人教版数学中考专题复习：几何探究问题压轴题专项训练

人教版数学中考专题复习：几何探究问题压轴题专项训练

1.如图1,△ABC是等腰直角三角形，四边形AOE尸是正方形，。、尸分别在A3、AC边上，此时

BD=CF,4Q_LCF成立.

(1)当正方形ADE/绕点A逆时针旋转。(0。＜夕＜90。)时，如图2,成立吗？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由.

(2)当正方形AOEF绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长8。交C产于点G.求证：BD±CF；

⑶在(2)小题的条件下，4c与8G的交点为M,当48=4,后时，求线段CM的长.

2.如图，AAOC和均为等腰三角形，NCAD=/DBE,AC=AD,BD=BE,连接CE,点尸为CE

的中点.

⑴如图1,A,。、8在同一直线上，ZCAD=ZDBE=90°fAC=AD=\,BD=BE=2,求OF的长度;

(2)如图2,4、D、产在同一直线上，G为A厂延长线上一点(4代尸G),且GE=AC,连接A8,求证:

NAGE=2NBAD；

(3)如图3,在3)间的条件下，将△AOC绕着点O逆时针旋转，连接8F,将ABD尸沿着8。翻折得

ABDH,连接E”，当C尸最大时，直接写出此时点8到直线E”的距离.

3.如图，将一个矩形4BCD绕点A顺时针旋转a（00＜aW90。），得到矩形连接8D

⑴探先

①如图1,当a=90。时，点G恰好在08的延长线上，若46=1,求8C的长；

②如图2,连接AG，过点。作RM〃AG交8。于点M,线段与0M相等吗？请说明理由.

（2）在探究（1）②的条件下，射线03分别交4R,AG于点P,N（如图3）.求证：

①MN=AN；

②MN?=PN•DN.

4.如图1,在△ABC中，NBAC=90。，4B=AC=4,点E为边AC上一点，以AE为斜边，在A4BC外，作

LADE,使得NADE=90。，且OE=D4.现将△AOE绕点4逆时针旋转，旋转角为a（0。＜。＜90。），连接

BE.

图1图2

（1）如图2,当a=15。且BE〃4。时，求BE的长;

（2）连接C£,设CE的中点为点RAE的中点为点"，连接OF,直线。尸与线段BE交于点G,连接G”.

①求证：DFLBE；

②探索线段GH,GD,GE之间的数量关系.

5.如图，已知正方形ABC。，点七为上的一点，EFA.AB,交BD于点、F.

⑴如图1,直按写出我的值_______：

AE

(2)将A/绕点8顺时针旋转到如图2所示的位置，连接4反DF,猜想OF与AE的数量关系，并证明

你的结论：

(3)如图3,当BE=B4时，其他条件不变，AEBF绕点B顺时针旋转,设旋转角为。(0°＜。＜360。)，当a

为何值时E4=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出。的值.

6.小明遇到这样一个问题：如图1,在阳△ABC中，NBAC=90。，4B=AC点。，E在边BC上,

ND4E=45。.若8D=3,CE=1,求OE的长.

小明发现，将绕点4按逆时针方向旋转90。，得到AACF,联结石尸(如图2),由图形旋转的性质和

等腰宜角三角形的性质以及ND4E=45。，可证EGADAE,得FE=DE.解△产CE,可求得尸石(即

DE)的长.

(1)请回答：在图2中，NFCE的度数是,£＞E的长为.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

(2)如图3,在四边形A8C£＞中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,尸分别是边BC,CO上的点，且NE4F=

^ZBAD.猜想线段BE,EF,尸。之间的数量关系并说明理由.

7.如图，两个等腰直角△ABC和ACOE中，ZACB=ZDCE=900.

(1)观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与8D的数量关系是,位置关系是.

(2)探究证明把△(?£>£绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)拓展延伸：把△《£>£绕点。在平面内自由旋转，若AC=BC=13,DE=\0,当A、E、。三点在同一条

直线上时，请宜接写出4。的长.

8.在边长为2面的正方形A3CO中，点N为84延长线上一点，连接ON.

(1)如图I,以8。为边向内作正△8CM,连接MM当C,M,N三点共线时，求：AAON的面积;

(2)如图2,以BC为边向外作正△BCM,连接OM,CP平分N8CO交OM于点P,连接尸氏当NAND=

60。时，连接NP.证明：DN+BN=gPN;

(3)如图3,当N4NO=45。，点尸为正方形内一任意点，连接8P,CP,DP,NP,当BPKP+。尸取最小值

时，直接写出「解的值.

9.已知d5C是等腰三角形，AB=AC,将“8C绕点B逆时针旋转得到“VBC,

(1)感知：如图①，当8c落在AB边上时，乙TAS与NC'CB之间的数量关系是(不需要证明)；

(2)探究：如图②，当8c不落在A8边上时，N/TA8与NOC8是否相等？如果相等；如果不相等，请说

明理由；

(3)应用：如图③，若N84C=90。，A4\CC交于点E,则N/TEC=_____度.

