人教版数学九年级上册第8讲 与圆有关的位置关系及计算基础、提高、满分练习试题（含解析）

第8讲与圆有关的位置关系及计算

‘点与圆的位置关系

直线和圆的位置关系

与圆有关的位置关系及计算

切线的判定与性质

弧长和扇形面积

知识点1点和圆的位置关系

点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。

设点到圆心的距离为d,半径为r,

当dVr时,点在圆内；

当d=i•时，点在圆上；

当d>i■时，点在圆外。

【典例】

1.在平面直角坐标系xOy中，若点P(3,4)在。0内，则。O的半径r的取值范围是

【答案】r>5

【解析】解：•・•点P的坐标为(3,4),

***OP=d32+42=5>

丁点P(3,4)在。0内，

Z.OP<r,即r>5.

，如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半

圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最

长不超过

【答案】4m

【解析】解：连接OA,交。0于E点,

在RsOAB中，0B=6m,BA=8m,

所以OA=dBC)2+AB2=10m；

又因为OE=OB=6m,

所以AE=OA-OE=4m.

因此拴羊的绳长最长不超过4m.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点，且AE_LBE,则线段

【答案】2V10-2

VAE1BE,・••点E在以AB为直径的半。O上，

连接CO交。O于点E,

・・・当点E位于点日位置时，线段CE取得最小值,

•・•AB=4,・•・OA=OB=OE，=2,

,**BC=6»/.OC=qBC2+0B2=462+22=2VT^,

则CE'=OC-OE^VlO-2

【方法总结】

在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素:

1、点与圆心的距离

2、圆的半径

然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。

【随堂练习】

1.（2019春•海曙区期末）已知四边形A8CD,用反证法证明"四边形中至少有一个角

是直角或钝角”时，应先假设（）

A.四个内角都是锐角

B.四个内角都是直角或钝角

C.没有一个内角是钝角

D.没有一个内角是直角

【解答】解：用反证法证明"匹边形ABC。中至少有一个角是直角或钝角”时第一步应假

设：四个内角都是锐角.

故选：A.

2.（2019春・萍乡期末）用反证法证明“在取8。中,人8=4。,则/8是锐角”,应先假设（）

A.在AABC中，NB一定是直角

B.在△ABC中，NB是直角或钝角

C.在AABC中，NB是钝角

D.在△ABC中，NB可能是锐角

【解答】解：用反证法证明命题：“AASC中，若则N5是锐角”，

首先应假设是直角或钝角，

故选:B.

3.（2019•新田县一模）下列说法正确的是（）

A.菱形的对角线垂直且相等

B.到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

C.点到直线的距离就是点到直线的垂线段

D.过三点确定一个圆

【解答】解：A、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；

B、到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，正确；

C、点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，故错误；

。、过不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，

故选：B.

4.（2019•涡阳县二模）如图，AABC内接于。。，若NOAB=35。，则/C的度数是（)

A

A.35°B.45°C.6f；°D.55°

【解答】解：连接08,如图，

•；0A=0B,

・・・NOAB=NO8A=35。，

/.NAOB=180°-35°-35°=110°,

AZC=—ZAOB=55°.

2

故选：D.

A

5.（2019•海口一模）如图，4。是AABC外接圆的直径.若N8=64。，则ND4C等于（）

e

D

A.26°B.28°C.3（）°D.32°

【解答】解：・・・4。为直径，

/.ZACD=90°,

■:/AQC=N8=64。，

AZDAC=90o-64o=26°.

故选：A.

6.（2019•济宁二模）已知△ABC的三边a,b,c,满足d+/+lc-6|+50=10a+叫则”BC

的外接圆半径为（）

A.2^/3B.—C.4D.—

v82

【解答】解：VaW+k-6|+50=10a+10/?,

・•・/-10。+25+■-10/?+25+|c-6|=0,

・•・（a-5）2+（。-5）2+|C-6）=0,

••a-5=0,b-5=0,c-6=0,

；・a=b=5,c=6,

^.AC=BC=5,AB=6,

作CDLAB于点D,

则40=3,

ACD=^AC2_AD2=4,

设"8C的外接圆的半径为r,

则OC=r,OD=4-r,OA=r

32+（4-r）2=r2

C

解得，「=孕，

8

故选：B.

