2024年粤教沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年粤教沪科版高一数学上册月考试卷591考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、【题文】若的大小关系是（）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.b＞a＞cD.a＞c＞b2、【题文】若圆关于直线对称，则的取值范围是A.B.C.D.3、已知且则等于（）A.m+nB.m-nC.D.4、设函数的值域为R，则常数a的取值范围是（）A.[5，+∞）B.（﹣∞，1]C.[1，+∞）D.（﹣∞，5]5、数列｛an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn()．则数列｛an}（）A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列6、已知全集则（）A.B.C.D.7、已知函数f（x）=-sin（x+），（x∈R），下面结论错误的是（）A.函数f（x）的最小正周期为2πB.函数f（x）在区间[0，]上是增函数C.函数f（x）的图象关于直线x=0对称D.函数f（x）是奇函数8、在鈻�ABC

中，若边长和内角满足b=2c=1B=45鈭�

则角C

的值是(

)

A.30鈭�

B.60鈭�

C.30鈭�

或150鈭�

D.60鈭�

或120鈭�

9、设abc

为三角形ABC

三边，a鈮�1b<c

若logc+ba+logc鈭�ba=2logc+balogc鈭�ba

则三角形ABC

的形状为(

)

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、如图：是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．

11、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角等于____．

12、设f（x）是上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时f（x）=x则f（-8.5）的值是____．13、目标函数z=2x+y，变量x，y满足则z的最小值为____．14、【题文】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是____.15、化简：=____．16、函数f（x）=4﹣x的值域为____评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共2题，共18分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、解答题(共2题，共14分)26、（1）已知求和的值；（2）已知求的值。27、【题文】（本题16分）如图，在城周边已有两条公路在点O处交汇，且它们的夹角为已知与公路夹角为现规划在公路上分别选择两处作为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过城.设

(1)求出关于的函数关系式并指出它的定义域；

(2)试确定点A，B的位置，使△的面积最小.评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)28、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．29、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．30、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=；OP=2．

（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时；求点N移动的距离；

（2）求证：△OPN∽△PMN；

（3）写出y与x之间的关系式；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】【解析】函数的图象如下，若由图可知此时所以即故选D

【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B3、D【分析】【解答】

故选：D.4、C【分析】【解答】∵函数的值域为R，且当x＞2时，log2x＞1；

则当x≤2时，﹣x2+a的最大值能取到1；故有a≥1；

故选C．

【分析】由题意可得，当x≤2时，﹣x2+a的最大值能取到1，由此可得a的范围．5、D【分析】【分析】由已知，当时，所以即又可知数列除第一项外，为等比数列，所以数列既不是等差数列又不是等比数列.选D。6、D【分析】【分析】本题主要考查的是集合的运算。

【解答】由条件可知所以应选D。7、D【分析】解：由题意；f（x）=-cosx，可得A，B，C正确；

由于f（-x）=-cosx=f（x）；函数是偶函数，即D错误；

故选D．

由题意；f（x）=-cosx，可得A，B，C正确，判断D错误，可得结论．

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．【解析】【答案】D8、A【分析】解：由b=2,c=1,B=45鈭�

根据正弦定理bsinB=csinC

得：

sinC=csinBb=1隆脕222=12

又C

为三角形的内角，且b>c

则45鈭�=B>C>0

所以角C

的值是30鈭�

．

故选A．

由B

的度数求出sinB

的值，且根据大边对大角得到C

的度数小于B

的度数，然后由bc

及sinB

的值，利用正弦定理求出sinC

的值，由C

为三角形的内角且小于B

的度数，利用特殊角的三角函数值求出C

的度数即可．

此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，根据b

和c

的大小关系判断得出B

与C

度数的大小关系，进而得出角C

的具体范围是解本题的关键．【解析】A

9、B【分析】解：隆脽logc+ba+logc鈭�ba=2logc+balogc鈭�ba

隆脿1logc鈭�ba+1logc+ba=2

即a(c鈭�b)+a(c+b)=2

隆脿a(c2鈭�b2)=2

即c2鈭�b2=a2

故三角形ABC

的形状为直角三角形；

故选：B

．

结合对数的运算性质，及换底公式的推论，可将已知化为：c2鈭�b2=a2

再由勾股定理判断出三角形的形状．

本题考查的知识点是三角形形状判断，对数的运算性质，难度中档．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