10.问题背景：在解决“半角模型'’问题时，旋转是一种常用方法.如图①，在四边形ABC。中，

AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,点、E,尸分别是8C,C£＞上的点，且NE4/=60。，连接

EF,探究线段BE,EF,。尸之间的数量关系.

GA

图①图②

⑴探究发现：小明同学的方法是将△可绕点A逆时针旋转120。至AADG的位置，使得48与AD重合，

然后证明A4G产经△?!£「，从而得出结论：；

(2)拓展延伸：如图②，在正方形4BCO中，E、尸分别在边BC、CO上，且Z£4F=45。，连接所，(1)中

的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.

(3)尝试应用：在(2)的条件下，若BE=3,DF=2,求正方形A8CO的边长.

11.如图1,在RSABC中，ZACB=90°,A8=10,BC=6.D、E分别是AB、AC边的中点，连接

DE.现将AAOE绕A点逆时针旋转，连接8。，CE并延长交于点足

⑴如图2,点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P.

①求证：AE*AB=AD*AC；

②求ar的长；

(2)如图3,若4尸恰好平分ND4E,直接写出CE的长.

12.如图，在RQABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点P是AB边上一动点，作PO_LBC于点。，连接

A。，乃绕点A逆时针旋转90。，得到AE,连接CE,DE,PE.

图1图2备用图

⑴求证：四边形PQCE是矩形;

(2汝口图2所示，当点P运动84的延长线上时，OE与AC交于点F,其他条件不变，已知80=28,求

APA…

丁的值；

AF

(3)点P在A8边上运动的过程中，线段AD上存在一点Q,使QA+Q8+QC的值最小，当QA+Q8+QC

的值取得最小值时，若A。的长为2,求P。的长.

13.如图，四边形A8C。是正方形，AASE是等边三角形，点”是线段3。(不含3点)上的点.

(1)当点M是CE与B。的交点时，如图I,求NDWC的度数；

⑵若点M是40上任意一点时，将8M绕点8逆时针旋转60。得到BN,连接EM如图2,求证:

EN=CM；

(3)当点M在何处时，8M+2cM的值最个，说明理由.

14.如图，在中，ZABC=90°,Z4CB=30°,将-ABC绕点。顺时针旋转一定的角度。得到

△DEC,点、A,8的对应点分别是点。，E.

(1)如图①，当点£恰好在4c边上时二连接AO,求NA£>E的度数；

(2)如图②，当。=60时，若点尸为AC边上的动点，当/尸BC为何值时，四边形BFDE为平行四边形？请

说出你的结论并加以证明

15.已知4。是等边△八8C的高，4C=2,点0为直线4。上的动点(不与点A重合)，连接80,将线段

绕点。顺时针旋转60。，得到线段O£连接RE.

(1)问题发现：

如图I,当点。在线段A。上时，线段A。与CE的数量关系为,N4CE的度数是

(2)问题探究：

如图2.当点O在线段AD的延长线卜时，(I)中结论是否还成立？请说明理由.

(3)问题解决：

当NAEU30。时，求出线段8。的长

16.在△力BC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,点。在斜边AB上，且满足8D=：AB,将线段OB绕点。

逆时针旋转至。石，记旋转角为明连接4E,BE,以AE为斜边在其一侧作直角三角形AER且NA”E=

90°,ZE4F=60°,连接CF.

⑴如图1,当a=180。时，请直接写出线段8E与线段。尸的数量关系；

(2)当0。<(1<180。时，

①如图2,(1)中线段与线段C户的数量关系是否仍然成立？诸说明理由;

②如图3,当5,E,r三点共线时，连接CE,判断ACEF的形状，并证明.

17.如图1,在R/AABC中，NACB=90。，E是边4c上任意一点(点E与点A,。不重合)，以CE为一

直角边作RMECD,ZECD=90Q,连接BE,AD.若AC=BC,CE=CD.

⑴猜想线段BE,A。之间的数量关系及所在直线的位置关系，写出结论并说明理由；

⑵现将图1中的心AECD绕着点。顺时专旋转锐角a,得到图2,请判断①中的结论是否仍然成立，若成

立，请证明；若不成立，请说明理由.

18.如图①，菱形ABCZ)和菱形4犷G有公共顶点A,点E,G分别落在边4rA£＞上，连接。P,

(1)求证：DF=B卜;

(2)将菱形AEAG绕点A按逆时针方向旋转.设旋转角NBAE=a(O°WaW18O。)，且48=6,AE=&,

ZDAB=ZGAE=^)0.

①如图②，当。=90。时，则线段。尸的长度为.

②连接BO,当△。即为直角三角形时，则旋转角。的度数为1

19.如图1,点E为正方形A8CO内一点，ZAEB=90°,现将/?/△ABE绕点8按顺时针方向旋转90。，得

到△C8产(点4的对应点为点C),延长AE交C尸于点G.

