广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)专硕之数学分析考研导师圈点必考题汇编

2017年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)［专业硕士］考

研导师圈点必考题汇编(一)说明：①本资料为VIP学员内部使用，整理汇编了历届导师圏点的重点试题及常考试题。一、证明题1•证明：函数(x8+y)sin-F7±==. ^4-7#0,/(x.y)=0. =0在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而1'在点(0,0)可微.【答案】：,.，晚疽宀刃血淆亍=忡sin7=0=-g。)•因此f在点(0,0)连续•当,+yK。时S)-2xsin^^--^CoS^?.当Ho时rc、I-f(0+6x.0)—f(0»0) .•1一八人(0,0)=hmJ- 炽公皿云=°，但由于,•，国。严斬浮=而，.熙.s方爷*万转不说冋考察y=X情况)，因此当(X，y)-(0,0)时，J，(W)的极限不存在，从而厶(幻力在点(0,0)不连续.同理可证拿W)在点(0,0)不连续’然而］血4/-厶(o,o)n(o,o)4y‘limj.-0. g3-w.oi/(QZ+(3〉2 /(Ar):+<4y>*所以，在点(0,0)可微且"L@=o.2-设函数f定义在【一a・a］上’证明：⑴… /3 U..为偶函数；'- f<'1m.rg八.为奇函数：f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.［答案】f(x),F(x)和G(x)的定义域关于原点都是又痢的.⑴，，H/，,)”(.「))"”./，，，E.故F(x)为［f,a］上的偶函数.侦”/'・八，小 ,■' 故G(x)为［-a,a］_t的奇函数.由(1)、(2)得F(x)+G(x)=2f(x),于是E¥心+*“酔3是偶函数,护3是奇函数.故f(x)可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.3.设f为I 上的递增函数.证明/「，ffl.都存在，且f(i0)-sup r.-rO)inff(.r)

【答案】①取，M，“〉..3I(，).因为f为L"上的增函数，所以对V，£E，).有〃r)",•即f(x)在，小，上有上界.由确界原斷f(X)在心:上有上确界，令M a._f是对任给的.存在I(，>，使得"〉小令S5—则$。，并当，。，，时，有\£ ，，宀(…\X-£.gpE>八一故八'方 、②，5'同理可证.二、解答题4.将直角坐标系下顷ace方程覆+检=(化为极坐标下的形式.【答案】设x=rco^.y=rsiM.则窄吧盼當對2襄+如襄,备啧計當*F唸+E當.并F修糸+翥.物+御廉萼+务.令)

=*0諄+8职W—+Sin^翥+血勺春.剥以可求穿=心的靜"疝蛔9蓊一/辨斯翥+/co的謬一E斜响嗚:•+器=戒的諄一sinft"霸—血5豔+co*謬

T(b粉脉斜因此|1 _矛丁丄—u1 <?u'源+t•.丽一狞+亍一；.无・二窍++票++靜&5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数•⑴="I求蠟⑵(二葺豊求腊號⑶求啓羿枇程组两边X求导，得4‘2空=。，\v-g(u-x^y)X枇程组两边X求导，得4‘2空=。，2x+2y2x+2y解此方程组得卜号'等=-办(2)方程组关于x求偏导，得

11一2“翌一》登-o,dxdx—2v^—u~x~=0,

dxax■/旦四=2t>+驱dv二2m2+工野侍：dxAuu—xy'dxxy—4mw方程组关于y求偏导数，得解得du=2—+_y3p_2k+jv3y~xy—4ia>，_Auv—xy⑶把u，、看成X,y的函数,对X求偏导数仲"・（“+遂）+5琪1芸f•（祭-1）+験・（2擦），解之得du 14（】一2yyg2）f\—一（1-z/））（1-2xygj）-f2g\

dv —（I—工f、）幻+"i幻dx~（】一-fzgi'6.判断以下结论是否成立(若成立’说明理由；若不成立’举出反例)：(1)若編-J和&都收敛，则(编收敛；(2)若血*，3已和侦｝都收敛，且有相同极限，则|诵收敛.【答案】(1)该结论不成立例如，an=(-1)",则心.d”-】，数列棚卜和｛境都收敛，而数列｛(一1)“是发散的.(2)该结论成立.设相同的极限是a,则对于任意。>0,存在正整数NiM,Ns使得当k>M时,I;—a1<€；当k>Na时IM.aI-1'当k>N3时，“€今4=max｛N.)，则n可以表示为3m—r,其中m>N,r=0,1,2时，言j即呻丄：=2占7.求—，，所示平面图形绕y轴旋转所得立体的体积。【答案】V=2；tJ.rstru-dr=2k(^cosuTsiru)=2占8.利用上题所得递推公式计算：(DJy^cU. (2)UnrVdr：(3)j(arcsinr)'dri (4)c*si^Jtlr.【答案】⑴-Ip^dx=少"WJ好位)

