北京市高三会考数学试卷

北京市高三会考数学试卷一、选择题

1.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则下列结论正确的是（）

A.在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=1

B.在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=2

C.在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0

D.在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0.5

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S5=20，则公差d为（）

A.2

B.1

C.0.5

D.0.25

3.设函数f(x)在区间[0,2π]上连续，且f(0)=0，f(2π)=0，若f(x)在(0,2π)内至少有两个零点，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在(0,2π)内至少有一个极值点

B.f(x)在(0,2π)内至少有两个极值点

C.f(x)在(0,2π)内至少有一个拐点

D.f(x)在(0,2π)内至少有两个拐点

4.已知数列{an}的通项公式为an=n^2-2n，则数列{an}的前n项和为（）

A.n(n+1)(2n-1)/6

B.n(n+1)(2n-1)/3

C.n(n-1)(2n-1)/6

D.n(n-1)(2n-1)/3

5.设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x)>0，若f(0)=0，f(1)=1，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间[0,1]上单调递增

B.f(x)在区间[0,1]上单调递减

C.f(x)在区间[0,1]上有极小值

D.f(x)在区间[0,1]上有极大值

6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S5=31，则公比q为（）

A.2

B.3

C.1/2

D.1/3

7.设函数f(x)在区间[0,2π]上连续，且f(0)=0，f(2π)=0，若f(x)在(0,2π)内至少有一个零点，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在(0,2π)内至少有一个极值点

B.f(x)在(0,2π)内至少有两个极值点

C.f(x)在(0,2π)内至少有一个拐点

D.f(x)在(0,2π)内至少有两个拐点

8.已知数列{an}的通项公式为an=2n+3，则数列{an}的前n项和为（）

A.n(n+1)(2n+1)/6

B.n(n+1)(2n+1)/3

C.n(n-1)(2n+1)/6

D.n(n-1)(2n+1)/3

9.设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x)<0，若f(0)=0，f(1)=1，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间[0,1]上单调递增

B.f(x)在区间[0,1]上单调递减

C.f(x)在区间[0,1]上有极小值

D.f(x)在区间[0,1]上有极大值

10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，S10=55，则公差d为（）

A.2

B.1

C.0.5

D.0.25

二、判断题

1.函数y=x^3在定义域内是奇函数。（）

2.在直角坐标系中，点(2,3)到原点(0,0)的距离是5。（）

3.对于任意的实数a，方程x^2+a=0至多有一个实根。（）

4.如果一个数列的每一项都是正数，那么这个数列一定是递增的。（）

5.指数函数y=a^x（a>1）在实数域上是单调递增的。（）

三、填空题

1.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则f(x)在区间(0,1)内的最大值为_________，最小值为_________。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，S5=20，则数列的公差d为_________。

3.函数y=e^x的图像在第二象限内_________。

4.若数列{an}的通项公式为an=n^2-n，则数列{an}的前5项和为_________。

5.设函数f(x)在区间[0,2π]上连续，且f(0)=0，f(2π)=0，若f(x)在(0,2π)内至少有一个零点，则f(x)在(0,2π)内的零点个数至多为_________。

四、简答题

1.简述函数y=log_a(x)（a>1）的单调性及其与y=a^x（a>1）图像的关系。

2.请解释等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式的推导过程。

3.举例说明在解决实际问题中，如何利用导数来确定函数的极值点。

4.简要说明在解决数学问题时，如何运用数列的极限概念来处理数列的敛散性。

5.请解释在解决函数图像问题时，如何通过求导数来确定函数的增减性和凹凸性。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x^3-3x^2+4x+2在x=1处的导数f'(1)。

2.已知等差数列{an}的第一项a1=5，公差d=3，求第10项an的值。

3.设函数f(x)=e^x-x，求函数在x=0处的切线方程。

4.计算数列{an}的前10项和，其中an=3n-2。

5.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数在区间[1,3]上的定积分∫[1,3]f(x)dx。