图1图2图3

(1)求证：四边形8EGF是正方形；

(2)连接。£,①如图2,若A3=15,CG=3,试求的长；②如图3,DA=DE,求证：CG=FG.

20.(1)如图1,△ABC和AAMN都是等腰直角三角形，直角顶点为点4,ZkABC固定不动，4AMN可以绕

着点儿旋转.

①如图2,将44MN绕点A旋转，使点M落在边上，连接CN.

直接写出图中的全等三角形：：直接写出线段CMCM,C8之间满足的等量关系为：

②如图2,试探索线段MA,MB,之间满足的等量关系，并完整地证明你的结论；

(2)如图3,P是等腰直角aABC内一点，ZBAC=90°,连接RI,PB,PC,将AMP绕点A顺时针旋转

90。后得到△C4Q,连接尸Q.已知以=2,PB=3,若NPQC=90°,求PC的长.

参考答案:

1.

解：BD=CF成立.

理由：・••△ABC是等腰直角三角形，四边形40瓦是正方形,

：.AB=AC,AD=AF,NRAC=ND4户=90°,

VZBAD=^BAC-ZDAC,ZCAF=ZDAF-ZDAC,

：.ZBAD=Z.CAF,

在△84。和VC4产中，

AB=AC

•ZBAD=ZCAF,

AD=AF

：.^RAD^^CAF.

・•・BD=CF；

(2)

证明：设8G交AC于点M,如图所示：

由(1)可得：ABA原屋X尸,

:.ZABM=NGCM,

•・•NBMA=4CMG,

：.ABMA^CMG,

・・・NBGC=NWC=90。，

:.BD1CF；

(3)

解：过点尸作/WJ_4c于点N,

E

;在正方形AOEF中，AD=DE=应,

AE=>IAD2+DE2=2»

/.AN=FN=-AE=\,

2

•・•在等腰直角中，AB=4,

：.CN=AC-AN=3,BC=>IAB2+AC2=4^»

FN1

/.在Rt^FCN中,tanZ.FCN=,

，在RhABW中，tan^ABM=—=tan^FCN=-,

AB3

14

AAM=-AB=-,

33

48

：.CM=AC-AM=4——=-.

33

2.

(1)

解：•••AC=AD,BD=BE,NCAD=NDBE=90*,

.-.ZACD=Z4DC=45°,NBDE=NBED=45。,

Z.CDE-1800-ZADC-Z-BDE=90°,

・•.♦CQE为直角三角形，

vAC=A£)=l,BD=BE=2,

••­CD=\lAC2+AD2=y/2»DE=QBD2+BE2=2&，

,,CE=ylcif+DE2=屈，

•.F为CE中点，

.八々»回

••DF=—CE=---;

22

(2)

证明：过点E作"//AC,

:.ZACF=NFEH,

在・ACF与6HEF中,

4CFA=4EFH

CF=EF,

NACF=/FEH

：.*ACF—HEF,

•••AC=EH,/EHF=NCAD=/DBE,

:AC=GE,

：.EH=GE,

：2EHG=/EGH,

•・NEHG+/EHF=18&,

：.NDBE+ZHGE=180°,

在四边形8OGE中，

NBEG+/BDF=180。,

•；NBDF+NBDA=180。,

：&EG=NBDA,

,AC=ADfAC=GE,

..AD=GE,

在*ADB与*GEB中,

AD=GE

<NBDA=NBEG,

BD=BE

❷ADB2GEB,

:.BA=BG,/BAD=/BGE,

；"BAD=/BGD,

ZAGE=ZAGB+/BGE=2NB4D；

(3)

解：在，CZ)尸中，CF<CD+DF,

当C、。、E三点共线时，且产为CE中点，

此时C尸=8+。/=；叱，CF取得最大值，

由(1)可得。。=应，DE=2&，

:CE=3近,

.•.CF=EF=-CE=-42,

22

.刖吩「户V2

•"Dr=DE-CF=19

2

•：NFDB=45。，DF=—,

2

ZHDB=45°,DH=—f

2

•••/FDH=900,

在Ri今EDH中,

EH=JDE?+DH，=J(2司+停=率，

如图所示：过点尸作AG_L8E,过点”作EG的延长线于点朋,

:,FG//DB///以，

CA

》EFG〜-EDB,

"二匕即FG/

BDED丁*

：.FG=-

2

•.•点人”关于对称，且FG1BE,HMA.EM,

3

:.FG=HM=士

2

设点B到EH的距离为/?,

则S.EHB=；xEBxHM=；xEHxh,

可得LX2X3=L妈x。，

2222

6后

解得：h-------,

34

•••当。尸最大时，点8到直线E”的距离为2叵.

34

3.

