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文档简介
9.1正弦交流信号
9.2正弦RC电路分析
9.3正弦信号的相量表示
9.4KCL和KVL的相量形式
9.5R、L、C元件VAR的相量形式
9.6阻抗和导纳
9.7正弦稳态电路的相量法分析第9章正弦交流电路
1.正弦量的三要素
在电路理论中,将随时间按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦交流信号。数学中,正弦量可以用sin函数或cos函数来表示。在电路分析中,同样也可用sin函数或cos函数来表示正弦信号,但一定要注意在同一分析过程中,函数形式要统一,不能混用。本书一律统一采用cos函数来表示正弦信号,今后若不做特别说明,则正弦信号一律都指cos函数。9.1正弦交流信号图9-1电压的波形以电压为例,波形如图9-1所示的电压,其瞬时表示式为
u(t)=Umcos(ωt+φ)V
(9-1)
式中,Um为电压的振幅,表明正弦信号在整个变化过程中所能达到的最大值;ω表示单位时间正弦信号变化的弧度数,称为角频率,单位为弧度/秒(rad/s)。ω与信号周期T及频率f的关系为
(9-2)
2.正弦量的相位差
两个正弦信号的相位之差称为相位差。注意,只有在两个正弦信号采用同函数、同符号的条件下,我们才能直接将相位相减来求相位差。若信号是不同函数或符号,应先将之化为同函数并同符号,然后再求相位差。
当两个正弦信号的频率不同时,其相位差是随时间变化的,在不同时刻,相位差具有不同值。例如,设两个正弦电压分别为
u1(t)=U1mcos(ω1t+φ1)V,u2(t)=U2mcos(ω2t+φ2)V
则u1与u2的相位差Δφ=(ω1t+φ1)-(ω2t+φ2)为时间的函数。一般来说,我们只考虑同频率信号间的相位差。此时,相位差为一常数。例如,设两正弦电压为
u1(t)=U1mcos(ωt+φ1)V,u2(t)=U2mcos(ωt+φ2)V
则u1与u2的相位差为
Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2
(9-3)如果相位差Δφ=0,则称正弦电压u1与u2同相,如图9-2(a)所示。此时,u1与u2同步,即同时达到正、负最大值,也同时达到零值。如果Δφ>0,则称u1超前于u2或者称u2滞后于u1,如图9-2(b)所示。此时,u1比u2提前Δφ达到最大值和零值;反之,若Δφ<0,则称u1滞后于u2或称u2超前于u1。
如果Δφ=±π,则称u1与u2反相,如图9-2(c)所示。此时,u1与u2其中一个达到正最大值,另一个恰好达到负最大值。
如果Δφ=±π/2,则称u1与u2正交,如图9-2(d)所示。此时,u1与u2其中一个达到正或负最大值,另一个恰为零值。图9-2各种相位关系波形图
3.正弦量的有效值
首先介绍周期信号的有效值,由于周期信号的大小是随时间瞬时变化的,因此,它在某一瞬间的值(即瞬时值)只能代表该时刻的大小,不能用来作为衡量其整体效果的参量。而用它们的平均值来衡量,显然也不合适,因为一些特殊的周期信号,如正弦波,在一个周期内的平均值是为零的。我们能够说正弦信号激励无任何效果吗?显然不能。为此,在电路理论中,引入一个用以反映周期信号平均效果(大小)的物理量,即所谓的有效值。周期信号的有效值定义为:在一个周期内,若周期量与一个直流量所产生的平均(热)效应相等,则该直流量称为这个周期量的有效值。可见,信号的有效值是衡量信号平均作功效果的物理量。依此定义,可得周期信号有效值计算公式。以信号作用于电阻产生的热效应为例,设一周期为T的电压信号u作用于电阻R,则R在一个周期内所产生的热量(耗能)为,若在相同时间T内,施加于电阻R并使之消耗相等能量的直流电压大小为U,则有
故
(9-4)若周期信号为正弦电压u(t)=Umcos(ωt+φ),则有
得
(9-5)如图9-3所示一阶RC电路中,已知UC(0-)=0,is(t)=Imcos(ωt+φi)A;t=0时开关断开,求t≥0时的uC(t)。图9-3正弦电源作用于RC电路9.2正弦RC电路分析
解根据KCL方程和元件的VAR,得