=七*-乎&”+今（土"一*何&）=*/硏一斗齐”+一辛？+C=『（*/—"P+m—f+c.<2)j(lnr),clr=jr(lrir)1—3j(lnr)?dr顼Iru>-3[太IE*-2jlardr]=jtlnz)1—lr(Inr)'+6(.rlrvr—.r)+C—xt(lnr>3—3(lnx>*•+61nr—6j+C.<3)j(arcsinx)'cLr=j：(arcsinr>4+3>/1—x*(arcsiar)?—6jarcsiardr•Harcsinr"+3s/T-"?(an-sinr)*—6jarcsinrb6|4—J/r~;一riaR^unr)1+3Jj—/《mv<uvj：ftzwtsuu_ _r+《：E)[c'sin'x<<r-’sin、(sinx3coxr)Ifije"siardi'.=c'siar—de*=e*siiu-—e'cosx—je,siardj4-=c'siar—de*=e*siiu-—e'cosx—je,siardj4-(\移项，得'nu,lz，＜（、mt-cost）4故有|czsin3xdj-=-j^[e,sinzx(sinj-—3cosx)+3b(siru•—cosj-)+6("]=^e*(sin'.r—3sin2xcos.r+3sinr—3cost)4-(,.2017年广州大学数学与信息科学学院924数学（数学分析、线性代数）［专业硕士］考

研导师圈点必考题汇编（二）说明：①本资料为VIP学员内部使用，整理汇编了历届导师圏点的重点试题及常考试题。一、证明题I-应用柯西收敛准则，证明以下数列｛an｝收敛:（l）u唧L此…、羿isin(ni*1)1岫〃+isin(ni*1)1岫〃+2>t..,sinw.3,SIIV/5丁a.U.sh",i2)；—【答案】⑴设》m,则有sin（mtI）I,《I ~I十〈法r+声+…+去因为如沽。，于是对任意正数£（不妨设.I）,必存在N,使当n>N时，有;£,即取：\Ilog1:-1则当n>m>N时’ 由柯西收敛准则可知’数列巩收敛.（2）设n>m,则有3I2)2F3+1） （7〃十1）（/»+2〉（n—1（土，」i）+（,「h宀）卜…十（土+）mnm对任给的£>0,取*I7?则对一切》m>N,有« ，•由柯西收敛准则知，数列3n）枚敛，2.证明：若f（x,y）在有界闭区域D上连续，g（x,y）在D上可积且不变号，则存在一点使得【答案】不妨设g（w）20（（i‘y）6D）.令M,m分别是r在d上的最大、最小值，从而州g（工、y也《少由《gCr,少若少G3击=。・贝U由上式也少击•于是］壬取（S瑚£D即可.若山（工，刃&R腿则必大于0,于是由介值'性定理，存在(£，v)£D•使得g下’即3.设XJCR"•证明：IIIxH-IIjIIKlx-Jll.并讨论备不等式中等号成立的条件和解释n=2时的几何意义。［答案］由三角不等式有llxll=II*-/+jU<II*-JII+IIJII即m-Ujll<llx-yM.又IIJII=liy-x+xll<llx-yll+Ixll即IIjII-flxll《llx-yll所以丨III"15l< 等号成立的条件为，=>^«为实数)，当n=2时等式的几何意义为：任一三角形中一边大于或等于另外两边之差。二、解答题设3』血井7'。， J4+y=0,考察函数，在原点(0,0)的偏导数.【答案】由于临厶世攵羿了邢,0)=如导=0,Ar-*o Ar ArgArlim八0,9士驾-川畠。)-limsin冬4y-oAy <Ay)祎在，所以，f(x,y)在原点关于X的偏导数为0,关于y的偏导数不存在.通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：(1)£.r'di：(2)J'e'dr,《3)p&：(4)J*^(0<<r<A)【答案】(1)因f(X)=x‘在［0,1］上连续，所以f(X)在［0,I］上可积.对［0,I］进行n等分，记其分割为厂 取三：为区间…［七'・：］的右端点，i=l，2,•••,n,得