由图知运算规则是对S=S+n•3n；故。

第一次进入循环体后S=0+1×3=3；

第二次进入循环体后S=3+2×32=21；

第三次进入循环体后S=21+3×33=102；

此时；n=4，不满足n＜4，退出循环，输出S=102

故答案为：102．

【解析】【答案】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S加上n•3n；故由此运算规律进行计算，经过3次运算后输出的结果即可．

11、略

【分析】

连结BD，BC1，DC1；

因为E；F分别是BC，DC的中点，所以EF∥BD；

在正方体中，AD1∥BC1；

所以BD与BC1所成的角即为异面直线AD1与EF所成角．因为三角形BDC1为正三角形；

所以BD与BC1所成的角为60，所以异面直线AD1与EF所成角等于60．

故答案为：60

【解析】【答案】利用异面直线所成角的定义将异面角转化为平面角去求解．

12、略

【分析】

由f（x+2）=-f（x）；得f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期是4．

所以f（-8.5）=f（-0.5）；因为f（x）是上的奇函数；

所以f（-8.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5．

故答案为：-0.5．

【解析】【答案】先由f（x+2）=-f（x）；得出函数的周期，然后利用奇偶性求f（-8.5）．

13、略

【分析】

先根据约束条件画出可行域，如图所示：

当直线z=2x+y过点B（1；1）时，z最小是3；

故答案为：3．

【解析】【答案】先根据约束条件画出可行域；再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．

14、略

【分析】【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为是一平放的直三棱柱，底面是边长为2的正三角形，棱柱的侧棱为3，也为高．V=Sh=×22×3=

考点：本题考查了三视图的运用。

点评：对于三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．【解析】【答案】15、【分析】【解答】解：

=

=

=

=

=

故答案为：

【分析】根据向量减法的定义，我们易将式子化为几个向量相加的形式，然后根据向量加法的法则，即可得到答案．16、（﹣∞，5]【分析】【解答】解：函数f（x）=4﹣x；

令：t=（t≥0），则：x=t2﹣1；

那么函数f（x）=4﹣x转化为g（t）=4t﹣t2+1；（t≥0）；

根据二次函数的性质可知：

开口向下；对称轴t=2．

当t=2时；函数g（t）取得最大值为5．

∴函数g（t）的值域为（﹣∞，5]，即函数f（x）=4﹣x的值域（﹣∞；5]．

故答案为：（﹣∞；5]．

【分析】利用换元法转化为二次函数求值域．三、证明题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共2题，共18分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．25、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、解答题(共2题，共14分)26、略

【分析】本试题主要是考核了凑角表示三角函数，求值的运算。以及同角关系式的运用。（1）【解析】

（2）【解析】

由(1)，所以因为所以sinx>0,cosx<0，【解析】【答案】（1）（2）27、略

【分析】【解析】

面积相等法，建立的关系式，根据得

分子分母的x的次数不等，要转化为x的次数相等，然后用均值定理。

解：（1）

整理得

过C作OB平行线与OA交于D，

故定义域为

（2）

当且仅当即时取等.

所以当时，有最小值为

答：当OA=4OB=时，使△的面积最小.【解析】【答案】解：（1）

（2）当OA=4OB=时，使△的面积最小.六、综合题(共3题，共15分)28、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60°角求得ED=EC，列出方程EC+ED=（1+）EC=3，解方程即可求解．【解析】【解答】解：∵AE=ED

在Rt△EDC中；∠C=60°，ED⊥BC；

∴ED=EC；

∴CE+ED=（1+）EC=3；

∴CE=12-6．