(1)

①如图1,

;四边形A8C。是矩形，

：.CD=AB,BC=DA,/84。=90。，

;将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90。得到矩形ABCD],

：.ZDiAD=ZBAD=90°,CiDi=CD=A8=\f

，AB与力。重合，即点A、B、在同一条直线上，

设BC=DA=DiA=xf则DiB=x-1,

TN。尸N8AD=90°,NDiBC尸NABD,

：・4D]BC]SAABD,

.D1B=C1DL

**ABDA

・・.3=L

1X

解得百=竽1=臂

经检验，菁=上咨,々=与叵是原方程的解，但勺=与叵＜0（不符合题意，舍去）,

.・・

2

②D/M=。"，理由如下：

JZAD/D=ZADDi,

VD/C/MB,ZC/DM=ZBAD=90°,AD^DA,

：・ACQ/Ag4BAD(SAS),

：.ZDtACi=ZADB,

♦；DIM"ACI,

/.NAD]M=/DIACI,

/./ADiM=/ADB,

/.ZADjD-ZADiM=ZADDi-ZADB,

・••ZMD]D=ZMDDh

：,DiM=DM.

⑵

证明：如图3,连结AM,

图3

®VAD/=AD,DiM二DM,AM=AMf

：.AADiM^AADM(SSS),

AZADIM=ZADM,/MAD尸NMAD,

VNAD]M=NNADi,

・•・NNAD尸/ADM,

/./NADi+/MAD产NADM+NMAD,

,/NNAM=/NADi+/MAD],NNMA=NADM+NMAD,

:・/NAM=/NMA,

:・MN=AN.

②♦:NNAD尸NADM,

:"NAP—NDA,

VNANP=/DNA,

•'△ANPs△。帅，

.PN_AN

•‘俞一丽’

:・A2PN・DN,

・・・M解=PN・ON.

4.

⑴

解：如图2,过点A作AM_LBE于M,

D

VZADE=90°,DE=DA,

AZD^E=ZDEA=45°,

*：BE//ADf

：.ZAEM=/DAE=^°,

VAMA.BE,

/.NE4M=/AEM=45。，

：.AM=EMf

“15。,

AZDAB=90°+15°+45°=150°,

VAD//BE,

/.ZABE+ZDAB=ISO°,

JNA8E=30°,

・"M=；AB=2=ME,BM=GAM=26,

：・BE=BM+ME=26+2；

(2)

①证明：如图3,延长EO至M使。N=OE,连接4N,连接NC交班:于点O,

VZADE=90°,DN=DE,

:,AE=AN,

:.NAEN二NANE=45。,

AZNAE=90°=ZBACf

：.ZBAE=ZCAN,

又YAN=AE,AB=AC,

:.^ABE^△ACN(SAS),

：.NABE=/ACN,

■:ZABE+ZCBE+ZACB=90°,

:.ZCBE+ZACB+ZACN=90°,

:.N80090。，

:・BE1NC,

■;DN=DE,点F是EC中点,

:・DF〃NC,

•••DFLBE；

②解：GD-GE=4iGH,理由如下：

如图4,连接过点H作〃P_L”G,交DG于P,

BC

图4

VZADE=90°,DN=DE,点〃是AE的中点，

：.DH=HE,DH±AE,ZDEA=45\

:.NDHE=900,

•；HPLHG,

:.NPHG=NDHE=90。,

：.NDHP=NEHG,

•；DG上BE,

ANDGE=NDHE=90。,

・•・点。，点”，点G,点E四点共圆，

；・NDEH=NDGH=45。,

/.ZHPG=ZDGH=45°,

:・PH=HG,

：.PG=y/2GH,

•:PH=HG,ZDHP=ZEHG,DH=HE,

:•△DPH@MHG(SAS),

[DP=GE,

•:DG-DP=PG,

:・DG-GE=4iHG.

5.

(1)

QAD是正方形AAC。的对角线，

・・,NA8O=45。，BD=y/2AB，

­.EF.LAB,

N班方=90。，

/.ZBF£：=ZABD=45O,

:.BE=EF,

BF=五BE，

DF=BD-BF=近AB-&BE=正(AB-BE)=近AE,

AE

故答案为：&;

(2)

。尸=&AE，

理由：由(1)知，BF=6BE，BD=&B，NBFE=ZABD=45。,

正,

BEAB

由旋转知，ZABE=^DBF,

「.空二处二技

AEAB

DF=>/2AE;

(3)

如图3,连接O£CE

图3

*：EA=ED,

，点上在40的中垂线上，

：,AE=DE,BE=CE,

•・•四边形ABC。是正方形，

.\ZBAD=ZABC=90°,AB=BC,

BE=CE=BC9

•••△8C£是等边三角形,

..ZCBE=60P,

.•.ZABE=ZABC-Z.CBE=90°-60°=30°,即：a=30。,

如图4,同理，△BCE是等边三角形，

.•.ZABE=ZABC+ZCBE=90o+60o=150o,即：a=150°,

故答案为:30。或150°.

6.