7.（2019•社旗县一模）如图，在已知的AABC中，按以下步骤：（1）分别以8、。为圆心,

大于工8c的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MM交AB于D,连结8,

2

若CO=4O,ZB=20°,则下列结论：①NAOC=40。②NAC£>=70。③点。为△力8C的

外心④NAC£>=90。，正确的有（）

【解答】解：由题意可知，直线MN是线段的垂直平分线,

:・BD=CD,NB=NBCD=2。。，

AZADC=ZBC£>+ZCBD=40o,故4选项正确；

又•：CD=AD,

ZA=ZACD,

又：ZA+ZACD+ZADC=180°,

・・・NACO=70。，故B选项正确，。选项错误；

'：AD=CD,BD=CD,

：.AD=BD,即。是48的中点，故。选项正确；

8.（2019•江北区一模）如图，AASC'是。。的内接二角形，/A=3。。，BC=2,则。。的直

径长为（）

A.2B.2火C.4D.8

【解答】解：连接03、OC,如图，

N8OC=2/4=2x30°=60°,

而OB=OC,

...△OCB为等边三角形,

:.BC=OB=2.

・•・圆的直径为4.

9.（2019•杭州模拟）如图，△ABC内接于。O,若NA=a度，则。的度数为（）

6

A.aB.90-aC.90+aD.90+2a

•・・NA=a度，NBOC=2NA

・•・NBOC=2a度

•：OB=OC

：.NOBS1802a=（90-a）度

2

故选：B.

10.（2018秋♦宜兴市期末）已知。。的半径为3,OA=4,点P是线段OA的中点，则点P

与。O的位置关系是（）

A.点尸在内B.点P在©O上

C.点P在。。外D.以上都有可能

【解答】解：因为0A=4,P是线段0A的中点，所以0P=2,小于圆的半径,

因此点P在。。内.

故选:A.

11.（2019•金山区一模）如图,在RQABC中,ZC=90°,BC=2,/B=60。，OA的半径

为3,那么下列说法正确的是（）

B.点C在。A内，点B在。A外

C.点B在。A内，点C在04外D.点B、点C都在。4外

【解答】解：•••在RSA8C中，ZC=90°,BC=2,ZB=60°,

:.NA=30。，

・・・AB=28C=4,AC=V^C=2的,

•・・0A的半径为3,4>3,2M>3,

・••点8、点C都在04外.

故选：D.

12.（2018秋•瑞安市期末）已知。O的半径为5,点尸在0O外，则OP的长可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：TO的半径为5,点P在。。外，

・・・0P>5,

故选：D.

13.（2018秋•卢龙县期末）。。的半径为4,点尸到圆心O的距离为4,如果点P在圆内,

则d（）

A.d<4B.d=4C.d>4D.0<J<4

【解答】解：•・•点P在圆内，且。。的半径为4,

A0<J<4,

故选：O.

知识点2直线和圆位置关系

直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交.

(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切.这条直线叫做圆的切线，公共

点叫做切点.

(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.

【典例】

1.已知圆的半径为4,一直线上有一点与此圆的圆心距离为5,则直线与圆的位置关系为

【答案】相离、相切、相交均有可能

【解析】解：直线上有一点与此圆的圆心距离为5,

则圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4,

所以直线与圆可能相离，可能相切，也可能相交.

