保定市期末高二数学试卷

保定市期末高二数学试卷一、选择题

1.下列函数中，定义域为全体实数的是（）

A.$f(x)=\sqrt{x-1}$

B.$g(x)=\frac{1}{x+1}$

C.$h(x)=\log_2(x^2-1)$

D.$k(x)=\sqrt[3]{x^3-3x}$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=25$，则公差$d=$（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若$f(x)=x^3+3x^2+3x+1$，则$f(-1)=$（）

A.0

B.1

C.-1

D.-3

4.已知$x^2+px+q=0$是一元二次方程，且$p^2-4q>0$，则该方程的解的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个复数根

D.无法确定

5.在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则$B$的坐标是（）

A.$(2,1)$

B.$(-2,-1)$

C.$(1,-2)$

D.$(-1,2)$

6.已知$sinA+cosA=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin2A=$（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\frac{3}{2}$

D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

7.若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{ab}$，则$ab=$（）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知$a^2+b^2=1$，则$a^4+b^4=$（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.在$\triangleABC$中，若$a:b:c=1:2:3$，则$cosA=$（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

10.若$x^2+y^2=1$，则$x+y$的最大值为（）

A.1

B.$\sqrt{2}$

C.$\sqrt{3}$

D.2

二、判断题

1.在一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中，若$a\neq0$，则该方程必有两个实数根。（）

2.函数$y=\frac{1}{x}$的图像是一条经过第一、三象限的双曲线。（）

3.在平面直角坐标系中，任意一点$P(x,y)$到原点$O(0,0)$的距离是$|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$。（）

4.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差，$a_1$为首项，$n$为项数。（）

5.在直角三角形中，若一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，则这两个锐角互为补角。（）

三、填空题

1.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，其图像的顶点坐标为________。

2.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公差$d=2$，则第$10$项$a_{10}=$________。

3.若$\angleA$和$\angleB$是直角三角形的两个锐角，且$\sinA=\frac{3}{5}$，则$\cosB=$________。

4.函数$y=\log_2(x-1)$的定义域为________。

5.在$\triangleABC$中，若$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\triangleABC$为________三角形。

四、简答题

1.简述一元二次方程的判别式及其在求解方程中的应用。

2.请说明如何通过图形法确定直线与直线的交点。

3.简化以下表达式：$\sqrt{16x^2+9y^2-64x+36y-144}$。

4.证明：对于任意的正整数$n$，有$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$。

5.给出两个不同方法来求函数$y=x^3-3x$的单调区间。

五、计算题

1.计算以下函数的值：$f(x)=2x^2-4x+5$，当$x=\frac{3}{2}$时。

2.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，并写出其因式分解形式。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=4n^2+2n$，求第$10$项$a_{10}$。

4.在直角坐标系中，已知点$A(2,3)$和点$B(4,-1)$，求直线$AB$的方程。

5.一个圆锥的底面半径为$r$，高为$h$，求圆锥的体积$V$。已知$r=3$，$h=6$。

六、案例分析题

1.案例背景：

某学校开展了一次数学竞赛，共有$30$名学生参加。竞赛的成绩分布如下表所示：

|成绩区间|人数|

|----------|------|

|0-20|5|

|21-40|8|

|41-60|10|

|61-80|5|

|81-100|2|

请根据上述数据，分析并回答以下问题：

（1）计算这次数学竞赛的平均成绩。

（2）求这次数学竞赛成绩的中位数。

（3）判断这次数学竞赛的成绩分布是否均匀，并说明理由。

2.案例背景：

某班级有$20$名学生，他们的数学成绩如下表所示：

|学生编号|数学成绩|

|----------|----------|

|1|85|

|2|90|

|3|78|

|4|88|

|5|92|

|6|75|

|7|80|

|8|85|

|9|77|

|10|88|

|11|91|

|12|80|

|13|84|

|14|79|

|15|86|

|16|73|

|17|82|

|18|87|

|19|94|

|20|76|

请根据上述数据，分析并回答以下问题：

（1）计算该班级学生的数学成绩的标准差。

（2）若要提升该班级学生的数学成绩，你认为可以从哪些方面入手？请给出具体建议。

七、应用题

1.应用题：

一个长方形的长是宽的$3$倍，长方形的周长是$24$厘米，求长方形的长和宽。

2.应用题：

某工厂生产一批产品，已知生产每件产品的成本为$20$元，每件产品的售价为$30$元。如果工厂计划以$x$元的折扣价销售这批产品，那么工厂希望获得的总利润至少为$800$元。请根据上述条件，建立方程并求解$x$。