(1)

解：•.•将△川£)绕点4按逆时针方向旋转90。，得到AACR

：.7ADB尔AFC

ZACF=ZABD

•.•AB=AC,NBAC=90。

:.ZACB=ZABC=45°

ZACF=ZABD=45°

ZFCE=ZACF+ZACB=90°

在RlVFCE中,

♦.80=3,CE=[,FC=BD=3

:.EF=ylcF2+CE2=V32+12=710

故答案为：90°；Vio

(2)

猜想：EF=BE+FD；

理由如下：

如图，将△A8E绕点4按逆时针方向旋转，使AB与A。重合，得到△ADG,

:,BE=DG,AE=AG,ZDAG=^BAE,NB=NADG,

•・・NB+NADC=180。，ZB=ZADG,

・・・NAOG+NAOC=180。，即点八D,G在同一条直线上.

*：ZEAF=^ZBAD,

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=/BAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=NE4F,

即NG4/=NEAF.

AE=AG,

在AAE”和ZkAGF中，＜NE4/=NG4尸，

AF=AF

：./\AEF^^AGF,

:・EF=FG

VFG=DG+FD=BE+OF,

：・EF=BE+FD

7.

(1)

如图1中，延长AC交B。于”.

,:AC=CB,/ACE=NBCD,CE=CD,

/.△ACE^ABCD,

：,AE=BD,/EAC=/CBD,

VZ£AC+ZA£C=90°,NAEC=NBEH,

：・NBEH+NEBH=9()Q,

，/£778=90。，RRAE±BD,

故答案为AE=8。，AELBD.

(2)

结论：AE=BD,AEVBD.

理由：如图2中，延长AE交8。于”，交8c于O.

:.ZACE=/BCD,

;AC=CB,/ACE=NBCD,CE=CD,

AAACE^ABCD,

：.AE=BDfZEAC=ZCBD,

•・・NE4C+/AOC=90。，NAOC=/BOH,

:・/BOH+/OBH=90。,

•••NOHB=90。,

即AELBD.

(3)

当射线AO在直线AC.的上方时，作CH_LAO于〃.

图3

*：CE=CD,NECD=90。,CHIDE,

:,EH=DH,CH=』DE=5,

在Rt&AC"中，

•・・AC=13,CH=5,

AA//=7132-52=12,

・•・AO=A"+OH=12+5=17.

②当射线4。在直线AC的下方时，作CHL4Q于凡

A

同法可得：AH=12,故40=4"-。〃=12・5=7,

综上所述，满足条件的AD的值为17或7.

8.

(1)

解：•・•四边形ABC。是正方形，边长为2#

AB=BC=CD=AD=2底

ZBAD=ZABC=90°

「△BCM是正三角形

/.N8CM=60。

在Rt/BCN中，

BN

-----=tanN8CM二万

BC

；・BN=WBC=6近

：.AN=BN-AB=6应一2#

VZDAN=1800-ZfiAD=90°

・•・△ANO是直角三角形

:.—2(675-2病X2而

=12百-12

(2)

证明：•・•四边形A8CO是正方形，边长为2太

/.AB=BC=CD=AD=2y/6

NBAD=NABC=90°

VZDAN=1800-ZBAD=90°

•••△ANO是直角三角形

在△4N£>中，N4NO=60。，

AD=246

AF)

—=sinZAND=sin60°

DN

AN=DNxcos600=2①

如图4.作干点从交C£＞于点G.

作MEJ_8C于点E,作MnLOC交

。。的延长线于点F,则GH_L。。于点”

则四边形BCG”、四边形4/7G。、四边形CEM尸都是是矩形.

设CG=BH=x,则DG=DC-CG=2瓜一x,

VCP平分乙BCD

：.NGCP=WN8CD=45。

•・•ZCGP=90°

，ZGCP=ZPCG==45°

•••△PGC是等腰直角三角形

/.GP=GC=x,PH=GH-GP=2#一%

•••△BCM正三角形

••・NMCE=60。，CE=^BC=46

FM=CE=4^

在RsMCE中，CM=BC=2瓜

NCEM=90。

:.ME=CMsinZMCE=CA/sin60°=372

：.CF=ME=342

・•・DF=DC+CF=2X/6+372

VZDGP=ZF=90°

NPDG:NMDE

:•人PDGs人MDF

.PGDG

^~MF~~DF

.x_2\/6—x

・.瓜―2瓜+3丘

解得x="一&

/.CG=GP=BH=瓜一五,DG=AH=PH="&

JNH=AN+AH=76+372»

BN=NH+BH="+3&+6-&

=2瓜+2&

:.DN+BN=472+2>/6+272

=672+2x/6=2V6(\/3+1)

在RMPHN中，

PN2=PH2+NH2

=(\/6+V2)2+(瓜+3近平

=8(石+1)2

••・PN=2&(6+1)

:・DN+BN=QPN

(3)

PAT2=64+1673

理由如下：

如图5,

图5

将ABCP绕点3顺时针旋转60°,

得到力。9,连接PP，

ANP8P'=60。

△BCPQABCP

.\CP=CPf

BP=BP

NBPC=/BPC

•••△8PP为等边三角形

BP=PP

：.BP+CP+DP=PP+CP+DP

当。、P、〃、E四点共线时，

BP+CP+DP=PP,+CP,+DP最小.