2.已知NBAC=45。，一动点0在射线AB上运动(点0与点A不重合)，设OA=x,如果半

径为1的。O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是

【答案】0<x<V2

【解析】解：

当。0与直线AC相切时，设切点为D,如图，

VZA=45°,ZODA=90°,OD=L

AAD=OD=1,

由勾股定理得：AO=V2>即此时x=加，

所以当半径为1的。O与射线AC有公共点，x的取值范围是OVx4亚

3.如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1,过A,O,C作。D,E是。D上任意

一点，连结CE,BE,则CE2+BE：的最大值是

【答案】6

【解析】解：连接AC,DE,如图,

VZAOC=90°,AAC为。D的直径，

・••点D在AC上，

VAO=BO=CO=I,

AA(0,1),B(-1,0),C(1,0),AC=V2*D(工，工)，

22

设E(m,n),

,:EB2+EC2=(m-1)2+n2+(m+1)2+n2

=2(m2+n2)+2,

而rrP+M表示E点到原点的距离，

・••当OE为直径时，E点到原点的距离最大，

VOD为平分NAOC,

m=n,

•・・DE」AC二返，

22

・•・(m-l)2+(n-l)2=(返)2,

222

即m2+n2=m+n

/.m=n=1,

・•・此时EB?+EC2=2(m2+n2)+2=2(1+1)+2=6,

即CE2+BE2的最大值是6.

【方法总结】

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系•样通过•些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化

为直线和点(圆心)的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径：图(2)中直线与圆心

的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径.

(1)(2)

(3)

一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：

如果。0的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,那么，

(1)d<rO直线/与。0相交；

(2)d=rO直线/与。O相切；

(3)d>r=直线/与。0相离.

【随堂练习】

1.(2019•日照一模)如图，已知直线与x轴、)，轴分别交于力、8两点，P是

4

以C(0,l)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结RA、PB,则面积的最小值是()

¥

A.6B.5.5C.5D.4.5

【解答】解：过C作于连接AC，的延长线交OC于N,

则由三角形面积公式得，-xABxCM=-xOAxBC,

22

.\5xCM=16,

C“M=—16，

5

・•・圆。上点到直线y=3x-3的最小距离是3-1=U,

455

面积的最小值是、5xU=U,

252

故选：B.

2.（2019•松江区二模）在直角坐标平面内，已知点”（4,3）,以M为圆心，r为半径的圆与

x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（）

A.0<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<4

【解答】解：•・•点M的坐标是（4,3）,

.•.点”到x轴的距离是3,到），轴的距离是4,

•.•点M（4,3）,以M为圆心，「为半径的圆与“轴相交，与y轴相离，

的取值范围是3vrv4,

故选：D.

3.（2019•资中县一模）已知G）O的半径为4,直线/上有一点与的圆心的距离为4,则

直线，与O。的位置关系为（）

A.相离B.相切

C.相交D.相切、相交均有可能

【解答】解：•.•若直线L与。O只有一个交点，即为点?，则直线L与8的位置关系为:

相切；

若直线L与。O有两个交点，其中一个为点P,则直线L与OO的位置关系为：相交；

二.直线L与。O的位置关系为：相交或相切.

故选：D.

4.（2018秋•江阴市期末）OO的直径为4,圆心O到直线/上的距离为3,则直线/与©0（

）

A,相离B.相切C.相交D.相切或相交

【解答】解：•.•0O的直径是4，

.•.OO的半径r=2,

•.•圆心O到直线/的距离为3,3>2,

.,•直线/与GX?相离.

故选：A.

5.（2019•武昌区模拟）RtAABC中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm,以点C

为圆心5c机为半径的圆与直线A8的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

【解答】解：过C点作CDLA3,垂足为。，

vZC=90°,BC=6,AC=8,

由勾股定理，得43=痴彳港=10,

根据三角形计算面积的方法可知，BCxAC=ABxCD,

=4.8<5,

与直线相交.

6.（2019•江岸区校级模拟）如图，在RtAABC中，NC=90。，NB=30。，AB=4cm,若以

点。为圆心，以2。力为半径作℃,则AB与8的位置关系是（)

D.相切或相交

过C作CD_LAB于。，则NADC=NBDC=90。,

•.RtAABC中，ZC=90°,NB=30°,AB=4cm,

..AC=-AB=2cm,NA=60。，

2

/.ZACD=30°,

/.AD=—AC=\cm,

2

在RtAADC中，由勾股定理得：A£>2+CZ）2=AC2,

12+CD2=22,

解得：CD=6，

•・•以点。为圆心，以2的为半径俏oc,

此时与OC的位置关系是相交，

故选：C.