六、案例分析题

1.案例分析题：某公司为了分析其销售数据的增长趋势，收集了过去三年（2019年至2021年）的月销售额数据，如下表所示：

|年份|月份|销售额（万元）|

|------|------|---------------|

|2019|1|20|

|2019|2|25|

|2019|3|30|

|2019|4|35|

|2020|1|40|

|2020|2|45|

|2020|3|50|

|2020|4|55|

|2021|1|60|

|2021|2|65|

|2021|3|70|

|2021|4|75|

（1）请根据上述数据，判断销售额随时间的变化趋势，并说明理由。

（2）如果公司希望在未来一年内销售额达到80万元，请根据销售额的变化趋势，提出相应的销售策略。

2.案例分析题：某城市为了改善交通状况，决定对一条主要道路进行扩建。以下是对该道路现有交通流量和扩建后预期交通流量的调查数据：

|时间段|交通流量（辆/小时）|扩建后交通流量（辆/小时）|

|--------|----------------------|--------------------------|

|上午高峰|2000|2500|

|下午高峰|1800|2200|

|非高峰时段|1200|1500|

（1）请分析现有交通流量与扩建后交通流量的差异，并解释原因。

（2）根据上述数据，提出一些建议来提高道路扩建后的交通效率。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，已知生产第一件产品需要10小时，之后每增加一件产品，生产时间增加20%。如果工厂计划在一天内完成所有产品的生产，请问工厂最多能生产多少件产品？一天的工作时间为24小时。

2.应用题：一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的长增加20%，宽增加10%，求长方形面积的变化百分比。

3.应用题：某市供水系统在进行管道改造，原有管道的直径为d，流量为Q。现在计划更换为直径为1.5d的新管道，问在新管道中流量Q是否会增加？如果会，增加的百分比是多少？

4.应用题：一家公司推出了一种新产品，已知该产品每单位时间的需求量与价格成反比关系。在某价格区间内，需求量的函数表达式为D(p)=1000/p，其中p为价格（单位：元）。如果公司的目标是每天销售1000单位的产品，请问应该定价多少才能实现这一目标？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.B

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.A

10.A

二、判断题答案：

1.正确

2.正确

3.错误

4.错误

5.正确

三、填空题答案：

1.最大值为4，最小值为0

2.3

3.递增

4.4050

5.2

四、简答题答案：

1.函数y=log_a(x)（a>1）在定义域内是增函数，其图像随着a的增大而向右平移。与y=a^x（a>1）图像的关系是y=log_a(x)是y=a^x的反函数。

2.等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。前n项和公式为Sn=n/2*(a1+an)或Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]。

3.通过求导数f'(x)并找出f'(x)=0的点，可以确定函数的极值点。如果f'(x)在某点由正变负，则该点为极大值点；如果f'(x)在某点由负变正，则该点为极小值点。

4.利用数列的极限概念，如果当n趋向于无穷大时，数列{an}的项an趋向于一个有限值L，则数列{an}收敛；如果数列{an}的项不趋向于任何有限值，则数列{an}发散。

5.通过求导数f'(x)并分析f'(x)的符号，可以确定函数的增减性。如果f'(x)>0，则函数在该区间内单调递增；如果f'(x)<0，则函数在该区间内单调递减。通过求二阶导数f''(x)并分析f''(x)的符号，可以确定函数的凹凸性。如果f''(x)>0，则函数在该区间内是凹的；如果f''(x)<0，则函数在该区间内是凸的。

五、计算题答案：

1.f'(1)=3-6+4=1

2.an=5+(n-1)*3=3n+2，所以a10=3*10+2=32

3.切线斜率k=f'(0)=e^0-0=1，切线方程为y-0=1*(x-0)，即y=x

4.S10=10/2*[2*3-(10-1)*1]=10/2*[6-9]=10/2*(-3)=-15

5.∫[1,3]f(x)dx=∫[1,3](x^2-4x+3)dx=[x^3/3-2x^2+3x]from1to3=(3^3/3-2*3^2+3*3)-(1^3/3-2*1^2+3*1)=(27/3-18+9)-(1/3-2+3)=9-1/3+2/3=102/3

六、案例分析题答案：

1.（1）销售额随时间的变化趋势是递增的。理由是每年的销售额都比上一年有所增加。

（2）为了达到80万元的销售目标，公司可以考虑提高产品价格、增加广告投入、拓展市场等策略。

2.（1）扩建后的交通流量会增加。原因是扩建后道路的横截面积增加，导致交通流量增加。

（2）为了提高交通效率，可以实施交通信号优化、增设公交专用道、限制车辆通行等措施。

题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念、定理和公式的理解和应用能力。例如，选择题1考察了导数的几何意义。

-判断题：考察学生对基本概念和定理的理解程度。例如，判断题1考察了奇函数的定义。

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