J>心二肿点g。=52(+)'・+=!i.m土#

=现十[+/3+1)牛如十(1+$=+(2)同(1>有(3)由/*)『在［a,b］上连续知，f(x)在〔a,b］上可积，对［a,b］进行n等分，记其分割为「-3“S则4"〃气-械.….”),取&为区间的右端点,i=l，2,…，n,得Je，dr=Jjjn再'《£)△，•,lim$：广护•"厂“

lim-(b-a)・克招"5―»台=|而『•丨一〈占〉"](，“)f (1~C6^>•H-|im•<2^(1e,J)(ba>―、n9=寸(<?兴一1>=/一—(4)同(3),取S "島，得槌=取*您如=加*6.设f(E=j+『'Z<爲项'£为单位球面/6.设f(E=j+『'Z<爲项'£为单位球面/+俨+/=1.计算曲面积分I=〃SEdS.【答案】7=JJf5)ds=』/5),”丄5i/Sdxdy•2irrdr=2jtysin3t?dt?=§(8-5仍)»/<(sin3tJ=sint?(l-cos2i?)).7.计算下列积分：(1)J"Cr+刃M⑵g削①一)+2)板【答案】⑴被积函数0,(x,y)€D|,Cr,y)£Di，(x»y)€D*,其中和D,见图原积分v,頫y+卩1.&dy+°2・drdy』3.drdy(2)被积分函数sgn(x2—y*4-2)=1*Cr♦少£A，—1,<x»y)6ftU其中ZZ•玦和小见图m的面积为原积分一S=Jdrdy-J：产J#dy=号L21n鷲,。'的面积与队相同，口的面积为圆面积去掉。和心的面积，所以原枳分-4it-4(^-2lnl±^)原枳分-4it-4(^-2lnl±^)-■4峠十冰2卜屈］.8.求心形线 所围图形的面积。【答案】所围图形的面积为•脚2017年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)［专业硕士］考

研导师圈点必考题汇编(三)说明：①本资料为VIP学员内部使用，整理汇编了历届导师圏点的重点试题及常考试题。一、证明题1•设f(X)在［0,1上连续可导，证明：【答案】方法一用积分中值定理.因为ff(*)dx=/(f).IG［0.1］,而/U)=/(£)+|7'(〃出，所以!/(乂)i<i/(^)I+£山<£/-(X)i&+£iy(x)方法二用分部积分法.因为而£/(/)d/=(/•(/)I：-Ry)由=”(时-f'/(n<h=(t-f(t-l)r(/)<h=(1-»)/(*)+f(l-l)f(t)dt,所以£/(《)由=fix}-|V，(O<ir+j'(l故1/(*) |//(Odl|+V")d—£(1-4)广⑴叫w£/(*),h+£id/+£i/y)|df=+丄|广(时|dL2.设函数f(x)在闭区间［a,b］上无界，证明：存在su［"］，使得如存在c6［W.使得对任意的5>0,f(、)在((r<^>fl［aJ>上无界.【答案】⑴因为f(x)在闭区间［a,b］上无界，所以存在，M 用衝"顼)L同样由,f(x)的无界性知’存在，八€言的使得丨/侦)"max{2.，/侦)|}

如此继续,可得u也,们满足 l>niax{w4-1,(/(xB)",所以=叫.(2)由致密性定理知，⑴中的数列專存在收敛子列不妨仍记为本身),记!i*n=c此时的C就是满足要求的点.3.试确定函数项级数g3+号)”的收敛域’并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.【答案】由于』(*)〔=晚|x+i|=lxh所以当IGV1时级数绝对收敛,当EA时级数发散’当EG时，因为lim(l+丄)=e#0,lim(―1+丄)*0因而级数发散,于是级数的收敛域为(-1,1).设f—=S@+扌)'.求证f(x)在(-1,1)内连续.V0V8V1,当|i|<8时有|卜+4)"|<()7+♦<(»++)、由根式判别法知况(8+三)‘收敛，所以虫(工+§)•在［―m］上一致收敛，从而f(x)在工一$面上连续，由a的任意性知胞)在(-1,1)内连续.£p++)”在(-1,1)内非一致收敛.事实上，设*)=&+§)"，取(-1,I),则即虬(工)在(-1,1)内不一致收敛于0,所以函数项级数去(并§)"在(-1，1)内非一致收敛.二、解答题4.求下列不定积分:时dr dr drCr—1>(.rz•1【答案】(2)3尸+/+Inz•1―ZinIj,I. -(j-l)f.3i+(-,n~-n4⑶J备「Ju商％-e广 心I”緋i+f—穿+c. 2(4)因为1-条+*令+*