7.（2019•武昌区模拟）RtAABC中，ZC=90°»AC=3,BC=4,以点C为圆心，「为半

径作0C,则正确的是（）

A.当r=2时，直线与0c相交B.当/*=3时，直线与0c相离

C.当r=2.4时，直线与GC相切D.当厂=4时，直线与0c相切

K

［解答］--------〜

解：过。作于。，

在RtAACB中，由勾股定理得：AB=\/32+42=5,

由三角形面积公式得，—x3x4=—x5xCD,

22

6=2.4,

即C到AB的距离等于0c的半径长，

OC和AB的位置关系是相切，

故选：C.

8.（2019•东兰县三模）如图，已知G）O圆心是数轴原点，半径为1,ZAOB=45°,点P在

数轴上运动，若过点。且与平行的直线与0O有公共点，设"=%，则x的取值范围

是（）

A.-1MIB.x/2C.0叫&D.X>y[l

【解答】解：•.•半径为1的圆，N4QB=45。，过点P且与04平行的直线与00有公共点,

当尸。与圆相切时，切点为C,

s.OCLPC,

CO=\,ZFOC=45°,OP=&,

过点尸且与04平行的直线与GO有公共点，即砥k夜，

同理点户在点。左侧时，»&

.•.网后.

故选：C.

知识点3切线的性质及判定定理

1.切线：当直线与圆自唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点

叫做切点。

2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。

3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂

直，缺一不可。

4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

5.切线长定理推论:

1、圆的外切四边形的两组对边的和相等;

如图，ABCD为圆0的外切四边形，VAL=AP,BL=BM,CM=CN,DN=DP,故：

AB+CD=AD+BC,即有以上结论，

2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线立分两条切线的夹角。

【典例】

1.如图，NABO80。，O为射线BC上一点，以点O为圆心，上0B长为半径作。O,要使

2

射线BA与。0相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转

【解析】解：如图;

①当BA，与00相切，且BA位于BC上方时，设切点为P,连接0P，则/OPB=90。；

R30PB中，0B=20P,

:.ZArBO=30°；

・•・/ABA，=50。；

②当BA，与。O相切，且BA，位于BC下方时；

同①.可求得/ABOCO。：

此时NAB人'=80。+30。=110°；

故旋转角a的度数为50。或110°,

2.如图，。01的半径为I,正方形ABCD的边长为4,点02为正方形ABCD的中心，O1O2

_LCD于点P,0102=5.现将。Oi绕点P按顺时针方向旋转180°,则在旋转过程中，。01

与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现次？

【解析】解：的半径为1,正方形ABCD的边长为4,点02为正方形ABCD的中心,

OQ2垂直CD于P点,

圆01与以P为圆心，以2为半径的圆相外切,

・••根据图形得出有3次.

3.如图，。0的半径OC=5cm,直线1_LOC,垂足为H,且1交。O于A、B两点，AB=8cm,

则1沿OC所在直线平移后与OO相切，则平移的距离是:

【答案】2cm或8cm

【解析】解：如图，连接0B,

VAB1OC,AAH=BH,

/.BH=^-AB=—x8=4,

22

在RlABOH中，OB=OC=5,

AOH=7OB2-BH2=3,

又・・,将直线1通过平移使直线1与。O相切，

・•・直线1垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，

・••当向下平移时，直线1平移的距离=5-3=2(cm)；

当向上平移时，直线1平移的距离=5+3=8(cm).

综上：平移的距离是2cm或8cm。

【方法总结】

1、在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。

2、遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，

来构造一个直角三角形。

4.如图，在4ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分NABC交AE于点M,经过B、

M两点的。。交BC于点G,交AB于点F,FB恰为。0的直径.

判断AE与。0的位置关系，并说明理由。

【解析】证：AE与。O相切.