3.应用题：

小明去商店购买水果，他带了$50$元。苹果的价格是每千克$10$元，香蕉的价格是每千克$5$元。小明想买$4$千克苹果和$2$千克香蕉，问他是否有足够的钱购买？

4.应用题：

一个班级有$30$名学生，其中有$20$名学生参加了数学竞赛，其中有$10$名学生同时参加了物理竞赛。求只参加了数学竞赛的学生人数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.C

3.A

4.A

5.A

6.C

7.B

8.C

9.C

10.B

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.（2，1）

2.23

3.$\frac{4}{5}$

4.$\{x|x>1\}$

5.等边三角形

四、简答题

1.一元二次方程的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$时，方程无实数根。判别式在求解方程中的应用包括确定方程根的性质和求解方程的根。

2.通过图形法确定直线与直线的交点，可以绘制两条直线的图像，它们的交点即为两条直线的交点。

3.$\sqrt{16x^2+9y^2-64x+36y-144}=\sqrt{(4x-8)^2+(3y+6)^2}=\sqrt{16^2+6^2}=10$。

4.证明：对于任意的正整数$n$，有$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$。

证明过程如下：

（1）当$n=1$时，左边$=1$，右边$=1^2$，等式成立。

（2）假设当$n=k$时，等式成立，即$1+3+5+...+(2k-1)=k^2$。

（3）当$n=k+1$时，左边$=1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)$，

$=k^2+(2k+1)$，

$=(k+1)^2$，

即当$n=k+1$时，等式也成立。

综上所述，对于任意的正整数$n$，有$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$。

5.两个方法求函数$y=x^3-3x$的单调区间：

方法一：求导法

$y'=3x^2-3$，

当$y'>0$时，函数单调递增；当$y'<0$时，函数单调递减。

令$y'=0$，得$x=\pm1$。

当$x<-1$或$x>1$时，$y'>0$，函数单调递增；

当$-1<x<1$时，$y'<0$，函数单调递减。

方法二：图像法

通过绘制函数图像，观察函数的单调性。

五、计算题

1.$f(\frac{3}{2})=2(\frac{3}{2})^2-4(\frac{3}{2})+5=2(\frac{9}{4})-6+5=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$。

2.$20x+10(30-x)=800$，解得$x=10$。

3.苹果的总价为$4\times10=40$元，香蕉的总价为$2\times5=10$元，总价为$40+10=50$元，小明有足够的钱购买。

4.只参加了数学竞赛的学生人数为$20-10=10$人。

七、应用题

1.设长方形的长为$3x$，宽为$x$，则有$2(3x+x)=24$，解得$x=2$，长为$6$厘米，宽为$2$厘米。

2.$20x+10(30-x)-20\times30=800$，解得$x=10$，即折扣价为$10$元。

3.苹果的总价为$4\times10=40$元，香蕉的总价为$2\times5=10$元，总价为$40+10=50$元，小明有足够的钱购买。

4.只参加了数学竞赛的学生人数为$20-10=10$人。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括：

1.一元二次方程的解法、性质和判别式；

2.等差数列的通项公式和前$n$项和公式；

3.三角函数的定义、性质和图像；

4.数列的单调性和极值；

5.函数的定义域和值域；

6.空间几何的基本概念和性质；

7.案例分析题和解题方法。

各题型所考察的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念、性质和公式的掌握程度，如一元二次方程的判别式、三角函数的定义等。

示例：选择正确的三角函数值（如$\sin45^\circ$）。

2.判断题：考察学生对基本概念、性质和公式的理解和应用，如等差数列的定义、三角函数的性质等。

示例：判断$\sin90^\circ=1$是否正确。

3.填空题：考察学生对基本概念、性质和公式的应用，如一元二次方程的解法、等差数列的前$n$项和