］十顶■，一姪并】+异+姪工至1所以|•地=% 四*-)心J1+F 8八，十屈+1，一履+】丿1 I 1TJW顷WT*】，.」I4-1 I 1TJW顷WT*】，.」I4--^-[arciantVZj+1)'8%/一奶丄+]| 272十arcian(y2x-!)]+(*.】+/"H5(5)】+/"H5(j--D(.rTB,"4(x-i)WTTF所以L.L格-帀，H湾i-m洸危TJ尚心=『I工-11_h犬时_If渚莎-_H希心T*=i，nlx'1 l>■J，+]n,T卄+•寿--上成官-加/+1—arciarw*C村洁+品-i—y膈hidr《公2+乙+1F忐卷石厂芸fnm+n+G2+2 2+2 dz I+2嘴-4箫 (5)5.求z=F-/+2玷在区域眼"丁＜】上的最大值和最小值.=】上的【答案】由九（1，少=0,厶（1,3）=01得稳定点为（0,0）,且f（0,0）=0.再考虑边界史+y最值问题.=】上的令］=803/=血0,0^応2”项!］z=cos0—sinT+2sint?cos^=cos20+sin28=v^sin（2Q+十）.当28+f=韻苧即g誕碧时,z=f（x,y）取最大值〃:当2叶普=夸或竽即0=等或導时，z取最小值■姪.将其与f（0,0）=（）进行比较知，所求函数的最大值为。最小值为一据・6.把函数~与，-x<x<0./(x)=-/(x)=-于，0<x<x展开成傅里叶级数，并由它推岀⑴于=】一++§-*+...，⑵奇T+n+m+・・・，⑶％=T+I+*T+・・・・【答案】函数1.及其周期延拓函数的图像如图所示.*TOC\o"1-5"\h\z• 7T| o4图显见f（x）在（一兀，Q内按段光滑,由收敛定理，f（x）可展开为傅里叶级数,因为“。*ilv（x）dx=+［匸（-十）&+£ 卜°，a„=+［二（-学）cosnrdx+.于cosnrdr］=0 1）,久= ,（—奇）$innrclr+L-j-sinnrdr 号--J-jsirmrdxiI-［丄，”为奇数时.rTH；一为"时.所以次（一霧,0）U（o，r）i时f<x)=£厂1sin《2n—l)x..-1£n~~1当x=0时，上式的右端收敛到0.⑴当号时，由因此

土血专zi—*+*—辛+....因为.冷""i,■f=+_*■+妾_*+"•，所以.5.-bX4-JL=1+1L4-—4-—14-*••34十12十5711十】3十171923*"2时,因/(f)-T故十=£我血当丄"亨(】_§+牛_土+吉_击+・“)，所以缶T+H+m+・・・.7.方程g+g 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(X)或x=g(y)?【答案】令.FCr,y)=cosr+siny-『,则有OF(x,y)在原点的某邻域内连续；F(0,0)=0；F,=—siixr一 ,F,=cosy—je01均在上述邻域内连续；F,(0,0)=或0,已(0,0)=0.故由隐函数存在惟一性定理知，方程coar+siny=f在原点的某邻域内可确定隐函数胃y=f(x).8.求由方程2亍+尸+/+2功-21-2了-4并4=0所确定的函数z=z(x,y)的极值.【答案】方法一由隐函数求导，得2yz2