理由如下：

连接0M,则OM=OB,AZOMB=ZOBM.

•IBM平分/ABC,AZOBM=ZEBM.

AZOMB=ZEBM.，OM〃BC.

AZAMO=ZAEB.

在AABC中，AB=AC,AE是角平分线，

AAE±BC.AZAEB=90°.

AZAMO=90°.AOM±AE.

・・・AE与€)0相切;

5.如图，在。0中，AB为直径，AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD_LAO于点D,

交AC于点E,交。O于点F,M是GE的中点，连接CF,CM,判断CM与(DO的位置关系,

【解析】解：CM与。0相切.理由如下:

连接0C,如图,

,・，GD_LAO于点D,.,.ZG+ZGBD=90°,

YAB为直径，AZACB=90°,

•・・M点为GE的中点，

Z.MC=MG=ME,/.ZG=Z1,

VOB=OC,AZB=Z2,

/.Z1+Z2=90°.AZOCM=90°,

AOC±CM,，CM为。O的切线；

6.如图所示，AB为。O的直径，AD平分NCAB,AC±CD,垂足为C.

（1）判断CD与00的位置关系，并说明理由；

【解析】证明：（1）CD是0O的切线,

VOA=OD,JZODA=ZOAD,

TAD平分NCAB,AZOAD=ZCAD,

ZODA=ZCAD,

VAC1CD,EPZCAD+ZCDA=90°,ZODA+ZCDA=90°,

/.OD±CD,即CD是。O的切线：

(2)连接BD,

TAB为直径，ZADB=90°,

AZB+ZBAD=90°,ZB=ZAED,

AZAED+ZBAD=90°,

VZCDA+ZCAD=90°,NCAD=/BAD,

:.ZCDA=ZAED.

【方法总结】

在证明圆的切线问题中，主要有两种题型：

1、知半径，证垂直

2、知垂直，证半径

解决切线相关问题的技巧

①注意利用切线长定理进行线段转换。

②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。

③见切线连半径是处理切线问题的“通法

【随堂练习】

1.(2019•雁塔区校级模拟)已知等边MBC内接于QO，D为弧BC的中点，连接DB、DC,

过C作/$的平行线，交友)的延长线于点石.

(1)求证：CE与OO相切；

(2)若A3长为6,求CE1长.

【解答】(1)证明：连接OC,OB,

AABC是等边三角形,

.-.ZA=ZABC=60°,

;ABIICE,

...NBCE=NA8C=60°,

•;OB=OC,

:.NOBC=NOCB=3g

NOCE=NOC6+4CE=30。+60°=90°,

二.CE与0O相切；

（2）•.•四边形曲C是圆的内接四边形，

.•.ZA+ZBDC=180°，

.•.N5DC=120。，

•.•D为弧BC的中点，

:.ZDBC=ZBCD=30°,

ZBEC=180°-ZEBC-ZBCE=90°,

•;AB=BC=6,

..CE=-BC=3.

2

2.（2019•长春模拟）如图，在半圆中，点O是圆心，4?是直径，点C是AD的中点，过点

C作a）的垂线，交比＞的延长线于点石.

（1）求证：CE是半圆的切线.

2

（2）若NABC=30。，AB=4,则AC的长为_一乃_.

【解答】证明：（1）如图，连接X，

E

D

A0B

'：点。是4）中点

/.AC=CD

:.ZABC=NCBD

,OB=OC

NOCB=NOBC,

，/OCB=/CBD

OC//RD.且CEIBE

.\CE1OC,且OC是半径，

.•.CE是半圆O的切线.

（2）«.ZABC=30°,RZOCB=ZABC,

ZOCB=ZABC=30°

ZAOC=60°

vAB=4

:.OA=2

.AC的长=理"注=2万

18003

故答案为：-zr

3

3.（2019•金水区校级模拟）如图所示，AABC内接于OO,AC是直径，。在桢上，且AC

平分NBCD,AE//BC,交CD于E,尸在C。的延长线上，KAE=EF.连接AF.

