2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷580考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、点M的直角坐标为化为极坐标为（）A.B.C.D.2、【题文】如果执行右边的框图；输入N=5，则输出的数等于（）

A.B.C.D.3、的值为（）.A.B.C.D.4、直线λ：2x-y+3=0与圆C：x2+（y-1）2=5的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定5、一个几何体的三视图如图所示；则这个几何体的体积为(

)

A.(9+2娄脨)36

B.(8+2娄脨)36

C.(6+娄脨)36

D.(8+娄脨)36

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是．7、直线被圆所截得的弦长为____．8、【题文】P为抛物线上一动点，则点P到y轴距离和到点A距离之和的最小值等于．9、已知命题p：|x-4|≤6，q：x2-m2-2x+1≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______．10、过点P(2,1)

作直线l

与x

轴，y

轴的正半轴分别交于AB

两点，则使|PA|?|PB|

取得最小值时的直线l

的方程是______．11、若方程x2m+y22m鈭�1=1

表示椭圆，则m

满足的条件是______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共4分)19、（．（本小题满分12分）已知点A，B的坐标分别是（0，–1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若过点D（2，0）的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求与面积之比的取值范围（O为坐标原点）.20、（本小题满分12分）设数列的前n项和为且方程有一根为n=1,2,3,试求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)21、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．22、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．23、已知a为实数，求导数24、解不等式组：．评卷人得分六、综合题(共1题，共5分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】：∵M的直角坐标为设M的极坐标为（ρ，θ），则ρ=又tanθ=∴θ=∴M的极坐标为故选D【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】

试题分析：根据程序框图可知，输出的数应该等于

考点：本小题主要考查程序框图的执行；考查学生的识图能力和运算求解能力.

点评：解决此类问题，关键是判断准程序执行的次数，不要多执行或少执行一次.【解析】【答案】D3、A【分析】【解答】根据题意，由于二倍角的正弦公式可知故可知答案为A.

【分析】主要是考查了二倍角的正弦公式的逆用，属于基础题。4、A【分析】解：圆C：x2+（y-1）2=5的圆心C（0，1），半径r=

圆心C（0；1）到直线λ：2x-y+3=0的距离：

d==＜r=

∴直线λ：2x-y+3=0与圆C：x2+（y-1）2=5相交．

故选：A．

求出圆心到直线的距离；与圆半径相比较，能求出结果．

本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．【解析】【答案】A5、D【分析】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成；

半个圆锥的体积为13隆脕12隆脕娄脨隆脕1隆脕3=16娄脨3

四棱锥的体积为13隆脕2隆脕2隆脕3=433

故这个几何体的体积V=(8+娄脨)36

故选D．

这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成；从而求两个体积之和即可．

本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】试题分析：的导函数为由题意知时，即又在上递增，则实数的取值范围是考点：利用函数在某区间上的单调性求参数的取值范围。【解析】【答案】7、略

【分析】

由参数方程可知，圆的半径是2，圆心坐标是（1，-）；

圆心到直线的距离是故弦长为

故答案为：．

【解析】【答案】本题拟采用几何法求解；求出圆的半径，圆心到直线的距离，再利用弦心距；半径、弦的一半三者构成的直角三角形，用勾股定理求出弦长的一半，即得弦长。

8、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】9、略

【分析】解：关于p：|x-4|≤6；解得：-2≤x≤10；

q：x2-m2-2x+1≤0（m＞0）；解得：1-m≤x≤1+m；

若￢p是￢q的必要不充分条件；

即q是p的必要不充分条件；p⇒q；

∴（“=“不同时成立）；

解得：m≥9；

故答案为：[9；+∞）．

解出关于p；q的不等式，得到p是q的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．

本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．【解析】[9，+∞）10、略

【分析】解：设直线ly鈭�1=k(x鈭�2)

分别令y=0x=0

得A(2鈭�1k,0)B(0,1鈭�2k)

．

则|PA|?|PB|=(4+4k2)(1+1k2)=8+4(k2+1k2)鈮�4

当且仅当k2=1

即k=隆脌1

时，|PA|?|PB|

取最小值；

又隆脽k<0

隆脿k=鈭�1

这时l

的方程为x+y鈭�3=0

．

故答案为：x+y鈭�3=0

．

设直线l

的点斜式方程；求出AB

两点的坐标，代入|PA|?|PB|

的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．

本题考查了直线的点斜式方程，以及基本不等式的应用．【解析】x+y鈭�3=0

11、略

【分析】解：根据题意，若方程x2m+y22m鈭�1=1

表示椭圆；

则有{m>02m鈭�1>0m鈮�2m鈭�1

解可得m>12

且m鈮�1

故答案为：m>12

且m鈮�1

．

根据题意，由椭圆的标准方程形式分析可得{m>02m鈭�1>0m鈮�2m鈭�1

解可得m

的取值范围，即可得答案．

本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的方程的形式与特点．【解析】m>12

且m鈮�1

三、作图题(共9题，共18分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共4分)19、略

【分析】

(1)设点的坐标为∵∴．整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．···········4分(2)解法一：由题意知直线的斜率存在，设的方程为（）①将①代入得（*）由解得由（*）式得设则②令则即即且由②得，即．且且．解得且且．∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．12分解法二：设则可得：将代入可得：解得且且．12分【解析】略【解析】【答案】20、略

【分析】本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。（1）根据已知条件，对n令值，得到前几项的和，然后归纳猜想。（2）运用数学归纳法加以证明，分为两步骤，注意要用到假设。证明：当n=1时，当n≥2时，代入（*）式得①（3分）当n=2时，由①得（4分）当n=3时，由①得（5分）可以看到上面表示的三个结果的分数中，分子与项数一致，分母是项数加1，由此猜想n=1,2,3（6分）下面用数学归纳法证明这个猜想：（1）当n=1时已知猜想成立（7分）（2）假设n=k时猜想成立，即则当n=k+1时，由①得这就是说，当n=k+1时，猜想也成立（10分）根据（1）和（2），可知对所有正整数n都成立（12分）【解析】【答案】由当n=2时，由①得当n=3时，由①得猜想n=1,2,3证明见解析。五、计算题(共4题，共20分)21、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．22、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．23、解：【分析】【分析】由原式得∴24、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．六、综合题(共1题，共5分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角