此时，NBPC+NBPP=18O°,

JNBPC=NBPC=180°-60°=1200

・•・Z.CPC=/BPC-ZBPP=1200-60o=60°

•・•NCPD+NCPC=180。

:.NCPD=1800-4cpe=120°

将ABCP沿CP翻折，BP落在DP上,

,/DC=BC

・・・oc与8C重合

：.ZBCP=ZDCP=45°

:・/CDP=/CBP=15°

过点P作PH_LAB于点”，交CD于点、G,

由(2)知CG=PG="一五

PH=DG=AH=^6+^2

•・・NANQ=45。，N04290。

AD=2y/6

:・AN=AD=2R

・•・NI1=AN+AII=2R+瓜+4i

=3V6+V2

・・・PN'PFP+NH2

=(>/6+x/2)2+(3«+&)2

=64+166.

9.

(1)

感知：•••将❷48c绕点B逆时针旋转得到ZA'BC'=ZABC,

Z4'BC+ZCBA=ZABC+ZC,BA,当BC落在48边上时，

即N/T8A=NC'8C,

：A'B=AB,C'B=BC,

180°-ZA'BA1800-ZC*BC

:.-------------------=---------------------,

22

即N/VA5=NCC8,

故答案为：相等；

(2)

探究：N4A8=NC，C8,证明如下：

•.•将eABC绕点、B逆时针旋转得到-48。，

：.A'B=AB,C'B=BC,ZABA=ZC,BC,

BCBC'

••,

BABA'

••.ZA'AB=NCCB；

(3)

应用：•••ZA，A8=NCC8,

.-.ZBA,A=ZC'CB,

■:C'B=CB,

：2C'CB=NCC'B,

••.NBA'A=NCC，B,

设C'B与A石相交于点O,如图所示:

•••ZAPB=NC'OE,

AZCEO=NOBA'=ZACB,

,AB=AC,ZBAC=90°,

..ZACB=450=ZC'EOf

ZA£C=1800-ZC£0=135°.

10.

(1)

解：•••△ABE绕点A逆时针旋转120。至AAOG的位置，使得AB与AD重合,

AZEAG=ZBAD=120°,

*/ZBAE=ZBAD-ZEAD=\200-ZEADfZDAG=ZEAG-ZEAD=\200-ZEAD,

:,NBAE=/DAG,

且AE=AG,

：.ZiBA比△OAG(44S),

・・・NEB4=/GOA=90。，GD=BE,

・•・NGDA+ZADF=90o+90°=180°,

AG.O、尸三点共戌，

又由已知：Z£AF=60°,

JZGAF=ZEAG-ZEAF=120°-60°=60°,

AE=AG

在“IG/7和AAEF中：＜Z.EAF=NGA尸=60,

AF=AF

：.^AGF^^AEF(SAS),

/.EF=GF=GD+DF=BE+DF.

(2)

解：(1)中的结论依然成立，即：EF=BE+DF,理由如下:

将△40尸绕点A顺时针旋转90。，。点落在8点处，尸点落在G点处，连接G8,如上图,

'：N£A”=45",

AZD4F+ZBAE=45°,

;旋转90。，即/唐G=90。，

/.NBAG+NB4E=90。-NO4尸=90°-45。=45。,

：.ZDAF=ZBAG,

AG=AF

在和AM。中：,NBAG=NOA尸，

AB=AD

△物D(S4S),

工/ABG=NA。/=90°,BG=DF,

ZABG+Z/tfiE=900+90°=180°,

:.G、B、E三点共线，

又已知/E4F=45。，

工ZGAE=90°-Z^^=90°-45°=45°,

：.ZGAE=ZEAF,

AG=AF

在AGAE和△以E中：,NGAE=N/<4E=45,

AE=AE

•••△GAEg△用E(S4»,

JEF=GE=GB+BE=DF+BE.

(3)

解：设正方形边长为x,贝iJEC=5CBE=x・3,FC=CD-DF=x-2f

由(2)中结论可知：EF=BE+DF=3+2=5,

在RtAEFC中，由勾股定理有：EO+C产二七尸，代入数据：

：.(x-3)2+(x-2Y=25,

解出：刀尸6,12=-1(负值舍去)

・••正方形的边长为6.

11.

(1)

①证明：・・・。、E分别是AB、AC边的中点，

:.DE//BC,

：.△AOES/XABC,

.AE_AD

•・就一布’

：.AE*AB=AI>AC；

②解：如图1,

B

lD_____-71

C

图1

作CG于G,作FHLAB于H,

在RtA4BC中，AB=\O,BC=6,

•••AC=8,

••・AE=4,

：.BE=AB-AE=6f

BC618

VBG=BC*cosZABC=6*—=6x—=—

AB105

CG=BC*sinZABC=6y<—=—,

105

1QI2

EG=BE-8G=6--=—，

55

tanZFEH=tanZCEG==2,

EG

FH

・・・tan/fT〃=—=2,

EH

设EH=a,FH=2a,

：.BH=4a,

•:BH-EH=BE,

/•4a-a=6,

：・a=2,

，/77=4,BH=8,

'BF=4FH?+BH?=>/42+82=4逐;

故答案为：4后.