（1）求证：AF是0。的切线；

（2）连接班'交他于G,若43=12,AE=13,求AG的长.

B

A

【解答】证明：(1)•「AC平分48

ZACB=ZACD,

\AE//BC

/.ZACB=Z.CAE=ZACD

:.AE=CE,RAE=EF

..AE=CE=EF

.•.△C4户是直角三角形

/.ZC4F=90°

・•.AF是。。的切线

(2)连接AD,

•.•AC是直径

：.ZABC=9(r=ZADC

\ZACB=ZACD,AC=AC,ZABC=ZADC=9(T

.•.AABC^AADC(AAS)

:.AB=AD=\2,BC=CD

在RtAAED中，DE=jAE2-AD1=5

\AE=CE=EF=13

;.CF=2EF,CD=BC=CE+DE=\8,

\AE//BC

.EGEFT

~BC~~CF~2

:.EG=9

.\AG=AE-EG=13-9=4

4.(2019•兰州模拟)如图，AB是0O的直径，AC平分NE4£),交OO于点C,过点C分

别作CE_LAO,BJLA8,垂足分别为E,F.

(1)求证：直线CE是G)O的切线；

【解答】证明：(1)•二反是OO的直径，。在OO匕

\OA=OC,

:.ZCAO=ZACO,

•「AC平分

:.ZEAC=ZOAC

ZOCA=ZEAC,

\CE±AD,

...ZE4C+Z£C4=90。，

.•.ZACO+Z£C4=90°,

/.ZOCE=90°,

即CE_LOC,

:•CE是OO的切线;

知识点4弧长和扇形面积

1.相关名词

弧长：在圆上过两点的•段弧的长度叫做弧长。

扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇

形)。

圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的

几何体叫做圆锥。

圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长x母线:2；

没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧

面展开图是扇形。

2.圆中有关计算：

(1)圆的面积公式：S=UR2，周长C=2TTR.

(2)弧长：圆心角为n。、半径为R,

(3)扇形的面积：圆心角为n。，半径为R,弧长为1,S^F^—1

(4)弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

(5)圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为1的圆柱的体积为二，侧面积

为2兀R1,全面积为.二

(6)圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为1,高为h的圆锥的侧面积为兀R1,

全面积为••••二士，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有•有一.

【典例】

1.如图，从•块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，则此扇形的面积为

B

【解析】解：如图，连接AC,

:从一块直径为2m的圆形铁皮」•剪出一个圆心角为90。的扇形,即/ARC=90。.

,AC为直径，即AC=2m,AB=BC,

VAB2+BC2=22,

/.AB=BC=A/^ITI,

，阴影部分的面积是？°兀：兀(n?)

3602

【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半

径的三段等弧组成，己知正三角形的边长为10,则该餐盘的面积是

【答案】50n-5073

【解析】由扇形面积减去三角形面积求出弓形面积，三个弓形与一个等边三角形面积之和即

为餐盘面积.

解：该餐盘的面积为3(6QKX1°2-^-xlO2)+返x102=50兀-50加

36044

2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为257cm2,

圆柱高为3m,圆锥而为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是

【答案】（3O7c+5，^c）m2

【解析】解：设底面圆的半径为R,

贝ij7iR2=25m解得R=5,

圆锥的母线长二亚用二扬，

所以圆锥的侧面积=工・2兀•5•；

2

圆柱的侧面积=2几・5・3=30兀，

所以需要毛毡的面积二（3现+5年0m?

【方法总结】

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

需根据不同的情况作出不同的处理：

①当弓形所含弧为劣弧时，S尸S/SA

②当弓形所含弧为优弧时，SAS咐+SA

③当弓形所含弧为半圆时，S.尸-Sm

2

【随堂练习】

1.（2019•莱芜区）如图，点A、B,C,。在OO上，AB=AC,Z4=4O°,BD//AC,

若OO的半径为2.则图中阴影部分的面积是（）

A

Di

44D.箓石

T-T

【解答】解：如图所示，连接BC、OD、OB,

vZA=40o,AB=AC,

...ZACB=70°,

,.BD3AC,

/.ZABD=ZA=40°,

ZACD=ZABD=4(r,

."8=30°，

贝|JZBOD=2ZBCD=a)°,

又8=08,

:.MOD是等边三角形,

则图中阴影部分的面积是S场形88-Sgg

60•乃・22百二》

360rx

=2%一百»

3

故选：B.