+(1)2y2yz2

+(1)2y2X磽号=。，得方程组(2x+y—1=0,

l_y+z-1=0.由此求出临界点x=0.y=l.再代入原方程,求出两个隐函数的值为Z]=2|(0,1)=1, =花(0,1)=3.求二阶偏导数’由⑴式和⑵式，得+嗤-4咅=。d+嗤-4咅=。d2z介*2玄玄+2z二+2-4dxdydxdydxdy(3)(4)用x=0,y=l,zi=l代入上式,得&=齐=2>。,务=姦=】，6=辭=1，&G-伏=1>0,所以隐函数*,公在(0,1)点有极小值1.用x=0,y=l,%=3代入(3)式〜(5)式，得。=—2V0,&=—1.C2=-1,42C2—£^=1>O.所以隐函数22&，y)在(0，1)点有极大值3-方法二取目标函数f(x,y,z)=z,约束条件为原方程.令0(x.<y»2U)=z+A(2x2+(y2+«24-2jy—2x—2>—4z+4).求导得(D,=^(4x+2y-2)=0(6)0>\=A(2y+2x-2)=0(7)=l+A(2z-4)=0(8)0；=2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0 (9)容易看岀冷0,所以由(6)式ffl(9)式解出x=0,y=l.再由(9)式解岀勺=lg「3经(8)式解出A】=l/2,A,=-1/2.4>(W，z,l/2疱(0,1,1)点的海森矩阵为'21O'110.■00L它的II贿主子式依次为4=2>0,厶2=1>0，4=1>0・所以隐函数水工，力在(0,I)点有极小值1.-1/2疮(0,1,3)点的海森矩阵为TOC\o"1-5"\h\z-2-1 0'-1-1 00 0-1-它的II贿主子式依次为厶i=—2V0,4=l>0,4=—1V0.所以隐函数互字刃在(0,1)点有极大值3.2017年广州大学数学与信息科学学院924数学（数学分析、线性代数）［专业硕士］考

研导师圈点必考题汇编（四）说明：①本资料为VIP学员内部使用，整理汇编了历届导师圏点的重点试题及常考试题。一、证明题I-用确界原理证明有限覆盖定理。【答案】构造集合、能被H中有限个开区间覆盖明显，S有上界.又因为H覆盖闭区间•所以存在一个开区间《。・印€儿使浜3.取，€（a,p）Aiu.A）.则:〃.Zlu侦0,即小匕能被H中的有限个开区间覆盖.从而xES.即.、z（）由确界原理可知，存在S叫4下面证明g=b.用反证法.若財b,则aVgVb,由H覆盖闭区间"知，必存在-■J〃•使*如侦）取由和X2,使“，&，％•则所以亳・，能被H中有限个开区间覆盖，把“*加上，就得到"，•」也能被H中有限个开区间所覆盖，所以，.e这与4SUN矛盾.因此&=b所以定理结论成立。2.证明曲线积分的估计式：其中L为AB弧长，M 用上述不等式估计积分并证明，也卩zo・・【答案】⑴因，Pdr+g=L（P务+Q*）&且唐+Q割</冲+。）［侥）'+（空门=从而lj/dr十曲 P务+Q糸< =LM.⑵因由⑴知由于IIrI〈寰一0（RT8）

3.设f（x在（0,1）内有定义，且函数直（X与邪”在（0,1）内都是单调不减的.试证：f（x在（0,1）内连续。【答案】Vx0E（0,1）.由厂仙f可知,对x>xo,有写疽W.艮卩TOC\o"1-5"\h\z时wN ^f（x）. （1）这表明/U）1所以f，/g-0）./g+0）都存在.又由e'/（C十知对X>X°,有e'jEN以（％。）令*->x；得颅L♦0）MeV（褊）.即+0）3/（%）. （2）在式⑴中，令得/（%。）3/（利+0）. （3）由式⑵、式⑶知,f3。=f（x°+0）.类似地可证：f（如一0）=f（X。）.从而f（x）在xo点连续.由知的任意性知，f（X）在（0,1）内连续.二、解答题4.设u=u(x,y.z),v=v(x.y,z)和x=x(s.t).y=y(s.i),z=z(s.D都有连续的一阶偏导数.证明:H(u,v)3(x.v).d(utv)5(y.r)3（“.初__ I a（_y・z）H(u,v)3(x.v).d(utv)5(y.r)a（su）g,。心。十心£）a（z,x）icju）,【答案】3,十u,y.工・-TrV.x,+v3,十u,y.工・-TrV.x,+vyy.u.z,4-UxX,u,z,+utx.u, y.+utz.y,+ue.“。，+U.Zi