(2)

如图2,

图2

当A尸平分ND4E时，AFVBD,

Z/tFD=ZAED=90°,

.•.点A、E,F、D共圆，

：・4DEF=4DAF,

设A尸与OE的交点为。，作OG_4。于G,作A”_LC尸于H,

YA尸平分ND4E,

：・OG=OE,AG=AF=4f

：,DG=AD-AG=\t

设OG=OE=x,

OD=3-x,

在RSOOG中，

(3-x)2-%2=12»

.4

••x=—，

3

4

：.OG=OE=-

3t

4

-

31/八4口VlO/八A口3V10

：AanZDAF=OG---sinZDAF=-----，cosZDAF=--------，

~AG431()10

•JZAED=90°,

，NAEH+NDEF=90。,

ZAEH+ZEAH=W,

：.NEAH=NDEF=NDAF,

.\EH-AE-sinZEAH-4x^--^^-f

105

.,,4/T?MJA3>A06>/l()

AH=AErt•cosZEAH=4x——=——,

105

・•.CH=JAC?_A“2=p一("*=缪^，

/.CE=EH+CH=2加+2>/^,

5

故答案为：2M+2标

5

12.

证明：'：AB=AC.NBAC=90。,

：.ZB=ZACB=45°,

•・・NQAE=NR4C=90°,AD=AE,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAD和△CAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAEt

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS),

・・・NB=N4CE=45。，BD=CE,

/.NECD=NACE+N4C8=90。，

•・•尸。_LBC,

:・/BDP=NECD=90。,

：,PD//CEt

VZB=ZBPD=45°,

：.PD=BD,

：.PD=EC,

・•・四边形PDCE是平行四边形，

VZPDC=90°,

，四边形PQCE是矩形；

⑵

如图2中，过点4作4M_LBC于点M,过点尸作FMLBC于点M

图2

设CD=2m,则BD=2CD=4ni,BC=6m,

•・・4B=AC,NB4c=90。，AMIBC,

：.BM=MC=3m,

，AM=8M=3，〃，AB=AC=3>/5冽,BD=PD=4m,PB=4夜〃?,

/.=72m

*/AABD^AACE,

，BD=EC=4m,

设CN=FN=x,

,:FN〃CE,

.FN_DN

9,~EC~~DC'

；・DN=Wx，

^x+x=2nif

.4

..x=­m,

3

CF=4®m，AF=AC-CF=3丘m-&®tn=$&,〃

333

APy/2m_3

AF5\f25:

-----m

3

(3)

如图3-1,将^BQC绕点B顺时针旋转60。得到△BNM,连接QN,

:・BQ=BN,QC=NM,NQ3N=60。，

.••△8QN是等边三角形，

：,BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MNf

，当点A,点。，点N,点”共线时，04+Q8+QC值最小,

此时，如图3-2,连接MC

•・•将△BQC绕点、8顺时针旋转60,得到△BNM,

:・BQ=BN,BC=BM,N08260。=/CBM,

•••△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，

/BQN=NBNQ=60。,BM=CM,

•:BM=CM,AB=ACt

JAM垂直平分BC,

VADlfiC,N8QO=60。，

:・BD=6QD,

•・・AB=AC,ZBAC=90°,AD1BC,

：.AD=BD,此时P与A重合，设PO=x,则DQ=x-2,

:・x=丛(x-2),

：.x=3+下,

.\PD=3+V3.

13.

(1)

解：•・•四边形ABC。是正方形，AABE是等边三角形，

:•BC=AB=BE,ZABC+Z4BE=150°,ZMBC=45°,

J/BCM=15。,

:.4DMC=/MBC+NBCE=60°；

(2)

证明：由题意知：BM=BN,ZABD=/DBC,

ZABM+^ABN=/EBN+ZABN二位，

・•・ZABM=NEBN,

/.NCBM=NEBN,

VBC=BE,

:.ABMC0ABNEg网,

:・EN=CM；

(3)

当点M在CE与6。的交点时，2cM+8M的值最小.理由如下：

将BM绕点3逆时针旋转60。得到BM连接EMMN，则△8MN是等边三角形,

BA/=MN,

如图甲，由(2)知EN=CM,

/.2CM+BM=MC+MN+EN,

，当C,M,N,E在一条直线上时MC+MN+&V最小，即2CM+BW最小,

，当点M在CE与的交点时，如图乙，2CM+8M的值最小.

14.

(1)

解：•・•将dBC绕点C顺时针旋转一定的角度a得到△DEC,£点在AC上，

：.CA=CD,ZECD=ZBCA=30°,

••・ZC4D=ZCDA=g(180。-30。)=75°,

XVNDEC=NABC=9。。,

Z^DE=90°-75o=15°；

(2)

NFBL30。时，四边形BQE为平行四边形,

・•・ZAfiF=ZA=60°,

:,BF=CF=AF,

，AARF是等边三角形.