(9-6)
其完全解由齐次(通)解和非齐次(特)解组成:
uC(t)=uCh+uCp
(9-7)
显然,其齐次解为
(9-8)观察式(9-6),等式右边自由项为正弦函数,因此,其特解也为相同频率的正弦函数。故令
uCp(t)=Umcos(ωt+φu)
(9-9)
将其代入式(9-6)微分方程以求得待定常数Um及φu,有
令
即
,φ=arctan(ωRC)
根据三角形公式
cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)
有
Acos(ωt+φu+φ)=Imcos(ωt+φi)所以
,φu+φ=φi
解得
,φu=φi-arctan(ωRC)即特解为
故完全解为
(9-10)
为确定K,将初始条件uC(0+)=0代入式(9-10),得
0=K+Umcosφu
即
K=-Umcosφu
故
(9-11)
由响应式(9-11)可见,其表达式中的第一项(-Umcosφu
e-t/τ对应于微分方程的齐次解,它是随时间衰减的响应量,在t→∞时,该项衰减为零,为电路的暂态响应分量;表达式中的第二项Umcos(ωt+φu)对应于微分方程的非齐次特解,并不随时间衰减,当t→∞时,暂态过程结束时,该项仍然存在,为电路的稳态响应分量,它是具有与激励信号相同频率的正弦量,如图9-4所示。其中,Um′是全响应的最大值。
工程上认为,换路后的电路,经过约4τ左右时间,暂态响应过程就已基本结束,此时电路的响应已非常接近于稳态,而过渡过程是非常短暂的,见图9-4。图9-4RC电路的响应
1.复数
由于相量即复数,所以,相量的表示即复数的表示,相量的计算即复数的计算。为此,首先对复数及其运算做一简单回顾。
(1)复数的表示。复数既可表示为代数型,也可表示为指数型(极型)。如复数X可表示为
X=a+jb
代数型
=|X|ejφ=|X|∠φ
指数型(极型)9.3正弦信号的相量表示对应复数的两种表示形式,复数既可以用直角坐标也可以用极坐标在复平面上表示。如图9-5所示。显然,复数的代数型和指数型之间可相互转换,其转换关系为
(将代数型转换为指数型)
(9-12)
a=|X|cosφ,b=|X|sinφ(将指数型转换为代数型)
(9-13)
对复数做取实和取虚运算,有
Re[X]=a,Im[X]=b
图9-5复数的两种坐标表示
(2)复数的四则运算。
设复数
X1=a1+jb1=|X1|∠φ1,X2=a2+jb2=|X2|∠φ2
则有复数的加减
X1±X2=(a1±a2)+j(b1±b2)
(9-14)
复数乘
X1·X2=|X1||X2|∠(φ1+φ2)
(9-15)
复数除
(9-16)
2.用相量表示正弦信号
根据复数表示法则,对复指数函数Umej(ωt+φ),有
Umej(ωt+φ)=Umcos(ωt+φ)+jUmsin(ωt+φ)
设某正弦电压为u(t)=Umcos(ωt+φ),则有
u(t)=Re[Umej(ωt+φ)]=Re[Umejφ·ejωt]
正弦信号对应的相量有振幅相量和有效值相量。其中,模值为对应正弦信号的振幅的相量,为振幅相量;若其模值为对应正弦信号的有效值,则称为有效值相量。若无特殊说明,本书中一概以下标m表示振幅相量,无下标m的为有效值相量。相量的单位与对应正弦量的单位相同。如某正弦电压、电流为
u(t)=Umcos(ωt+φu)V,i(t)=Imcos(ωt+φi)A
则其对应的振幅相量为
有效值相量为
显然
(9-17)
3.相量计算
【例9-1】已知正弦电压、电流如下,写出对应的振幅相量和有效值相量。
(1)
(2)i(t)=5cos(3t+30°)V。
解(1)
(2)
【例9-2】已知正弦电压、电流对应的相量如下,写出信号表达式。
(1),ω=4rad/s;
(2),角频率为ω。
解(1)
(2)
【例9-3】化下列复数(相量)为直角坐标形式。
(1)16∠90°;(2)7∠-60°;(3)10∠180°。
解(1)16∠90°=16[cos90°+jsin90°]=j16
(2)7∠-60°=7[cos(-60°)+jsin(-60°)]≈3.5-j6.1
(3)10∠180°=10[cos180°+jsin180°]=-10