v,yt+VtZ,w.i.+v,z>+v,xt—(m,x,+u,>, 4-v,y, ~<UoT,+ttyy,+虬7,)(3,I虬a（Utv）七做L.0=殊=左端.5.设函数I（X）在区间a・b）内连续，函数Q）在区间c,d>内连续，而g）>。问在怎样的条件下，方程冷//3能确定函数、如08）・并研究例子：（I>siny+shyvi"I）尸—sin*x-【答案】设/•（]，»）=斌，）一/（1）,显然「（、.续.F,=<p（y）>0.故由教祠Pm注意2知，若兀伝，仞n跃0]X。・即存在点心5），，满足3X0小）=0.就可在：（"財附近确定隐函数〉戒/G丄(i)设=x,^y)-siny+shy.,由于。工)可3都在R上连续，且#«)=cosy+chy>0.又/<R>n邳)hR尹。故由上面的结论知方程wy卜W-z可确定函数y=y(x).(ii,由于/(x)— WO.^y)=广>0.所以/(R〉AF(R)=。•故方程厂=一Sin、不官訓角定函数y=9>*L/<x)J.下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的：⑴、带' ⑵•鬲，⑶、气却 (4)»-】)・血刍：(吨(宇+»(宓』⑺Z-D•(册)\(8)1>!(于)".【答案】(1)因为|滞!〈扣>4时),而2土收敛，所以原级数绝对收敛.⑵因为|(一1)•南| f8>,由级数收敛的必要条件知原级数发散.⑶根据P的取值范围讨论.设虬-传D<0时，因|四借不存在，故原级数发散.P>0时，因迦亍」=皿*F，而此时E£收敛’故P>1时原级数绝对收敛’且OVpWl时湧“”发散，即原级数在OVpWl时不是绝对收敛.0<P<1时，记心)=iT，则(-当虹+十+土)="・*1+/»-5则当x充分大时/'G〉〉。•从而当n充分大时数列去单调递减，又!叩土=。故由莱布尼茨判别法知原级数收敛且为条件收敛.sin― 0记因而E:发散,故原级数不是绝对收敛.又因Un为单调递减数列且n“-w号，皿・。3f8)故由莱布尼茨判别〉糊源级数条件收敛.因数列住｝单调递减且看一。卜8),所以级数、号"收敛,又•、+发散,且才号，所鴻级数发散.记吾因虬>厂齐”21〉.故可知〉虬发散’即原级数不是绝对收敛•又记/(x)=lnLr±l),/(x)„l=Ml+x)< 2)所以Q2时，f(X)为单调减函数，又以六*廓略匝出=。.所以七S22)为单凋递减数列且“・,。侦f①，由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.⑺记％十(辭芸)"，因在=黠毕质—8)，故原级数绝对收敛•(8)记〃・=”!(：)■.贝I」

囹|f|・（危）\蚓《一8：故当Uycl时原级数绝对收敛；当IxlNe时，丨12・・・91郊|>0从而原级数发散.判别下列广义积分的收敛性：（1）r （2）『—坛J。V jos/7（l-«r）2［答案】（I）此广义积分有瑕点x=0与x=+b.当x—+ool时,因为IVE>o,Wind+x）=O（.r*）>所以当P>1时,取0<€</>-1（p是固定的）,则有业卢=。田18）,由于此处/'£>1，故「加雄％收敛.当L0+。时，因为呼归〜土，所以当P-IV］时即当PV2时，匸呼q（Lr收敛.以上两方面结合起来，当」VpV2时，则原广义积分收敛.（2）此广义积分有瑕点X=O与X=l.当L0+0时,因为V》。有瞄Q所以只要取OV—土.则I有-7=^~~=。|土IGrf0+0）,Vxd-x）1顷由于此处。V+Y1，故］，歩券心收敛.Inx当一一。时，因为満M〜号=一土'所以1；7是罪■皴.Inx以上两方面结合起来，则原广义积分发散.试问k为何值时，下列函数列—致收敛：（】）/»Cr）-特eP,0Wo：V+8］J7l0W、VJ7l号vy.【答案】⑴由削/・（工）=网警=0,设r（x）=0（0WxV+8）・则，髒J人3）-3I一既，成>F整，L