工BF=AB,

•••将”8C绕点C顺时针旋转60。得到△。七C,

:.DE=AB,ABCE是等边三角形,ZDEC=ZABC=90°,

/CBE=/BEC=6M,

jZEBF=ZEBC-ZFBC=300,

•••NQEB+NEB产=180。，

:,DE=BF,DE//BF,

，四边形BFDE为平行四边形.

15.

(1)

解：AO=CEtZAC£=90°,

理由如下：

,・,线段BO绕点。顺时针旋转60°,得到线段OE,

：.BO=OE,NB。石=60。，

•••△8OE为等边三角形，

・・・NOBE=60°,BE=BO,

ZOBE=60°=ZOBD+ZDBEf

:△A5c为等边三角形，

/.ZABC=60°=ZABO+ZOBD,AB=AC,

：./ABO=NCBE,

在△430和4C8E中，

AB=AC

■NABO=NCBE,

BO=BE

，△4B0g△CBE(SAS),

：.AO=CE,/BAO=/BCE,

•••4。是等边三角形ABC的高，

・・・NAC8=60。，AD也是N8AC的平分线，

NBAO=30o=NBCE,

JZACE=ZBCE+ZACB=30o+600=90°,

故答案为：AO=CE,ZACE=90°；

(2)

解：成立，理由如下：

如图：连接BE.

••・线段BO绕点、O顺时针旋转了60。得EO,

•••△8OE是等边三角形，

:・BO=BE,ZOBE=60°,

•••△ABC是等边三角形，

：.BA=BCfZABC=60°,

.•・ZABC+ZOBC=ZOBE+ZOBC,即ZABO=ZCBE,

在△480和4CBE中，

AH=AC

•NAB。=NCBE

BO=BE

/.△ABO^ACM(SAS),

：,AO=CE,NBACA/BCE,

〈AO是等边△A8c的高，

，N3CE=NB4O=30。，Z5CA=60°,

・•・ZACE=ZBCE+ZACB=30°+60c=90°,

：.AO=CE,ZACE=90°；

(3)

解:①当点0/在线段AQ的延长线上时，

由(1)和(2)知：△80/瓦是等边三角形，NACE/=90。,

VZACE/=90°,ZAEiC=30°,

AZ£MC=60°,

VNBAU60。，

・••点A、B、E/在一条直线上,

•・•在RAACE/中，AC=2,ZAE/C=30°,

•'•AEi=4,

:,B0尸BEi=2；

②当点。2在线段DA的延长线上时，

VZACE2=90°,NAE2c=30。，AC=2,

222

・"£=4,CE2=ylAE^-AC=>/4-2=2^,

,/△ABO294CBE2(SAS),

AO、—CE,=2>/5，

・・・AO是等边△ABC的高，AB=AC=2,

•,BD=1»AO=VAB2—BD2=5/2?-产=-75»

在RfAOzDB中,BD=1,

而&O=4Q+40=26+6=375,

21

・•・8O2=y]O2D+BD=«3⑹&+『二2"

综上，80=2或2/7.

16.

（1）

解：（1）BE=2CF,理由如下：

VZACB=90°,ZBAC=60°,

・•・NABC=30。，

：.AC=^ABf

\'BD=^ABf将线段。8绕点O逆时针旋转至OE,

12

：,BD=DE=-AB,BE=-AB,

：.AE=-AB,

3

VZAFE=90°,ZE4F=60°,

:.ZA£F=30°,

：.AF=^AE=-AB,

26

：.CF=AC-AF=-AB,

3

•••BE=2CF；

⑵

（2）①结论仍然成立，理由如下：

VZBAC=ZEAF=60°,

:・/BAE=NCAF,

▽・・AC1AF

又.——=—=---，

AB2AE

:.XABESXACF,

,CFAF\

..----=-----=—,

BEAE2

：・BE=2CF；

②△（：£：?是等边三角形，理由如下:

•:B,E,/三点共线，

ANAE8+NAE尸=180。，

，NAE8=150°,

:△ABES△AC尸，

/.ZAEB=ZAFC=150°,

JNEFC=150°-90°=60°,

如图3,过点。作OH_LBE于，,

图3

♦：BD=DE,DHVBE,

'：BE=2CF,

：.BH=HE=CFt

^DHIBE,AF±BE,

：,DH//AF,

,BHBD\

••,=,

HFAD2

:,HF=2BH,

:・EF=HE=BH,

:.EF=CF,

•♦•△EFC是等边三角形.

17.

(1)

BE=AD,BEA.AD：

理由：在aBCE和AACO中，

[CA=CB

\Z.ACB=ZACD,

\CE=CD

•••△BCEdACO(SAS),

:・BE=AD,ZBEC=ZADC,

•；NEBC+NBEC=90。,

・・・NEBC+N4DC=90°,

延