2.（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，每个圆的半径都是kv〃,则图中的三个扇形（即阴

影部分）的面积之和为（）

B

A.—7CB.—7CC.乃D.7T

42

【解答】解：•.•NA+N8+NC=180°,

.•.阴影部分的面积=网叱=-^.

3602

故选：13.

3.（2019•鞍山二模）如果圆锥的母线长为6c切，底面半径为2cm,那么这个圆锥的侧面积

为（）

A.i2cnrB.\2jrcnrC.24cm2D.24^C/T?2

【解答】解：圆锥的侧面积=2;rx2x6+2=12;r.

故选：B.

4.（2019•覃塘区三模）如图，在0。的内接四边形A38中，ZB=135°,。0的半径为4,

则弧ABC的长为（）

【解答】解：连接。4、OC,

•.•四边形ABC£＞是的内接四边形，

.\ZD=180o-Zfi=45°,

由圆周角定理得，ZAOC=2ZD=90°,

/.弧ABC的长=型1=24，

180

故选：B.

A

B

5.（2019•铅山县二模）如图，菱形ABC。中，4=60°,AB=4,以4）为直径的交CO

4乃ITT

D.

33T~6

【解答】解：连接OE,如图所示:

•・•四边形4BC力是菱形，

.•.ZD=N8=60°,AD=AB=4,

..OA=OD=2,

・.・OD=OE,

.­.ZOED=ZD=60°,

.•.ZDO£=180°-2x60°=60°,

/.OE的长=也0=生；

1803

故选：B.

6.（2019•云南模拟）如图，边长为1的正方形OA8C的顶点8在0。上，顶点A、C在0。

内，的延长线交0。于点O,则图中阴影部分的面积为（）

【解答】解：连接08,

•.•四边形ABCO是正方形，

;.ZDOB=45。,

:.OB=42AB=42,

・•・图中阴影部分的面积=S原形回-竺奴」xlxl=¥」，

WJT^ODU•jyic//360242

7.（2019•山西）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=20BC=2,以AB的中点O

为圆心，。4的长为半径作半圆交AC于点则图中阴影部分的面积为（）

0.5G7t_575n

A.-----------B.-----+—C.2百-乃D.4>/3--

42422

【解答】解：•・•在RtAABC中，NABC=90。，AB=2。BC=2,

BC2也

tanA==—=-=—，

AB2733

/.ZA=30°,

/.NDOB=60。,

OD=>AB=6

2

p:3

.•・阴影部分的面积是：也必X260x^,x(V3)25757t

―2360

8.（2019•丰润区二模）如图，将半径为2,圆心角为90。的扇形BAC绕A点逆时针旋转60。，

点、B,C的对应点分别为点D,E,则阴影部分的面积为（)

A.&+%B.&々7D.兀一也

【解答】解：连接80,

由题意得，AB=AD,440=60。,

.•.AABD为等边三角形,

/.ZABD=60°,

，阴影部分的面积二曙-（等-8⑶

=—7T+\f3,

3

9.（2019•南充模拟）如图，矩形ABCZ）中，AB=丘,BC=2,以B为圆心，8C为半径

画弧，交AD于E,则图中阴影部分的周长是（）

A.2+-B.V2+-C.2十万D.\+7T

22

【解答】解：•.•矩形ABC。中，AB=®,BC=2,

..AD=BC=2,CO=AB=0ZA=9O0,

•.♦BE=BC=2,

在RtAABE中，:AB=xli,BE=2,

ZAEB=ZABE=45°,AE=AB=42,

:.DE=AD-AE=2-42,

•/ZABC=90°,

/.ZCBE=45°,

45•4x2

CE的长度

1802

・•・图中阴影部分的周长=&+2-及+44=2+'万,

22

故选：A.

