反力方向）B

lMA

C

D

lllFRBFCF’CFRDFxAFyA1.7平面力系的简化、合力矩定理作业1-81-91.7平面力系的简化、合力矩定理1.8平面力系的平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是力系的主矢量和力系对任意点的主矩都等于零。即：（1-11）由式(1-8)得：（1-12）式(1-12)即为平面力系的平衡方程，前两式为投影方程，表示所有力对任选的直角坐标系中每一轴上投影的代数和等于零；第三式为力矩方程，表示所有力对任意点力矩的代数和等于零。由于这三个方程相互独立，故可用来求解三个未知量。二矩式（1-13）其中矩心A、B的连线不与x轴垂直。三矩式（1-14）其中矩心A、B、C三点不位于同一条直线上。1.8平面力系的平衡方程由平面力系的平衡方程，可以推出几个平面特殊力系的平衡方程。（1-15）①平面力系中所有力的作用线汇交于一点，称为平面汇交力系。其平衡方程为：②若平面力系中各力学量均为力偶，称该力系为平面力偶系。其平衡方程为式(1-12)中的第三式。（1-16）③若平面力系中所有力的作用线互相平行，称该力系为平面平行力系。其平衡方程为（如各力平行y轴）：注意：平衡方程有几个，就只能求解几个未知量。[例1-5]图于为三铰刚架。A、B、C三处均为圆柱铰链连接，设刚架自重不计，试求在力水平力F作用下刚架在A、B两处所受的约束反力。ACBFaaa解取刚架整体为研究对象，画受力图，由平衡方程得：

CFFxAFyAFxBFyBFxAFyAFxCFyC取AC为研究对象，画受力图[例1-6]自重不计的简支梁AB受力如图，M=Fa,试求。yA

xB

q2a4aMFFyAFxAFRB解：受力分析，取坐标轴如图：

[例1-7]自重为P=100kN的T字形刚架，l=1m，M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，试求固定端A的约束反力。解受力分析如图所示：

A

C

B

q3lMF60ollPFyAFxAMA

求解物体平衡问题的解题方法和步骤确定研究对象，取分离体，画受力图。要注意刚体之间作用力和反作用力的关系。选取合适的坐标轴，列静力平衡方程。为了便于计算，坐标轴的方位应尽量与较多的力平行或垂直；矩心尽量选在未知力的作用线的交点上。解平衡方程，求出未知量。[练习]由杆AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接，它的支承和受力如图所示。已知均布载荷集度q=10kN/m，力偶矩M=40kNm，a=2m，不计梁重。试求支座A、B、D的约束反力以及铰链C所受的力。yA

xB

qaMaaaC

D

[练习]刚架由AC和BC两部分组成，所受载荷如图所示。试求A，B和C处约束力。A

q2B

q12aaaC

a1.9空间力系若作用在物体的力系中各力的作用线不在同一平面内，则称该力系为空间力系。一、力在直角坐标轴上的投影（1-17）cosα、cosβ、cosγ称为力F的方向余弦。（1-18）

一次投影法zy