【例9-4】化下列复数(相量)为极坐标形式。
(1)1+j;(2)6-j4;(3)-j8;(4)-3-j4。
解
(1)
(2)
(3)
(4)
【例9-5】已知相量,。
(1)求
(2)求,化为极坐标形式并画相量图。
解(1)
(2)
其相量图如图9-6所示。
图9-6例9-5(2)相量图
1.KCL的相量形式
根据基尔霍夫电流定律,在任一时刻,流入节点的电流的代数和为零。假设i1~in为连接某节点的n条支路的支路电流,如图9-7所示,则在任一时刻
(9-18)
若电路工作在正弦稳定状态,各支路电流都是同频率的正弦量,只有振幅和初相不同,则式(9-18)可写成复数形式
(9-19)9.4KCL和KVL的相量形式图9-7KCL用图由式(9-19)得
即
(9-20)
不难推论,若为ik(t)的有效值相量,则有
(9-21)
2.KVL的相量形式
同理,若u1~un为任一闭合回路中的各支路电压,在正弦稳态条件下,KVL的相量形式为
(9-22)
或
(9-23)
【例9-6】如图9-8(a)所示,已知
,求A3表的读数。
解方法一(采用相量代数运算):
求A3表的读数,即求i3的有效值,也就是i3对应有效值相量的模。所以采用有效值相量进行计算。有
图9-8例9-6图由KCL得
其模值为
故A3表读数为5A。
方法二(向量图法):
将、绘制在复平面上,如图9-8(b)所示。根据平行四边形法则,绘出、的和相量,其模值即为A3表读数。显然,有。
【例9-7】已知uab(t)=-10cos(ωt+60°)V,ubc(t)=
8sin(ωt+120°)V,求uac(t)。
解ubc(t)=8sin(ωt+120°)=8cos(ωt+30°)
故
uac(t)=5.04cos(ωt-67.5°)V设元件的端电压和电流为关联参考方向,如图9-9所示。正弦稳态时,其端电压和流过的电流分别为
对应相量为
9.5R、L、C元件VAR的相量形式图9-9VAR用图
1.电阻元件VAR的相量形式
根据欧姆定律,在任一时刻,电阻端电压与流过的电流瞬时关系为
u(t)=Ri(t)
即
故有
(9-24)
或
(9-25)由式(9-24)有
U∠φu=RI∠φi
由复数相等条件可得
式(9-25)表明了正弦稳态时电阻上电压有效值与电流有效值之间关系,即电压、电流大小关系,符合欧姆定律。式(9-26)表明电阻的电压与电流同相。其波形图和相量图如图9-10(a)、(b)所示。(9-25)(9-26)图9-10正弦稳态电阻的电压与电流关系图示
2.电容元件VAR的相量形式
根据电容元件的VAR,在任一时刻,其电流和电压的瞬时关系为
即
故有
(9-28)
或
(9-29)式(9-28)和(9-29)即电容元件VAR的相量形式。同样这一关系式不仅反映了正弦稳态时电容上电压与电流的大小关系,也反映了相位关系。由式(9-28)有
I∠φi=jωCU∠φu=ωCU∠(φu+90°)
根据复数相等条件得
(9-30)(9-31)式(9-30)表明正弦稳态时,电容的电压与电流大小关系与ω有关,这点与电阻元件不同。在U一定的条件下,ω越大,则I越大;反之,若ω越小,则I亦越小。特别的,若ω=0,即直流情况下,得I=0,相当于开路。这就是说,电容元件对高频信号所呈现的阻力小,而对低频信号呈现的阻力大,具有通高频、阻低频,通交流、阻直流的作用。式(9-31)表明电容电流超前电压90°,即它们是正交的。相应的波形图和相量图分别如图9-11(a)、(b)所示。图9-11正弦稳态电容的电压与电流关系图示
3.电感元件VAR的相量形式
利用电容元件与电感元件VAR的对偶关系,可将式(9-28)、(9-29)中的电压相量与电流相量互换,并将C换成L,就可得到电感元件VAR的相量形式
(9-32)
(9-33)
同理有
(9-34)
φu=φi+90°
(9-35)根据式(9-34),显然,在U一定的条件下,ω越大,则电感电流I越小;反之,若ω越小,则I越大。特别的,若ω=0,即直流情况下,则无论I为何值,都有U=0,相当于短路。因此,电感元件具有通低频、阻高频,通直流、阻交流的特性。另外,由式(9-35)可知,电感电压超前于电流90°。这些性质都与电容元件对应性质相反,如图9-12所示。图9-12正弦稳态电感的电压与电流关系图示