又r.Cr）=C-nr"eF,故讎工）在］=+时取得〔0,十8）上的最大值，从而

^sup>|/.（X）—f（x）|—所以*<1.丄购g"刁十+8,+8,*>1.因此当kVl时，原函数列在［0,+8)上一致收敛.(2)当x=0时lim/.Cx)-limO-0.（X）=0（X任〔0,1］）当xW(0,I］时，只要《>号就有*VYL贝IJf(x)=0,故阿(工)=。，则f为（X）=0（X任〔0,1］）/.(xX^GtO.lJ)的极限函数|=，袈?/.《.「)= =I［0. *<1.故liinSUF»51/»(x)—/(x>I= .A■=1.1+8.k>l.所以kVl时，原函数列在［0,1〕上一致收敛.2017年广州大学数学与信息科学学院924数学（数学分析、线性代数）［专业硕士］考研导师圈点必考题汇编（五）说明：①本资料为VIP学员内部使用，整理汇编了历届导师圏点的重点试题及常考试题。一、证明题1.1）证明瑕积分八［«3心汕收敛，且J |ln22）利用上题结果，证明：（J）sin（?）<W—如，⑵J：产耕=2*Iln<>iru\'ln（11?s：）（b,（提示：利用并将它们相加.）【答案］1）由于’所以瑕积分JjfEW收敛.同理，|kS，、，d也收敛.令则有f?ln(coxj-)dr=limf'ln(cos-r)d.rlim[ln(sinz)d/—j"ln(sin/)dz=J,故2J亠j[In(siur)+ln(cosj>]d.r-ln(y.sin2j)dr-[*in(sin2»d.rIn2〔drlim|ln(sin2j-)dr-yln2“一幻limj-yln<Mnu)duyIn2=ln(sinu)dw+-|-Jaln(sinw>dM—In2=ln(sinu)dn~1h2--J—In2.于是/-奇做2)(1)令X=JC-G,则0=LX,dO=-dx.于是[I(st/)ln[sin(n-j-)]<I>d/as*jrlntsiru^clr—|rlnfsinxJdrsvnln(sinz)dj[tfln(sini?)clZ?w故有I/?ln(sin0)dd—jln(snu)dj-y["ln(sin.r)d.»”专J」n(wLr)«ir=号(一奇•In2)-r-j；ln(sinu)<Ui_gln2_gh>2=_gln2.4 4 Z(2)「*%也=「如nHco"）— 一瑚）瑚）曲

=Hn2—=nln2-=Hn2—=nln2-ln2dr-41ln（sirtr）（L-

»ln2nln24（_壹1»2）=2nin2.2.设tUR，是有界闭集.1(幻为E的直径.证明：存在使任m.RV-dUO.【答案】由do驟fl知’对白=十，则存在P・，Q£E・使得火*RQ)++.而均为有界闭集E中的点列，从而有收敛子列(P%>,(Qrt}•设P.—Pj・Q>—f8〉•贝护％，Q,)《d(E)VP(P,,Q,)+土,令oo得*tR，0)Wd(E)V〃R,R),,即以E)=#R・P2>，由于E为闭集从而R.PME.3.设修■为递减正项数列.证明：级数与、2S同时收敛’同时发散.TOC\o"1-5"\h\z•-I ・-9【答案】设正项级数ix与力g的部分和分别是s・=2。.和久=史払.v〃有ir-0 t-1 »-00WSj«=O|+a?+ +a»*Waj+(a*+%)+(a«+ +s)++(at-+az-.i+ +ar**-i)Wa】+2az+4a«+…+2,a2-=j,由此知’若况2*收敛,则心有上界，从而侶・)有上界’即M有上界，因此况。•收敛...0 •->又因为, 2小S2*=a】+么+4-a2-=a】+釦+(。3+4)++(。2・Li+纽.-’“++此・)> +。2+2a«+・・・+2”-'。2”=~(aj4-2a：+4色-H•••4-2"a?-)=号久，由此知，若力七收敛，则{%有上界，故£2喝也收敛.・-】 »-0于是与互2%・同时收敛，同时发散。I Jf・。二、解答题4.计算下列定积分:（I）\（2xi-3）dr；5）£（7）f*drL】+（I）\（2xi-3）dr；5）£（7）f*drL】+石'（2）I'（5）['«an?rd.r；J0（8）|r,~（hu）dr.J丄r-rhu，【答案】(1)J<2jI3)山-十3x）I⑵J"心=£（】+./1）（Lr—（2arctanr.r）||：=就.叽守心十"顷「广亨

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