10.（2019•凉山州）如图，在AAOC中，OA=3cnt,OC=\cm,将AAOC绕点。顺时针旋

转90。后得到则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2.

A.-B.2%C.一4D.—TV

288

【解答】解：3MO£>,

.•.阴影部分的面积二扇形OA3的面积-扇形08的面积="艺至-史丝式=2%,

360360

故选：B.

11.（2019•广安）如图，在RtAABC中，NACB=90。，ZA=30°,8c=4,以BC为直径

的半圆O交斜边A3于点D,则图中阴影部分的面积为（）

A

D.1*6

3

【解答】解：•.•在RtAABC中，ZAC5=90°,ZA=30°,

...NB=60°,

/.ZCOD=120°,

•.BC=4,BC为半圆。的直径，

.\ZCDB=9O°,

:.OC=OD=2,

:.CD=—BC=2y/3，

2

图中阴影部分的面积=s向形四-隈6x1=4-G，

3oU23

故选：A.

综合运用：与圆有关的位置关系及计算

1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外

的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

【解析】解：点导火索的人非常安全.理由如下：

导火索燃烧的时间为工-=20(s),此时人跑的路程为20x6.5=130(m),

0.9

因为130>120,所以点导火索的人非常安全；

答：点导火索的人非常安全.

2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格

中进行下列操作：

(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为.

(2)连接AD、CD,求。D的半径及弧菽的长.

(3)有一点E(6,0),判断点E与。D的位置关系.

【解析】解：(1)如图,D点坐标为(2,0),

故答案为：（2,0）；

⑵AD=7AO2+OD2=2^;

作CE_Lx轴，垂足为E.

VAAOD^ADEC,

ZOAD=ZCDE,

又「ZOAD+ZADO=90°,

・•・ZCDE+ZADO=90°,

•••扇形DAC的圆心角为90度，

・••菽的长为90'：『^3；

(3)点E到圆心D的距离为4<%后，

・••点E在。D内部.

3.如图，4ABC是等腰三角形，且AC二BC,ZACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,

以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD〃AB交。O于点D,连接BD.

(1)猜想AC与。O的位置关系，并证明你的猜想；

(2)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.

【解析】解：(1)AC与。O相切,

理由：

VAC=BC,ZACB=120°,

AZABC=ZA=30o.

VOB=OC,ZCBO=ZBCO=30°,

AZOCA=120°-30°=90°,

AAC1OC,

又・・・OC是。o的半径，

JAC与。O相切；

(2)如图，在RSAOC中,

ZA=30°,AC=6,则：AO=2CO,由勾股定理，解得：CO=25，

工弧BC的弧长为：⑵兀X(2⑨二业,

1803

设底面圆半径为：r,

贝ij2nr=4^K,

3

解得：厂笙.

3

4.如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点E连接BF,BF与AC

交于点P.

(1)求证：四边形ABCF是菱形;

(2)求证：AC2+BFMAB2；

(3)若AB=2,求ACDF的周长.

D

【解析】解：(1)证明：正五边形的内角的度数为：6-2)X180°=108°,

5

VDE=DC,AZDEC=36°,/.ZAEC=72°,

/.ZBAE+ZAEC=180°,，AB〃CF,同理，BC〃AF,

・•・四边形ABCF是平行四边形，

VBA=BC,J四边形ABCF是菱形；

(2)证明：•.•四边形ABCF是菱形，・・・AC_LBF,

由勾股定理得PB^PC^BC2,

AAC^B^(2PC)2+(2PB)2=4PC2+4PB2=4BC2,

Z.AC^BI^MAB2；

(3)解：:四边形ABCF是菱形，

.\CF=AF./.ACDF的周长等于CF+DF+CD.

即ACDF的周长等于AD+CD,

;在正五边形ABCDE中，

.*.CD2=