【例9-8】电路如图9-13所示,已知V1表读数为80V,V2表读数为60V,试求V表读数。
解相量图法。
由KVL有
考虑到电路元件为串联,故以电流为参考相量。根据电阻及电容元件的电压、电流相位关系作相量图,如图9-14所示。显然
即V表读数为100V。图9-13例9-8电路图图9-14例9-8相量图
【例9-9】电路如图9-15,已知
求i(t)并画相量图。
解由元件VAR有
由KCL有
故
画相量图如图9-16所示。图9-15例9-9电路图图9-16例9-9相量图
1.元件的阻抗和导纳
由9.5节讨论可知:在采用关联参考方向时,电阻、电容和电感元件VAR的相量形式分别为
9.6阻抗和导纳在电路理论中,将正弦稳态电路中元件的电压相量与电流相量之比定义为该元件的阻抗,以Z表示,单位为欧姆(Ω);并将阻抗的倒数定义为导纳,用Y表示,单位为西门子(S),即
(9-36)
(9-37)显然,电阻、电容和电感元件的阻抗和导纳分别为
引入阻抗和导纳概念后,三种元件VAR的相量关系式就可以统一为
(或)
(9-38)
2.阻抗(导纳)的串、并联及T-Π等效
阻抗的串、并联及T-Π等效与电阻相同,区别只在于电阻合并进行实数运算,而阻抗合并需进行复数运算。下面直接给出阻抗的T-Π等效计算公式,推导过程在此省略。
T-Π变换:(9-39)
Π-T变换:(9-40)
3.二端网络的阻抗和导纳
对于任意无源二端网络,在正弦稳态下,如图9-17所示。设其电压、电流分别为
根据阻抗定义,有
(9-41)
显然,Z为复数。设
Z=R+jX=|Z|∠φZ
(9-42)
则
(9-43)图9-17无源二端网络等效阻抗图示
同理,将导纳定义推广到二端网络,有
(9-45)
设
Y=G+jB=|Y|∠φY
(9-46)
则
(9-47)
(9-48)(9-44)显然,二端网络的阻抗和导纳有以下关系:
(9-49)
需要注意:
4.电路的相量模型
【例9-10】电路如图9-18(a)所示,已知us(t)=
,求i(t)、uC(t)、uL(t)。
解
(1)画电路的相量模型,如图9-18(b)所示,其中
ZL=jωL=j2π×800×8×10-3j40.2Ω
图9-18例9-10图
(2)求解响应相量:
Z=R+ZL+ZC=2+j0.4=2.04∠11.3°Ω
(3)写出对应响应相量:
【例9-11】电路如图9-19(a)所示,已知is(t)=(8cost-11sint)A,求电压u(t)。
解
(1)画相量模型如图9-19(b)所示,其中
YC=jωC=j7S
YR=1S图9-19例9-11图
(2)求解响应相量:
Y=YR+YL+YC=1+j6S
(3)写出对应响应相量:
我们知道,集总参数电路的分析依据就是基尔霍夫定律和元件伏安特性。在此之前,直流电阻电路分析中所推导的一切分析方法,包括网络方程法、等效法等都是在这两类约束的基础上建立的。将直流电阻电路的KCL、KVL、VAR和正弦稳态电路的KCL、KVL、VAR的相量形式做一比较:9.7正弦稳态电路的相量法分析直流电阻电路正弦稳态电路
VAR:
KCL:
KVL:
1.网孔法
与直流电阻电路类似,一个具有3个网孔的电路,设其网孔电流相量分别为、、,则有
【例9-12】如图9-20(a)所示,已知us1(t)=10costV,us2(t)=20cos(t+60°)V,求i1(t)。
解
(1)画电路的相量模型,如图9-20(b)所示,设网孔电流为、。
图9-20例9-12图
(2)编写网孔方程:
解得
(3)对应响应相量:
i1(t)=3.87cos(t+153.4°)
【例9-13】已知交流电桥电路相量模型如图9-21所示,求电桥平衡(即)的条件。
解由图编写网孔方程得
图9-21例9-13图解得
故
令,得电桥平衡条件:
Z2Z4=Z1Z3
2.节点法
同理,一个含有3个独立节点的电路,设其节点电压相量分别为、、,则有
【例9-14】电路如图9-22(a)所示,已知is1(t)=2costA,
,求u(t)。
解
(1)画出相量模型,如图9-22(b)所示,设节点电压为
、。图9-22例9-14图
(2)编写节点方程:
解得
(3)响应相量:
u(t)=11.6cos(t-65.64°)V
3.叠加法
对于线性电路而言,无论是直流电路还是正弦电路,叠加定理都适用。但要注意:在正弦稳态电路中,若各激励频率相同,则可以用叠加法分析,也可以不用叠加法分析。当用叠加法时,可以将响应相量叠加,也可以写出响应量后再叠加。但是,如果电路中存在不同的激励频率,则一定要用叠加法才能求解,此时要分别求出各不同频率激励下电路的响应,然后叠加。必须注意,在这种情况下,响应相量是不能叠加的,因为不同频率信号对应的相量是不能运用叠加定理直接相加的。另外,还必须指明,此处所说的叠加法所适用的对象仅限于电路的响应电压或电流。对于电路中功率的计算,则要十分谨慎,因为一般而言,功率是不满足叠加性的。这一点,将在本书第10章中详细讨论。
【例9-15】试用叠加法计算例9-14。
解设is1(t)作用下,响应为u′;is2(t)作用下,响应为u″。有
u=u′+u″(即)
(1)求,电路如图9-23(a)所示,有
(2)求,电路如图9-23(b)所示,有
(3)叠加:
故
u(t)=11.6cos(t-65.64°)V
图9-23例9-15图
【例9-16】电路如图9-24(a)所示,已知交流电源
,直流电源us2=us3=10V,求输出u2(t)。
解电路中存在直流和正弦激励,必须应用叠加法求解。
设us1(t)作用下,响应为u2′,us2和us3共同作用下,响应为u2″。有
u2=u2′+u2″
(1)求u2′,电路的相量模型如图9-24(b)所示。由于电阻100kΩ>>25Ω,故可视为开路。
设节点电压为,列节点方程得辅助方程:
解以上方程得
故
图9-24例9-16图
(2)求u2″,电路如图9-24(c)所示,注意直流激励下,稳态时电容为开路。设节点电压为u1,列节点方程得
辅助方程:
u1=25(i″+49i″)
解得
i″≈9.88×10-5A
故
u2″=10-1000×49i″=5.16V
(3)叠加:
【例9-17】电路如图9-25(a)所示,已知
,求输出u2(t)。
解画出简化的相量模型(导纳模型),如图9-25(b)所示,设节点电压为、,列节点方程:
图9-25例9-17图解得
(1)作用下,有
(2)作用下,有
(3)作用下,有
故
4.电源模型及戴维南、诺顿等效
直流电阻电路中的电源模型等效互换及戴维南、诺顿定理同样适用于正弦稳态电路分析。对一个无源二端网络来说,它可以等效为一个阻抗,而一个有源二端网络则可以等效为一个戴维南或诺顿电路。下面通过例题来说明。
【例9-18】电路如图9-26(a)所示,已知is(t)=10cos104tA,求i2(t)。
解
(1)画电路等效后的相量模型,如图9-26(b)所示。图9-26例9-18图
(2)列相量方程:
KVL方程为
辅助方程为
解以上方程得
(3)响应信号:
i2(t)=11.1cos(104t+33.7°)A
【例9-19】电路如图9-27(a)所示,含受控源网络,求等效阻抗Zeq。
解
(1)外加电压源激励,设角频率为ω,画相量模型如图9-27(b)所示。图9-27例9-19图
(2)列相量方程:
解以上方程得
可见,电路的等效阻抗与激励频率有关,电路对不同频率的信号产生的作用不一样,这也验证了电路的滤波特性。
【例9-20】求图9-28(a)所示电路的等效戴维南电路,若已知ω=1rad/s,电路采用的是振幅相量,画出其戴维南电路的时域模型。
解
(1)求。设开路电压为,如图9-28(a)所示,则有
①
②
解以上方程得
(2)求等效阻抗Z0(用外加激励法,将电流源置零,则可知,因此受控源亦为零),易得Z0=j2Ω。
(3)其等效戴维南电路如图9-28(b)所示。
(4)若ω=1rad/s,其戴维南时域模型如图9-28(c)所示。
图9-28例9-20图实例阻抗测量——电桥法测量阻抗
在阻抗参数测量中,应用最广的是电桥法,这种方法适用于音频范围的阻抗测量。常用的电桥很多,例如只能用于测电阻的直流电桥,用于测量容性阻抗的串、并联
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